GENERAL PRINCIPLES 159 In the same

GENERAL PRINCIPLES 159
In the same way, when A is a bimodule with the elements of F oper-
ating on the right, A ®AB is a right F-module and
(a®&)r = (ay)® 6. (8.2.3)
Of course, similar remarks apply to the case in which B, instead of A,
is a (A, F)-module.
Again, if A is commutative, then, by regarding .4 as a (A, A)-module,
we can turn A ®AB into a A-module and we can also do this by re-
garding £ a s a (A, A)-module. However, (8.2.2) and similar relations
show that these two structures are in fact the same and coincide with that defined in section (2.2).
Next consider HomA (A,B) where now (for definiteness) we suppose
that A and B are both left A-modules. If A is a (A, F)-module and the
elements of F multiply those of A on the left, then, since HomA (A, B)
is contravariant in A, it acquires the structure of a right F-module.
Indeed, if/€HomA(^4,J3), then fy = [Horn ((y), iB)]f, which means


for all elements a of A. On the other hand, when the elements of A are multiplied on the right by those of F, then HomA(^4,jB) is a left
F-module and instead of (8.2.4) we have


Now suppose that it is B which is a (A, F)-module. For this case
HomA (A, B) is a F-module of the same type as B and
(7f)a = y(f(a)) (8.2.6)
when both are left F-modules, while
(/7)« = (/(«)) 7 (8.2.7)
when both are right F-modules.
When A is commutative, the procedures just described can be used
to turn HomA(.4,.B) into a A-module in two different ways. How-
ever, they both give the same structure and this turns out to be
identical with the one already introduced in section (1.4).
Finally, still assuming that A is commutative, we note that it is possible to turn Tor^(A,B) into a A-module either by regarding A or by regarding B as a (A, A)-module; in addition, we have already, in section (7.1), given yet another method for endowing Tor£ (A, B)
with such a structure. But if A € A, then, by (7.1.3),




160 SOME USEFUL IDENTITIES
which, properly interpreted, asserts that the first and third structures
are the same. Of course, in a similar way, we can also show that the second and third structures coincide.
The same kind of observations apply to the extension functors
, B) in situations where A is commutative.

8.3 The associative law for tensor products
In our first theorem we have to deal with a right A-module A, a
(A, r)-module B (with A operating on the left and F on the right) and a left F-module C. These modules are to be regarded as capable of variation within the categories to which they belong. Since, by the results of the last section, B ®TC is a left A-module and A ®AB is
a right F-module, we can form both
A®A(B®rG) and
Further, each of these expressions is a covariant functor of A, B and
C with values in the category of additive abelian groups. It will now be shown that these functors are equivalent.
Theorem 1. There exists a Z-isomorphism
/i : A ®A(B®TC)x(A ®AB)®rC
which is uniquely defined by theproperty that ji[a ® (b ® c)] = (a ® b) ® c
whenever aeA, beB and ceC. Moreover, when the modules are allowed to vary, ju, is a functor equivalence.
Proof. To begin with, let a be a fixed element of A and, for all b in
B and c in C, put cj){b, c) = (a®b)® c. Then, with an obvious notation,

bx + 6a, c) = (bv c) + 0(6a> c), 0(6, c± + c2) = 0(6, cx) + 0(6, c2),
and, when y belongs to F,
(by,c) = (a® by) ®c = (a®b)y®c = (a®b)®yc =

Kết quả (Việt) 1:

nguyên tắc chung 159
trong cùng một cách, khi một là một bimodule với các yếu tố của f oper-
ating bên phải, một ® ab là một e-mô-đun phải và
(a ® &) r = (ay) ® 6 . (8.2.3)
tất nhiên, nhận xét tương tự áp dụng cho các trường hợp trong đó b, thay vì một,
là (a, e)-mô-đun.
Một lần nữa, nếu một là giao hoán, sau đó, do liên quan đến 0,4 như một (a, a)-mô-đun,
chúng ta có thể biến một ® ab thành một mô-đun và chúng tôi cũng có thể làm điều này bằng cách tái
Garding bảng asa (a, a)-mô-đun. Tuy nhiên, (8.2.2) và tương tự như mối quan hệ
cho thấy hai cấu trúc này là trong thực tế giống nhau và trùng với quy định tại mục (2.2).
Tiếp theo xem xét HOMA (a, b) còn bây giờ (cho tính xác định), chúng tôi cho rằng đó
a và b là trái cả một mô-đun. nếu là một (a, e)-mô-đun và
các yếu tố của f nhân những người của một bên trái, sau đó, vì HOMA (a, b)
là contravariant trong một, nó mua lại cấu trúc của một e-mô-đun đúng.
Thực sự, nếu / € HOMA (
4, j3), sau đó fy = [sừng ((y), ib)] f, có nghĩa là


