adding the other vertex incident wi

adding the other vertex incident with this edge if it is not already in Gn−1 . This construction
is possible because G is connected. G is obtained after e edges are added. Let rn, en, and vn
represent the number of regions, edges, and vertices of the planar representation of Gn induced
by the planar representation of G, respectively.
a
1 b1
R
1
FIGURE 9 The
Basis Case of the
Proof of Euler’s
Formula.
The proof will now proceed by induction. The relationship r1 = e1 − v1 + 2 is true for G1 ,
because e1 = 1, v1 = 2, and r1 = 1. This is shown in Figure 9.
Now assume that rk = ek − vk + 2. Let {ak+1, bk+1} be the edge that is added to Gk to
obtain Gk+1 . There are two possibilities to consider. In the first case, both ak+1 and bk+1 are
already in Gk. These two vertices must be on the boundary of a common region R, or else
it would be impossible to add the edge {ak+1, bk+1} to Gk without two edges crossing (and
Gk+1 is planar). The addition of this new edge splits R into two regions. Consequently, in this
case, rk+1 = rk + 1, ek+1 = ek + 1, and vk+1 = vk. Thus, each side of the formula relating the
number of regions, edges, and vertices increases by exactly one, so this formula is still true. In
other words, rk+1 = ek+1 − vk+1 + 2. This case is illustrated in Figure 10(a).
In the second case, one of the two vertices of the new edge is not already in Gk. Suppose
that ak+1 is in Gk but that bk+1 is not. Adding this new edge does not produce any new regions,
because bk+1 must be in a region that has ak+1 on its boundary. Consequently, rk+1 = rk.
Moreover, ek+1 = ek + 1 and vk+1 = vk + 1. Each side of the formula relating the number
of regions, edges, and vertices remains the same, so the formula is still true. In other words,
rk+1 = ek+1 − vk+1 + 2. This case is illustrated in Figure 10(b).
We have completed the induction argument. Hence, rn = en − vn + 2 for all n. Because the
original graph is the graph Ge, obtained after e edges have been added, the theorem is true.
Euler’s formula is illustrated in Example 4.

Kết quả (Việt) 1:

Thêm sự kiện đỉnh khác với cạnh này nếu nó chưa được ở Gn−1. Xây dựng nàycó thể vì G được kết nối. G là thu được sau khi e cạnh được thêm vào. Hãy để rn, en và vnđại diện cho số lượng các khu vực, cạnh, và đỉnh của đại diện hai chiều của Gn gây rabởi các đại diện phẳng của G, tương ứng.một1 b1R1HÌNH 9 cácTrường hợp cơ sở của cácBằng chứng của EulerCông thức.Các bằng chứng bây giờ sẽ tiến hành bằng quy nạp. Mối quan hệ r1 = e1 − v1 + 2 là đúng cho G1,bởi vì e1 = 1, v1 = 2 và r1 = 1. Điều này được thể hiện trong hình 9.Bây giờ giả sử rằng rk = ek − vk + 2. Hãy để {ak + 1, bk + 1} có các cạnh được thêm vào Gk đểcó được Gk + 1. Không có hai khả năng để xem xét. Trong trường hợp đầu tiên, cả ak + 1 và bk + 1 làđã có trong với Những hai đỉnh phải trên ranh giới của một khu vực phổ biến R, hoặc người nào khácnó sẽ không thể thêm cạnh {ak + 1, bk + 1} để Gk mà hai cạnh vượt qua (vàGK + 1 là hai chiều). Việc bổ sung này cạnh mới chia R thành hai khu vực. Do đó, ở đâytrường hợp, rk + 1 = rk + 1, ek + 1 = ek + 1, và vk + 1 = vk. Vì vậy, mỗi bên liên quan thức tỉnhsố lượng tăng lên vùng, cạnh, và đỉnh bằng chính xác một, nên công thức này là vẫn còn đúng. Ởnói cách khác, rk + 1 = ek + 1 − vk + 1 + 2. Trường hợp này được minh họa trong hình 10(a).Trong trường hợp thứ hai, một trong hai đỉnh của edge mới không phải là đã ở với giả sửrằng ak + 1 là ở Gk nhưng mà bk + 1 không phải là. Thêm cạnh mới này không sản xuất bất kỳ khu vực mới,bởi vì bk + 1 phải nằm trong một khu vực có ak + 1 trên ranh giới của nó. Do đó, rk + 1 = rk.Hơn nữa, ek + 1 = ek + 1 và vk + 1 = vk + 1. Mỗi bên công thức liên quan sốkhu vực, cạnh, và đỉnh vẫn như nhau, vì vậy, công thức là vẫn còn đúng. Nói cách khác,RK + 1 = ek + 1 − vk + 1 + 2. Trường hợp này được minh họa trong hình 10(b).Chúng tôi đã hoàn thành các đối số cảm ứng. Do đó, rn = en − vn + 2 cho tất cả n. Bởi vì cácbiểu đồ ban đầu là đồ thị Ge, thu được sau khi e cạnh đã được thêm vào, các định lý là sự thật.Công thức Euler được minh họa trong ví dụ 4.

