We regardα1,α2andηas real positive

We regardα1,α2andηas real positive parameters withα21
which must be rejected. In the second case the imaginary parts of the roots in the right hand sides ofEq. (3.14)have
the same sign but the choice of signs prevents us to obtainκA,κψandκewith the same sign. Again, in this case no
surface waves are admitted. The last rootw++corresponds toz++

Kết quả (Việt) 1:

Chúng tôi regardα1, α2andηas thực sự tích cực tham số withα2 < α1 < 1 và tư thế˜ Fs1s2(z) =√z−1 s1η α1z−1 ++ s2Α1Α2√z−1 α1z−1 α2z−1, (4.1)wheres1ands2take values±1. Các chức năng trong (4.1) là phân tích trong mặt phẳng phức, ngoại trừ một nửa-trục thực˜ Γ, nơi˜ Γ =z = t, t ∈−∞,1Α2.Để áp dụng phương pháp Burniston-Siewert (B-S) [15] để giải quyết phương trình˜ Fs1s2 = 0 chúng tôi thực hiện một Möbiuschuyển đổi để di chuyển 1/α2, points∞, 1/α1, tương ứng, 0, −2 and−1. Điều này đạt được bằng cách đặt raw = 21/Α2−1/Α1z−2/α2 + 1/α1. (4.2)Các chức năng chuyển đổi làFs1s2(w) = μw−W1w+ s1νw + 1w+ s2σw + 2ww + 1ww−W1w, (4.3)nơiW1 = 21/Α2−1/Α11−2/Α2 + 1/Α1,µ=2Α2−1Α1−1, Ν = Η2Α1Α2−2,Σ =Α1Α2−14Α1Α2−2Α2−2Α1Α2.Quantitiesµ, ν, σturn ra phải and−1 thực tế và tích cựcchạy fromw = 0tow = −2, và cho các mục đích tiếp theo, sẽ được viết asΓ = Γ1∪Γ2∪Γ3whereΓ1 = {w = t, t ∈ [w1, 0]}, Γ2 = {w = t, t ∈ [−1, w1]}, Γ3 = {w = t, t ∈ [−2, −1]}.FromEq. (4.3) chúng tôi nhận ra rằng, cho anys1ands2, functionsFs1s2(w) được phân tích inCΓand có một cực của đơn đặt hàng3/2 tại pointw bắt đầu = 0ofΓ. Chúng tôi biểu thị byF±s1s2(t) ofFs1s2 giới hạn một bên(w) onΓand giới thiệu cácCauchy tích phângs1s2h(w) =12πi
ΓhlnQs1s2h(t)t−wDT, với Qs1s2h(t) =F+s1s2(t) |ΓhF−s1s2(t) |Γh, h = 1, 2, 3. (4,4)Việc áp dụng các phương pháp B-S (xem định lý 14.10a in[16]) yêu cầu thatF±s1s2không biến mất tại bất kỳ nội thấtđiểm của arcsΓhand rằng lnQs1s2hlà Lipγ (cho someγ > 0) inΓh(h=1,2,3). Sau đó, nó sau đó các chức năngss1s2(w) = exp −hgs1s2h(w)Fs1s2(w) (4,5)là hợp lý và có thể có giá trị thông qua Laurent sau loạt (see[16])Fs1s2(w) =∞ k = 0F(k)s1s2wk, điểm kinh nghiệm −hgs1s2h(w)=∞ k = 0g(k)s1s2wk, (4.6)M. Romeo / sóng chuyển động 39 (năm 2004) 93-110 101nơi, đặc biệtF(0)s1s2= µ + s1ν + s2σ, F(1)s1s2= −12[(µ+s2σ) w1−s1ν−3s2σ],F(2)s1s2= −18[(µ+s2σ) w21 + 6s2σw1 + s1ν + s2σ].Tất cả các số không ofss1s2(w) là Zero ofFs1s2(w) và, cuối cùng, các giải pháp của các phương trình phân tánrễ của đa thức. Theo quan điểm phát triển thêm, chúng tôi quan sát rằng onΓ1F+s1s2(|Γ1 t) = µiW1−tt+ s1νi −t + 1t−s2σi −t + 2t−t + 1tW1−tt= −F−s1s2(t) |Γ1, (4.7)trong khi onΓ2andΓ3Qs1s22 =1−IRs1s221 + iRs1s22, với Rs1s22 =−s1ν√−(t+1)/t√/ t (t−w1) [µ−s2σ√−(t+2)/t√−(t+1)/t],Qs1s23 =1−IRs1s231 + iRs1s23, với Rs1s23 =−s2σ√−(t+2)/t√−(t+1)/t√/ t (t−w1)µ√(t−w1) / t + s1ν√−(t+1)/t. (4.8)Bây giờ chúng tôi derivess1s2(w) cho mỗi pair(s1,s2).