cho tất cả các yếu tố một của một. Mặt khác, khi các yếu tố của một được nhân, bên phải là những người e, sau đó HOMA (
4, JB) là một trái
f-mô-đun và thay vì (8.2.4) ta có


bây giờ giả sử rằng nó là b mà là một (a, e)-mô-đun. trong trường hợp này
HOMA (a, b) là một e-mô-đun cùng loại như b và
(7F) a = y (f (a)) (8.2.6)
khi cả hai đều để lại e-mô-đun, trong khi
(/ 7) «= (/ («)) 7 (8.2.7)
khi cả hai đều đúng e-mô-đun.
Khi một là giao hoán, các thủ tục được mô tả có thể được sử dụng để biến
HOMA (0,4,. B) thành một mô-đun theo hai cách khác nhau. làm thế nào
bao giờ hết,cả hai đều cho cùng một cấu trúc và điều này hóa ra là
giống với một trong những đã được giới thiệu trong phần (1.4).
Cuối cùng, vẫn giả định rằng một là giao hoán, chúng tôi lưu ý rằng nó có thể biến tor
(a, b) thành một mô-đun bằng cách liên quan đến một hoặc liên quan đến b là (a, a)-mô-đun, ngoài , chúng tôi đã, trong phần (7.1), cho thêm một phương pháp để endowing bảng tor (a, b)
với một cấu trúc như vậy. nhưng nếu một € một, sau đó, bằng (7.1.3),




160 một số danh tính hữu ích
đó, giải thích đúng, khẳng định rằng các cấu trúc đầu tiên và thứ ba
đều giống nhau. tất nhiên, trong một cách tương tự, chúng ta cũng có thể thấy rằng các cấu trúc thứ hai và thứ ba trùng.
Cùng một loại quan sát áp dụng cho các functors mở rộng
, b) trong trường hợp một là giao hoán.

8.3 luật kết hợp cho các sản phẩm tensor
trong định lý đầu tiên của chúng tôi, chúng tôi phải đối phó với một quyền một mô-đun một, một b
(a, r)-mô-đun (với một hoạt động ở bên trái và f bên phải) và một trái f-mô-đun c. các mô-đun sẽ được coi là có khả năng biến thể trong các loại mà họ thuộc về. Kể từ đó, bởi kết quả của phần cuối, b ® tc là để lại một module và ® ab được
một e-mô-đun phải,chúng ta có thể hình thành cả
a ® a (b ® rg) và
hơn nữa, mỗi người trong số các biểu thức là một functor hiệp biến của a, b và c
với các giá trị trong danh mục phụ gia nhóm giao hoán. nó bây giờ sẽ được thấy những functors là tương đương.
Định lý 1. tồn tại một z-đẳng cấu
/ i: a ® a (b ® tc) x (a ® ab) ® rc
được xác định duy nhất bởi theproperty rằng ji [a ® (b ® c)] = (a ® b) ® c
bất cứ khi nào aea, beb và CEC.Hơn nữa, khi các mô-đun được phép thay đổi, ju, là một tương đương functor.
Bằng chứng. để bắt đầu, chúng ta hãy một là một yếu tố cố định của một, và cho tất cả các b trong
b và c trong c, đặt cj) {b, c) = (a ® b) ® c. sau đó, với một ký hiệu rõ ràng,

bx 6a, c) = (bv c) 0 (6a> c), 0 (6, c ± c2) = 0 (6, cx) 0 (6, c2) ,
, và khi y thuộc về e,
(bằng, c) = (a ® by) ® c = (a ® b) y ® c = (a ® b) ® yc = điều này cho thấy JRA: b ® vc-* {a ® ab) ® tc
như vậy mà IFRA (b ® c) = (a b ®) ® c. (8.3.1)
hơn nữa, bởi các định nghĩa,
i / ra [a (b ® c)] = {fa xb ® c) = (a ® ab) ® c (a € a),
vì vậy mà ftlmb ® c)] = (ax ® b) ® c. (8.3.2)