Kết quả (Việt) 2:

thêm sự việc đỉnh khác với cạnh này nếu nó không phải là đã có trong St-1. Xây dựng này
có thể vì G được kết nối. G thu được sau khi cạnh e được thêm vào. Hãy rn, en, và vn
đại diện cho số của khu vực, cạnh, và đỉnh của các đại diện phẳng của Gen gây ra
bởi các đại diện phẳng của G, tương ứng.
Một
1 b1
R
1
Hình 9
Cơ sở Trường hợp của
Proof của Euler
Formula.
các bằng chứng hiện nay sẽ tiến hành bằng cảm ứng. Các mối quan hệ r1 = e1 - v1 + 2 là đúng đối với G1,
vì e1 = 1, v1 = 2, và r1 = 1. Điều này được thể hiện trong hình 9.
Bây giờ giả sử rằng rk = ek - vk + 2. Cho {ak + 1, bk + 1} là cạnh được thêm vào Gk để
có được Gk + 1. Có hai khả năng để xem xét. Trong trường hợp đầu tiên, cả hai ak + 1 và bk + 1 là
đã có trong Gk. Hai đỉnh phải trên ranh giới của một khu vực R phổ biến, nếu không
nó sẽ không thể để thêm các cạnh {ak + 1, bk + 1} để Gk mà hai cạnh qua (và
Gk + 1 là phẳng). Việc bổ sung các cạnh mới này chia tách R thành hai khu vực. Do đó, trong này
trường hợp, rk + 1 = rk + 1, ek + 1 = ek + 1, và vk + 1 = vk. Như vậy, mỗi bên của các công thức liên hệ giữa
số khu vực, cạnh, và đỉnh tăng một cách chính xác, vì vậy công thức này vẫn là sự thật. Trong
Nói cách khác, rk + 1 = ek + 1 - vk + 1 + 2. Trường hợp này được minh họa trong hình 10 (a).
Trong trường hợp thứ hai, một trong hai đỉnh của cạnh mới không phải là đã có trong Gk. Giả sử
rằng ak + 1 là trong Gk nhưng mà bk + 1 không phải là. Thêm cạnh mới này không sản xuất bất kỳ khu vực mới,
vì bk + 1 phải ở trong một khu vực có ak + 1 trên ranh giới của nó. Do đó, rk + 1 = rk.
Hơn nữa, ek + 1 = ek + 1 và vk + 1 = vk + 1. Mỗi bên của các công thức liên hệ giữa số lượng
của các vùng, cạnh, và đỉnh vẫn giữ nguyên, nên công thức vẫn là thật. Nói cách khác,
rk + 1 = ek + 1 - vk + 1 + 2. Trường hợp này được minh họa trong hình 10 (b).
Chúng tôi đã hoàn thành việc lập luận quy nạp. Do đó, rn = en - vn + 2 với mọi n. Bởi vì các
biểu đồ ban đầu là đồ thị Ge, thu được sau khi cạnh e đã được thêm vào, định lý là đúng sự thật.
Công thức Euler được minh họa trong ví dụ 4.