(1) s1 = s2 = −1. FromEq. (4.7) chúng tôi tìm thấy thatF±−−Vanish tại một pointw∗ nội bộofΓ1. Để đáp ứng các yêu cầu neces-sary chúng tôi splitΓ1intoΓ11∪Γ12whereΓ11 = {w = t: t ∈ [w∗0]}, Γ12 = {w = t: t ∈ [w1, w∗]},và, đến lượt nó, chúng tôi có được lnQ−−11 = πi, lnQ−−12 = −πi. Theo đó, chức năng exp [−hg−−h(w)] lần lượtra để có một số không của đơn đặt hàng 1/2atw = 0 và một cột đơn đặt hàng 1 atw = w∗. Ghi nhớ rằng F−−has một cựccủa đơn đặt hàng 3/2atw = 0 và một số không atw = w∗chúng tôi kết luận rằng ' s−− (w) có dạng saus−− (w) = s(0)−−+s(1)−−w.Các coefficientss(0)−−ands(1)−−Follow từ Laurent expansions(4.6).Wehaves(0)−− = F(0)−−,s(1)−− = F(0)−−g(1)−− + F(1)−−g(0)−−,s(2)−− = F(0)−−g(2)−− + F(1)−−g(1)−− + F(2)−−g(0)−−, (4.9)nơig(0)−−=1,g(1)−−=12(2w∗−W1) + I(1)−−,g(2)−−=12 (w.∗2−12W21) + I(2)−−+12g(1)2−−, (4,10)vớiTôi(1)−−=1Π
W1−1arctanR−−2(t) dt +−1−2arctanR−−3(t) dt,Tôi(2)−−=1Π
W1−1tarctanR−−2(t) dt +−1−2tarctanR−−3(t) dt. (4.11)Unknownw∗có thể được giá trị của các điều kiện(2)−− = 0 và chúng tôi kết luận thatF−− (w) có hai Zerow(1)−− = w∗, w(2)−−=−s(1)−−s(0)−−.102 M. Romeo / sóng chuyển động 39 (năm 2004) 93-110(2) s1 = + 1, s2 = −1. Trong trường hợp này, chúng tôi có được lnQ+−1(t) = πion wholeΓ1and chức năng exp [−hg+−h(w)]có một số không của đơn đặt hàng 1/2atw = 0 và không có người Ba Lan. Nó chỉ ra rằngs + − (w) = s(0)+−+s(1)+−w,nơi các coefficientss(0)+ −ands(1)+ −are có giá trị của các công thức tương ứng (4.9) vàg(0)+−=1,g(1)+−=12w1 + I(1)+−.Chúng tôi kết luận thatF + − (w) đã chỉ zerow + − = −s(1)+ −/s(0)+−.(3) s1 = −1, s2 = + 1. Chúng tôi có lnQ−+1(t) = −πion wholeΓ1and exp [−g−+h] có một cực để 1/2ATW = 0. Như một hệ quả, s− + (w) phải có một cực của đơn đặt hàng hai atw = 0. Chúng tôi nhận đượcs− + (w) = s(0)−++s(1)−+w+s(2)−+W2.Trong trường hợp này,g(0)−+=1,g(1)−+=−12w1 + I(1)−+,g(2)−+=−14W21 + tôi(2)−++1212w1−I(1)−+2.Chúng tôi kết luận thatF− + (w) có hai chiếc Zero, w(1)− +, w(2)−+.(4) s1 = s2 = + 1. Như trong caseF đầu tiên±++(t) biến mất tại một pointw nội bộ∗1ofΓ1. Do đó, chúng tôi đặt ra một lần nữaΓ1 = Γ11∪Γ12and có được lnQ++11(t) = −πi, lnQ++12(t) = πi. Các điểm kinh nghiệm chức năng [−hg++h] hóa racó một cột để 1/2atw = 0 và một số không của đơn đặt hàng 1 atw∗1. Sincew∗1cũng là một số không tắt ++ chức năng ++có ít nhất một số không của thứ tự twow = w∗1. Sincew = 0 lần lượt ra được một cực của đơn đặt hàng hai fors c++, chúng ta đượcs + + (w) = s(0)+++s(1)++w+s(2)++W2Nó sau thatw∗1là một đôi gốc ofs + = 0, và do đó, nó thỏa mãn phương trìnhw∗1 = −s(1)++2S(0)++,wheres(1)++ phải được đánh giá bởi takingg(1)++=12 (w1−2w∗1) + I(1)++. Do đó, F++(w) = 0 đã chỉ có một gốcw + w + =∗1.Tóm lại, chúng tôi đã tìm thấy sáu rễ của phương trình: Fs1s2(w) = 0. Các giá trị tương ứng của các gốc rễ củaEQ. (3,15) sẽ là ký hiệu là byz(1)−−, z(2)−−, z + −, z(1)− +, z(2)−+,z++. Chúng tôi có thể hiển thị chỉ là một trong những nguồn gốc đại diện chomột làn sóng bề mặt hiệu quả. Theo quan điểm Möbius transformation(4.2), rootw(1)−−corresponds toz(1)−− < 1. Do(3. 