pháp luật kết hợp với các sản phẩm tensor 161
cho mỗi phần tử x của b ® rc, đặt 6 (a, x) = (x) fra. chúng tôi cho rằng
6 (a, x1 x2) = d (aix1) d (a, x2),
6 (rìu a2, x) = {6 al9 x) d (a2, x)
6 (rìu, x) = d (a, rìu).
Đầu tiên của các mối quan hệ sau ngay lập tức từ thực tế là tôi / ra
là một đồng cấu. tiếp theo, bởi (8.3.1) và (8.3.2), hai phương trình khác giữ khi x có dạng b ® c và bây giờ các trường hợp chung theo bởi tổng kết.
Các thuộc tính của 6 đảm bảo sự tồn tại của một đồng cấu
ju,:một ® a (b ® rc) -> (a ® ab) ® tc mà / i (a ® x) = i / ra (x) và do đó ju [a ® (b ® c)] = (a ® b ) ® c bất cứ khi nào aea, beb và CEC. trong chính xác cùng một cách chúng tôi có thể thiết lập sự tồn tại của một homo-
xạ v: {a ®

mà v [(a, b ®) ® c] = a ® (b ® c). rõ ràng FIV và v / i là bản sắc
bản đồ, do đó jjl là một đẳng cấu. khẳng định rằng fi thiết lập một tương đương functor giờ là rõ ràng.


8.4 sản phẩm tensor trên vành giao hoán nếu là một vành giao hoán và a, b, c là tất cả một mô-đun, sau đó cả hai
một một (b ® ac) và (a ® ab) ® ac được định nghĩa và định lý do
® 1, họ
là đẳng cấu. chúng ta có thể, nếu chúng ta muốn, sử dụng thực tế này để xác định một tensor
sản phẩm một ® ab ac ® trong đó không có nhóm của các mô-đun được chỉ định. Tuy nhiên, đây là một thủ tục khá vụng về,và nó trở nên khó khăn hơn khi một số lượng lớn các điều khoản có liên quan. trên toàn bộ nó là đơn giản để quay trở lại và có những điều chỉnh cần thiết để định nghĩa ban đầu.
Để được rõ ràng hơn, cho rằng một là một vành giao hoán và
av a2, ..., ak là tất cả một mô-đun. biểu thị bởi z (trung bình a2, ..., ak) miễn phí
z-module được tạo ra bởi tất cả các yêu cầu bộ (al9a2, ..., ak) còn bây giờ
(Và trong phần còn lại của phần này) ar biểu thị một phần tử của ar.
Tiếp theo, trong số các môđun con của z (trung bình a2, ...,

4), chúng tôi cho
y (ava2, ..., ak)
định rằng một trong đó được tạo ra bởi tất cả các thành phần có một hoặc
khác hai hình thức
(trung bình ..., ai--AFI, ..., ak) - (a1, ..., ai9 ..., ak) - (trung bình .. - x, ..., ak )
và (al9 ..., AAI ... 9aj9 ..., aa) -. (a1, ..., ai ..., aa
, ..., ak)?.





162 một số danh tính hữu ích
đây i và j khác nhau một cách tự do trong khoảng từ 1 tới & và có thể là bất kỳ yếu tố của một
. bây giờ đặt

1 ® a
2 ® một "- ® a
a; = z (ava2, ..., ak) / năm (trung bình a2, ..., ak),
và biểu thị bằng rìu ® a2 ® ® ... AK hình ảnh tự nhiên của (trung bình a2, ..., ak) trong
rìu ® một ... ® AAK. ở giai đoạn này, chúng ta có thể nói cái rìu ® một ... ® AAK là z
-mô-đun và, bởi việc xây dựng, chúng tôi có những bản sắc của các loại


