Conclusion This 2-cycle is attracti

Conclusion This 2-cycle is attracting if 3 < p < 3.44949 ... .
Question What happens when p = 1 + %/6?
In this case,
[F2(X(0))]' = Fl (x(0))F; (X(1)) = -1. (1.7.6)
(Verify in Exercises 1.7, Problem 7.)
Hence we may use Theorem 1.16, part (i), to conclude that the 2-cycle is also attracting. For later reference, let pi = 1 + %/6. Moreover, the 2-cycle becomes unstable when p > pi = 1 + %/6.
1.7.3 22 -Cycles
To find the 4-cycles we solve F^(x) = x. The computation now becomes unbearable, and one should resort to a computer to do the work. It turns out that there is a 22-cycle when p > 1 + /6, which is attracting for 1 + %/6 < p < 3.544090.... This 22-cycle becomes unstable at p > p2 = 3.544090....
When p = p2, the 22-cycle bifurcates into a 23 cycle. The new 23 cycle is attracting for p3 < p < p4 for some number p4. This process of double bifurcation continues indefinitely. Thus we have a sequence {pn}n7=o where at pn there is a bifurcation from a 2n-i-cycle to a 2n-cycle. (See Figures 1.34, 1.35.) Table 1.4 provides some astonishing patterns.
From Table 1.4 we bring forward the following observations:
(i) The sequence {pn} seems to converge to a number p= 3.57... .
(ii) The quotient (pn — pn-i)/(pn+i — pn) seems to tend to a number S = 4.6692016.... This number is called the Feigenbaum number after its discoverer, the physicist Mitchell Feigenbaum [56]. In fact, Feigenbaum made a much more remarkable discovery: The number S is universal and is independent of the form of the family of maps f. However, the number pdepends on the family of functions under consideration.

Kết quả (Việt) 2:

Kết luận 2 chu kỳ này đang thu hút nếu 3 <p <3,44949 ....
Câu gì sẽ xảy ra khi p = 1 +% / 6?
Trong trường hợp này,
[F2 (X (0))] '= Fl (x (0) ) F; (X (1)) = -1. (1.7.6)
(Xác minh trong bài tập 1.7, Problem 7.)
Do đó chúng tôi có thể sử dụng định lý 1.16 phần (i), để kết luận rằng 2 chu kỳ cũng đang thu hút. Để tham khảo sau này, chúng ta hãy pi = 1 +% / 6. Hơn nữa, trong 2 chu kỳ trở nên không ổn định khi p> pi = 1 +% / 6.
1.7.3 22 -Cycles
Để tìm 4 chu kỳ chúng ta giải quyết F ^ (x) = x. Việc tính toán bây giờ trở nên không thể chịu nổi, và người ta phải nhờ đến một máy tính để làm việc. Nó chỉ ra rằng có một 22-chu kỳ khi p> 1 + / 6, được thu hút cho 1 +% / 6 <p <3,544090 .... 22 chu kỳ này trở nên không ổn định ở p> p2 = 3,544090 .. ..
Khi p = p2, 22 chu kỳ rẽ đôi thành một chu kỳ 23. 23 chu kỳ mới đang thu hút cho p3 <p <p4 cho một số số p4. Quá trình phân nhánh đôi tiếp tục vô thời hạn. Như vậy chúng ta có một chuỗi {pn} 7 = o nơi ở pn có một phân nhánh từ một 2n-i-chu kỳ đến một 2n-chu kỳ. (Xem hình 1,34, 1,35). Bảng 1.4 cung cấp một số mô hình đáng kinh ngạc.
Từ bảng 1.4 chúng tôi mang về phía trước quan sát sau đây:
. (I) Các dãy {pn} dường như hội tụ về một số p = 3,57 ...
(ii) thương (pn - pn-i) / (pn + i - pn) dường như có xu hướng một số S = 4,6692016 .... Con số này được gọi là số Feigenbaum đã tìm ra nó, các nhà vật lý Mitchell Feigenbaum [56]. Trong thực tế, Feigenbaum đã nhiều hơn đáng kể phát hiện: Các số S là phổ quát và độc lập với các hình thức trong gia đình của bản đồ f. Tuy nhiên, số lượng pdepends về gia đình của các chức năng được xem xét.