14) điều này ngụ ý rằng κA, κψandκeare tưởng tượng và phải được thực hiện với các dấu hiệu tương tự. Do đó, sự bất bình đẳng(3.3) được hài lòng bởi một sự lựa chọn thích hợp của dấu hiệu. Rootw(2)−−corresponds toz(2)−− > 1 và makesκAreal. Điều nàymâu thuẫn với các hạn chế (3.3) và cung cấp cho không có sóng bề mặt. Cùng nắm giữ forw −which givesz ++ − > 1. Cácrootsw(1)− +, w(2)− + có thể là thực hay phức tạp liên hợp. Trong trường hợp đầu tiên họ tương ứng một lần nữa toz(1)− + > 1 andz(2)− + > 1mà phải bị từ chối. Trong trường hợp phần tưởng tượng của rễ trong ofEq bên tay phải. (3. 14) cóCác dấu hiệu tương tự nhưng sự lựa chọn của dấu hiệu ngăn cản chúng tôi để obtainκA, κψandκewith các dấu hiệu tương tự. Một lần nữa, trong này không có trường hợpsóng bề mặt được thừa nhận. Cuối rootw ++ tương ứng toz ++ < 1 andκA, κψ, κeturn ra phải tưởng tượng, nhưngvới dấu hiệu khác nhau.M. Romeo / sóng chuyển động 39 (năm 2004) 93-110 103Chúng tôi kết luận thatEq. (3,15) thừa nhận chỉ có một gốc đại diện cho một làn sóng bề mặt electromagnetoacoustic SH.Rõ ràng, nó được cho bởiz(1)−−=1Α1+ 21Α2−1Α11−2Α− Α2−4Β, (4.12)nơiΑ =F(1)F(0)−12W1 + I(1)−−,β=−12W1F(1)F(0)+14W1 + I(1)−− +F(1)F(0)+12Tôi(1)−− TÔI(1)−−+F(2)F(0)+ Tôi(2)−−.

Kết quả (Việt) 2:

Chúng tôi regardα1, α2andηas thông số thực dương withα2 <α1 <1 và đặt ra
~ Fs1s2
(z) =
√
z-1 + s1η α1z-1 + s2
a1
a2
√
z-1 α1z-1 α2z-1, (4.1)
wheres1ands2take giá trị ± 1. Các chức năng trong (4.1) tích trong mặt phẳng phức, trừ nửa trục thực
~ Γ, nơi
~ Γ =
?
z = t, t ∈
?
-∞,
1
α2
??
.
Để áp dụng các Burniston- Siewert (B-S) phương pháp [15] để giải quyết các phương trình
~ Fs1s2 = 0 ta làm cho một Mobius
chuyển để di chuyển points∞, 1 / α2,1 / α1, tương ứng 0, -2 và 1. Điều này đạt được bằng cách giả
w = 2
1 / α2-1 / α1
z-2 / α2 + 1 / α1
. (4.2)
Chức năng chuyển đổi là
Fs1s2
(w) = μ
w-w1
w
+ s1ν
w + 1
w
+ s2σ
w + 2
w
w + 1
w
w-w1
w
, quantitiesμ, ν, σturn ra là thực tế và tích cực và-1






























chạy fromw = 0tow = -2, và cho các mục đích tiếp theo, sẽ được viết asΓ = Γ1∪Γ2∪Γ3where
Γ1 = {w = t, t ∈ [w1,0]}, Γ2 = {w = t, t ∈ [- 1, W1]}, Γ3 = {w = t, t ∈ [-2, -1]}.
FromEq. (4.3), chúng tôi nhận ra rằng, cho anys1ands2, các functionsFs1s2
(w) là phân tích Inc Γand có một cực của tự
3/2 tại bắt đầu pointw = 0ofΓ. Chúng tôi biểu BYF
±
s1s2
(t) các giới hạn một chiều ofFs1s2
(w) onΓand giới thiệu
Cauchy tích
g
s1s2
h
(w) =
1
2πi
?