... ® ® ® e
...Ak ®) (8.4.1) và



j. Ak ®. (8.4.2)
hơn nữa, mọi phần tử của rìu ® một ... ® một ak có thể được thể hiện như một hữu hạn
tổng mỗi từ ngữ mà có dạng a1 a2 ® ® ... Ak ®.
Tiếp theo xem xét một tập (/ i, / 2> • • •> / &) của một homomorphisms, nơi
/ r: ar-> afr. những xác định một z-đồng cấu

một ® ... ® h:
i ® một --- ® aa

mà (a ® ... ® a) k ®. . . Ak ®) = a k) ® • • •
và bây giờ rõ ràng là rìu ® một ... ® một ak là một functor phụ gia mà
là hiệp biến trong mỗi biến của nó. nhưng một là giao hoán, xây
sequently nguyên tắc chung của chúng tôi cung cấp cho chúng tôi với các phương pháp k biến
rìu ® một ... ® một ak thành một mô-đun. Tuy nhiên, theo (8.4.2), chúng tôi có được chỉ
một cấu trúc duy nhất (và không k cấu trúc khác nhau) như là một module cho
sản phẩm tensor mở rộng của chúng tôi,và cho cấu trúc này
x (a1 ® ... ® ai ® ... ® ak) = ax ® ... ® aa
® ... Ak ®. (8.4.5)
nó sau một lúc, từ (8.4.4), đó là một ® ... ® một không chỉ là một cấu xạ z-homo-
mà còn là một một đồng cấu, và chúng ta có thể lưu ý, quá, mà

nếu aea sau đó một (một ® ... ® một ® - ® a) = a ®. - ® aa ® ... ® một (8-4-6)
cho l
i
k. do đó rìu ® một ... ® AAK có thể (và thường) nên được
coi như là một hiệp biến một tuyến functor có giá trị nằm trong thể loại
của một mô-đun.
Chứng minh của định lý tiếp theo là bỏ qua vì nó là hoàn toàn đơn giản và dễ hiểu.




Sản phẩm tensor trên vành giao hoán 163
định lý 2. cho phép một. là vành giao hoán, (iv i2, ..., ik) một hoán vị
của những con số (1,2, ..., 1c) và ava2, ..., hay còn gọi là trình tự của một mô-đun.
sau đó có tồn tại một một đẳng cấu
/ i: a1 ® Aa2 ® một ... ® aakxaii ® aai2 ® một ... aaik
như vậy mà / bảng Anh (# ® a2 ® ... ® ak!) ® = aix ® AIZ Khởi ® ... ® AIK;
và khi các mô-đun ava2, ..., ak khác nhau, fi đẳng cấu định nghĩa một
functor tương đương.
Định lý 3. để một là vành giao hoán và để bình ..., ak, bv ..., bv
là một mô-đun. sau đó có tồn tại một một đẳng cấu

/ i: a1 ® một ... ® AAK ® AB1 ® một ... ® abp





một một




k một (
1 ® một • '• ® aa bp) một

như vậy mà

1



một (8.4.7)

/ i (a1 ® ... ® ak ® b1 ® ... ® bp) = (a1 ® ... ® ak) ® (b ± ® ... ® bp).
Hơn nữa, fi là một tương đương tự nhiên giữa hai bên (8.4.7) vjhen
những được coi là functors.
Nó là thuận tiện để thiết lập một bổ đề sơ bộ.
Bổ đề 1. cho các giả định như trong định lý 3. nếu trong
rìu ® Aa2 ® một ... ® AAK

chúng tôi có ". af ® ... ® a% = 0,
sau đó,cho các yếu tố tùy ý bv b2, ..., bp của bvb2, ..., bp tương ứng,


af ® ... ® a
® b ± ® ... ® bp = 0.
Bằng chứng. nó chỉ là cần thiết để thấy rằng các bản đồ
(trung bình ..., ak) -> a1 ® ... ® ak ® ± b ® ... ® bp
gây ra một một đồng cấu
a1 ® một ... ® AAK
a1 ® một ... ® AAK ® AB1 ® một ... ® abp
trong đó rìu ® ... ® ak được ánh xạ vào rìu ® ... ® ak ® b1 ® ... ® bp.
Chứng minh định lý 3. đó là ngay lập tức rõ ràng rằng có tồn tại một
một đồng cấu
/ i: a1 ® một ... ® AAK ® AB1 ® một ... ® abp
-> (a1 ® một ... ® AAK) ® một (b1 ® một ... ® abp)

Kết quả (Việt) 2:

Tổng hợp nguyên tắc 159
trong cùng một cách, khi A là một bimodule với các yếu tố của F oper -
ating bên phải, A ® AB là một F-mô-đun phải và
(a®&) r = (ay) ® 6. (8.2.3)
Tất nhiên, nhận xét tương tự áp dụng cho trường hợp trong đó B, thay vì A,
là (A, F)-mô-đun.
Một lần nữa, nếu A là giao hoán, sau đó, bằng cách liên quan đến.4 là một (A, A)-mô-đun,
chúng tôi có thể biến A ® AB thành một mô-đun A và chúng tôi cũng có thể làm điều này bằng re -
garding £ một s (A, A)-mô-đun. Tuy nhiên, (8.2.2) và tương tự như quan hệ
Hiển thị các cấu trúc hai là trong thực tế như nhau và trùng với định nghĩa trong phần (2,2).
Tiếp theo xem xét HomA (A, B) nơi bây giờ (cho definiteness) chúng tôi giả sử
A và B là cả hai trái A-mô-đun. Nếu A là (A, F)-mô-đun và các
Các yếu tố của F nhân những người của A bên trái, sau đó, kể từ HomA (A, B)
là contravariant trong A, nó mua lại cấu trúc của một F-mô-đun phải.
Thực sự, if/€HomA(
4,J3), sau đó fy = [Horn ((y), iB)] f, có nghĩa là


cho tất cả các yếu tố một của A. Mặt khác, khi các yếu tố của A là nhân bên phải của những người F, sau đó HomA(
4,jB) là trái
F-mô-đun và thay vì (8.2.4) chúng tôi có


Bây giờ giả sử rằng nó là B là (A, F)-mô-đun. Cho trường hợp này
HomA (A, B) là một mô-đun F cùng loại như B và
(7f) một = y(f(a)) (8.2.6)
khi cả hai đang rời F-mô-đun, trong khi
(/7) «= (/(«)) 7 (8.2.7)
khi cả hai đều đúng F-mô-đun.
Khi A là giao hoán, các thủ tục chỉ mô tả có thể được sử dụng
để biến HomA (.4,.B) vào một A-module trong hai cách khác nhau. Làm thế nào -
bao giờ hết, cả hai đều cung cấp cho cùng một cấu trúc và điều này hóa là
giống hệt nhau với một trong những đã được giới thiệu trong phần (1,4).
Cuối cùng, vẫn nhận rằng A là giao hoán, chúng tôi lưu ý rằng nó có thể biến Tor
(A,B) thành một A-module hoặc bởi A liên quan đến hoặc do liên quan đến B là (A, A)-mô-đun; Ngoài ra, chúng tôi đã đã có, trong phần (7,1), cho thêm một phương pháp để endowing Tor£ (A, B)
với cấu trúc như vậy. Nhưng nếu A €, sau đó, bởi (7.1.3),



160 danh tính một số hữu ích
mà, đúng cách giải thích, khẳng định rằng các cấu trúc đầu tiên và thứ ba
đều giống nhau. Tất nhiên, trong một cách tương tự, chúng tôi có thể cũng cho thấy rằng các cấu trúc thứ hai và thứ ba trùng.
Cùng loại của các quan sát áp dụng cho phần mở rộng functors
, B) trong các tình huống nơi A là giao hoán.

8.3 Luật kết hợp cho các sản phẩm tensor
trong chúng tôi định lý đầu tiên chúng ta phải đối phó với một quyền A-mô-đun A, B
(A, r)-mô-đun (với một hoạt động ở bên trái và bên phải) và C. F-mô-đun trái Các mô-đun phải được coi là có khả năng biến thể trong các loại mà họ thuộc về. Kể từ khi, bởi kết quả phần cuối, B ® TC là một trái A-mô-đun và A ® AB là
F đúng-module, chúng tôi có thể tạo ra cả hai
A®A(B®rG) và
hơn nữa, mỗi người trong số những biểu hiện là một functor covariant của A, B và
C với các giá trị trong thể loại của nhóm abelian phụ gia. Nó bây giờ sẽ được hiển thị rằng các functors được tương đương.
Định lý 1. Có tồn tại một đẳng cấu Z
/ i: A ® A(B®TC) x (A ® AB) ® rC
mà là duy nhất được xác định bởi theproperty ji đó [một ® (b ® c)] = (một ® b) ® c
bất cứ khi nào aeA, beB và ceC. Hơn nữa, khi các mô-đun được phép thay đổi, ju, là một tương đương functor.
Bằng chứng. To begin with, cho một là một phần tử cố định của A, và với mọi b thuộc
B và c c, đặt cj) {b, c) = (một ® b) ® c. Sau đó, với một ký hiệu rõ ràng,

bx 6a, c) = (bv c) 0(6a> c), 0 (6, c± c2) = 0 (6, cx) 0 (6, c2),
và, khi y thuộc về F,
(by,c) = (một ® bởi) ® c = (một ® b) y ® c = (một ® b) ® yc = < p {b,yc).
Điều này cho thấy rằng < fi sẽ xác định một phép đồng cấu Z
Jra: B ® VC-* {A®AB) ® TC
sao cho ifra(b ®c) = (một ® b) ® c. (8.3.1)
Further, bởi các định nghĩa,
tôi / ra [A(b ® c)] = fa {Xb ®c) = (một ® Ab) ® c (€ A),
để ftlMb ® c)] = (aX ® b) ® c. (8.3.2)


Luật kết hợp cho TENSOR sản phẩm 161
cho mỗi phần tử x của B ® r C, đặt 6 (một, x) = fra(x). Chúng tôi cho rằng
6 (một, x 1 x 2) = d(aix1) d(a,x2),
6 (ax a2, x) = 6 d {al9 x) (a2, x)
và 6 (aX, x) = d (a, Ax).
Đầu tiên của những quan hệ sau ngay lập tức từ thực tế là tôi / ra
là một phép đồng cấu. Tiếp theo, bởi (8.3.1) và (8.3.2), hai phương trình khác giữ khi x có dạng b ® c và bây giờ các trường hợp tổng quát theo bởi tổng kết.
Các thuộc tính của 6 đảm bảo sự tồn tại của một phép đồng cấu
ju,: A ® A (B ® rC)->(A ®AB) ® TC cho đó /i(a®x) = i/ra(x) và do đó ju [một ® (b ® c)] = (một ® b) ® c bất cứ khi nào aeA, beB và ceC. Trong chính xác theo cùng một cách, chúng tôi có thể thiết lập sự tồn tại của một homo -
morphism v: {A ®

cho v mà [(a ® b) ® c] = một ® (b ® c). Rõ ràng fiv và v / tôi là nhận dạng
bản đồ, do đó JJL là đẳng cấu một. Khẳng định rằng fi thiết lập một tương đương functor bây giờ là rõ ràng.


8.4 Tensor sản phẩm trong vòng giao hoán
nếu A là một giao hoán vòng và A, B, C là tất cả A-mô-đun, sau đó cả hai
A ® A (B ® A C) và (A ® A B) ® A C được xác định và, bởi định lý 1, họ
là đẳng cấu. Chúng tôi có thể, nếu chúng ta muốn, sử dụng điều này thực tế để xác định một tensor
sản phẩm A ® A B ® A C trong đó không có nhóm của các mô-đun được chỉ định. Tuy nhiên, điều này là khá là một thủ tục vụng về, và nó trở nên khó khăn hơn khi một số lớn hơn của điều khoản là có liên quan. Trên toàn bộ, nó là đơn giản để quay trở lại và thực hiện các điều chỉnh cần thiết để định nghĩa ban đầu.
Để rõ ràng hơn, giả sử A là một vòng giao hoán và rằng
Av A2,..., Ak là tất cả A-mô-đun. Biểu thị bởi Z (AV A2,..., Ak) miễn phí
Z-mô-đun được tạo ra bởi tất cả các tập lệnh (al9a2,..., ak) nơi bây giờ
(và phần còn lại của phần này) ar là bắt một phần tử của Ar.
tiếp theo, trong số submodules Z (AV A2,...,
4
), chúng tôi cho
Y (AVA2,..., Ak)
chỉ định mà ai đó được tạo ra bởi tất cả các yếu tố có một hoặc
khác của hai hình thức
(av...,ai--afi,...,ak)-(a1,...,ai9...,ak)-(av... - X,..., ak)
và (al9..., Aai?...9aj9..., aA.)-(a1,..., ai?..., Aa
,..., ak).