Γh
lnQ
s1s2
h
(t)
t-w
dt, với Q
s1s2
h
(t ) =
F
+
s1s2
(t) | Γh
F
-
s1s2
(t) | Γh
, h = 1,2,3. (4.4)
Việc áp dụng các phương pháp B-S (xem Định lý 14.10a trong [16]) đòi hỏi thatF
±
s1s2
không tan biến tại bất kỳ nội thất
điểm của arcsΓhand rằng lnQ
s1s2
h
được Lipγ (cho someγ> 0) inΓh (h = 1,2,3). Sau đó, nó sau đó các chức năng
ss1s2
(w) = exp -
?
h
g
s1s2
h
(w)
?
Fs1s2
(w) (4,5)
là hợp lý và có thể được đánh giá thông qua các chuỗi Laurent sau (xem [16])
Fs1s2
(w ) =
? ∞
k = 0
F
(k)
s1s2
tuần
, exp -
?
h
g
s1s2
h
(w)
?
=
? ∞
k = 0
g
(k)
s1s2
tuần
, (4.6)
M. Romeo / Làn sóng chuyển động 39 (2004) 93-110 101
nơi, đặc biệt là
F
(0)
s1s2
= μ + s1ν + s2σ, F
(1)
s1s2
= -1
2
[(μ + s2σ) W1-s1ν-3s2σ],
F
(2)
s1s2
= -1
8
[(μ + s2σ) w
2
+ 1 + 6s2σw1 s1ν + s2σ].
Tất cả các số không ofss1s2
(w) là số không ofFs1s2
(w), và cuối cùng, các giải pháp của phương trình phân tán là
gốc rễ của đa thức. Theo quan điểm của sự phát triển hơn nữa chúng tôi nhận thấy rằng onΓ1
F
+
s1s2
(t) | Γ1 = μi
W1-t
t
+ s1νi -
t + 1
t
-s2σi -
t + 2
t
-
t + 1
t
W1-t
t
= -F
-
s1s2
(t) | Γ1
, (4.7)
trong khi onΓ2andΓ3
Q
s1s2
2 =
1-iR
s1s2
2
1 + iR
s1s2
2
, với R
s1s2
2 =
-s1ν
√
- (t + 1) / t
√
(t-W1) / t [μ-s2σ
√
- (t + 2) / t
√
- (t + 1) / t]
,
Q
s1s2
3 =
1-iR
s1s2
3
1 + iR
s1s2
3
, với R
s1s2
3 =
-s2σ
√
- ( t + 2) / t
√
- (t + 1) / t
√
(t-W1) / t
L
√
(t-W1) / t + s1ν
√
- (t + 1) / t
. (4.8)
Bây giờ chúng ta derivess1s2
(w) cho mỗi cặp (s1, s2).
(1) s1 = s2 = -1. FromEq. (4.7) chúng ta thấy thatF
±
--vanish tại một pointw nội *
ofΓ1. Để đáp ứng các yêu cầu neces-lại cần chúng tôi splitΓ1intoΓ11∪Γ12whereΓ11 = {w = t: t ∈ [w *
, 0]}, Γ12 = {w = t: t ∈ [w1, w
*
]},
và ngược lại , chúng ta có được lnQ
-
11 = πi, lnQ
-
12 = -πi. Theo đó, các chức năng exp [-
?
h
g
-
h
(w)] bỏ
ra để có một số không thứ tự 1 / 2atw = 0 và một điểm cực của thứ tự 1 ATW = w *
. Luôn nhớ rằng F - có một cực
bậc 3 / 2atw = 0 và một số không ATW = w *
chúng tôi kết luận thats lý - (w) có dạng sau đây
s - (w) = s
(0)
- +
s
(
1) -
w
.