162 Danh tính một số hữu ích
đây tôi và j khác nhau một cách tự do trong khoảng 1 đến & và A có thể là bất kỳ yếu tố
của A. Bây giờ đặt

1 ® A
2 ® A "-® A
A; = Z(AVA2,...,Ak)/Y(AV A2,..., Ak),
và biểu thị bởi ax ® a2 ®... ® ak ảnh (av a2,..., ak), tự nhiên ở
Ax ® A... ® AAk. Ở giai đoạn này, chúng tôi có thể nói rằng Ax ® A... ® AAk là một
Z-mô-đun và, bằng cách xây dựng, chúng tôi có danh tính của các loại


®... ® e
®...® ak) (8.4.1)
và


j. ® ak. (8.4.2)
Hơn nữa, mọi phần tử của Ax ® A... ® A Ak có thể được biểu thị dưới dạng một hữu hạn
tổng mỗi điều khoản mà có hình thức a1 ® a2 ®... ® ak.
Tiếp theo xem xét bộ (/ tôi, / 2 > • > / &) của A-homomorphisms, nơi
/ r: Ar-> Afr. Những xác định một phép đồng cấu Z

A ®... ® h:
tôi ® A---® AA
mà
(A ®... ® A) K ®... ® ak) = A K) ® •
và bây giờ nó là rõ ràng rằng Ax ® A... ® A Ak là một functor phụ gia mà
là covariant trong mỗi của các biến của nó. Nhưng A là giao hoán, con-
sequently nguyên tắc chung của chúng tôi cung cấp cho chúng tôi với các phương pháp chuyển k
Ax ® A... ® A Ak vào một A-mô-đun. Tuy nhiên, bởi (8.4.2), chúng tôi được chỉ
một cấu trúc duy nhất (và không k cấu trúc khác nhau) như A-mô-đun cho chúng tôi
mở rộng sản phẩm tensor, và cho cấu trúc này
X (a1 ®... ® ai ®... ® ak) = ax ®... ® Aa
®... ® ak. (8.4.5)
Nó sau cùng một lúc, từ (8.4.4), rằng A ®... ® A là không chỉ là một Z-homo -
morphism nhưng cũng một phép đồng cấu A, và chúng tôi có thể ý, quá, rằng
nếu một e một sau đó
A (A ®... ® A ® — ® A) = A ®.-® AA ®... ® một (8-4-6)
cho l
tôi
k. Do đó AX ® A. có thể (và thường nên)
coi như là một functor tuyến A covariant có giá trị nằm trong các
thể loại A-mô-đun.
Chứng minh định lý tiếp theo bỏ qua bởi vì nó là hoàn toàn đơn giản và đơn giản.



TENSOR sản phẩm qua giao HOÁN NHẪN 163
định lý 2. Hãy để A. là một vòng giao hoán, (iv i2,..., ik) một hoán vị
của những con số (1,2,..., 1c) và AvA2,..., Aka chuỗi A-mô-đun.
Sau đó có tồn tại một
/i:A1®AA2®A...®AAkxAii®AAi2®A...®AAik A-đẳng cấu
sao cho /£(#!®a2®... ® ak) = aix ® aiz ®... ® aik;
và khi các mô-đun AVA2,..., Ak khác nhau, đẳng cấu fi định nghĩa một
tương đương functor.
Định lý 3. Cho A là một vòng giao hoán và cho Av..., Ak, Bv..., BV
là A-mô-đun. Sau đó có tồn tại một đẳng cấu A

/i:A1®A...®AAk®AB1®A...®ABp


A


A


k

A (
1 ® • Một ' • ® AA Bp) A

như vậy mà

1

A

(8.4.7)

/ tôi (a1 ®... ® ak ® b1 ®... ® bp) = (a1 ®... ® ak) ® (b± ®... ® bp).
Hơn nữa, fi là một tương đương tự nhiên giữa hai bên trong (8.4.7) vjhen
đây được coi là functors.
Nó là thuận tiện để thiết lập một bổ đề sơ bộ.
Bổ đề 1. Hãy để các giả định như trong định lý 3. Nếu trong
Ax ® AA2 ® A.
hiện có
'. AF ®... ® một % = 0,
sau đó, cho bất kỳ yếu tố bv b2,..., bp của BvB2,..., Bp,


af ®... ® một
® b± ®... ® bp = 0.
Bằng chứng. Nó chỉ là cần thiết để quan sát mà ánh xạ
(av..., ak)-> a1 ®... ® ak ® b± ®... ® bp
gây ra một phép đồng cấu A
A1 ® A.
A1 ® A. ® AAk ® AB1 ® A. ® ABp
trong đó ax ®... ® ak là ánh xạ vào ax ®... ® ak ® b1 ®... ® bp.
chứng minh định lý 3. Đó là ngay lập tức rõ ràng rằng có tồn tại một
A-đồng cấu
/i:A1®A...®AAk®AB1®A...®ABp
->(A1®A...®AAk)®A(B1®A...®ABp)