Các coefficientss
(0) --ands (1) --follow từ Laurent (4.11) Các unknownw * có thể được đánh giá bởi các điều kiện (2) - = 0 và chúng tôi kết luận thatF - (w) có hai số w (1) - = w * , w (2) - = - s (1) - s (0) - . 102 M. Romeo / Làn sóng chuyển động 39 (2004) 93-110 (2) s1 = + 1, s2 = -1. Trong trường hợp này, chúng ta có được lnQ + - 1 (t) = πion các wholeΓ1and hàm exp [- ? h g + - h (w)] có một điểm không để 1 / 2atw = 0 và không có cực. Nó chỉ ra rằng s + - (w) = s (0) + - + s (1) + - w , nơi coefficientss (0) + -ands (1) + -là giá trị của các công thức tương ứng (4.9) và g (0) + - = 1, g (1) + - = 1 2w1 + I (1) + -. Chúng tôi kết luận thatF + - (w) có chỉ zerow + - = - s (1) + - / s (0) + -. (3) s1 = -1, s2 = + 1. Chúng tôi có lnQ - + 1 (t) = - πion exp wholeΓ1and [- ? g - + h ] có một cực của tự 1/2 ATW = 0. Như một hệ quả, s - + (w) phải có một cực của trật tự hai ATW = 0. Chúng tôi nhận được s - + (w) = s (0) - ++ s (1) - + w + s (2) - + w2 . Trong trường hợp này, g (0) - + = 1, g (1) - + = - 1 2w1 + I (1) - +, g (2) - + = - 1 4w 2 1 + I (2) - ++ 1 2 ? 1 2w1-I (1) - + ? 2 . Chúng tôi kết luận thatF - + (w) có hai số không, w (1) - +, w (2) - +. (4) s1 = s2 = + 1. Như trong caseF đầu ± ++ (t) biến mất tại một pointw nội bộ * 1 ofΓ1. Do đó, chúng tôi đặt ra một lần nữa Γ1 = Γ11∪Γ12and được lnQ ++ 11 (t) = - πi, lnQ ++ 12 (t) = πi. Các chức năng exp [- ? h g ++ h ] hóa ra có một cực của thứ tự 1 / 2atw = 0 và một điểm không để 1 ATW * 1 . Sincew * 1 cũng là một off zero ++ ++ chức năng có ít nhất một điểm không để twow = w * 1 . Sincew = 0 lượt ra được một cực của trật tự hai fors ++, chúng ta có được s ++ (w) = s (0) +++ s (1) ++ w + s (2) ++ W2 Nó sau thatw * 1 là một ofs gốc đôi ++ = 0 và, do đó, nó thỏa mãn phương trình w * 1 = - s (1) ++ 2s (0) ++ , wheres (1) ++ phải được định giá bởi takingg (1) ++ = 1 2 (w1-2w * 1 ) + I (1) ++. Do đó, F ++ (w) = 0 chỉ có một gốc w ++ = w * 1 . Tóm lại, chúng tôi đã tìm thấy sáu nhân của phương trình: Fs1s2 (w) = 0. Các giá trị tương ứng của các gốc của phương trình. (3.15) sẽ được ký hiệu byz (1) -, z (2) -, z + -, z (1) - +, z (2) - +, z ++. Chúng ta có thể thấy rằng chỉ có một trong những nhân đại diện cho một làn sóng bề mặt hiệu quả. Theo quan điểm của sự chuyển đổi Mobius (4.2), các rootw (1) --corresponds toz (1) - <1. Nhờ vào (3.14) này ngụ ý rằng κA, κψandκeare tưởng tượng và phải được thực hiện cùng một dấu. Do đó, sự bất bình đẳng (3.3) được thỏa mãn bởi một sự lựa chọn đúng đắn của các dấu hiệu. Các rootw (2) --corresponds toz (2) -> 1 và makesκAreal. Điều này mâu thuẫn với các hạn chế (3.3) và không đưa ra các sóng bề mặt. Điều tương tự cũng forw + -which givesz + -> 1. Các rootsw (1) - +, w (2) - + có thể được thực hoặc phức liên hợp. Trong trường hợp đầu tiên chúng tương ứng với một lần nữa toz (1) - +> 1 andz (2) - +> 1 mà phải từ chối. Trong trường hợp thứ hai những phần tưởng tượng của các gốc trong tay phải bên ofEq. (3.14) có những dấu hiệu tương tự nhưng sự lựa chọn của các dấu hiệu ngăn cản chúng tôi để obtainκA, κψandκewith cùng dấu. Một lần nữa, trong trường hợp này không có sóng bề mặt được thừa nhận. Các rootw cuối ++ tương ứng toz ++ <1 andκA, κψ, κeturn ra là tưởng tượng, nhưng với các dấu hiệu khác nhau. M. Romeo / Làn sóng chuyển động 39 (2004) 93-110 103 Chúng tôi kết luận thatEq. (3.15) thừa nhận chỉ có một gốc đại diện cho một SH sóng bề mặt electromagnetoacoustic. Rõ ràng, đó là do z (1) - = 1 α1 2 ? 1 α2 - 1 α1 ?? 1- 2 α- a 2-4β , (4.12) trong đó α = F (1) F (0) - 1 2 w1 + I (1) -, β = - 1 2 W1 ? F (1) F (0) + 1 4 W1 + I (1) - + ? F (1) F (0) + 1 2 I (1) - I (1) - + F (2) F (0) + I (2) -.