where x = −1, and σ2 covers with th

where x = −1, and σ2 covers with the exception of a vertical line on the front
where x = 1. Together they cover the entire set and thus they constitute an
atlas.
y
z
x
Example 1.5.3. The spherical coordinate map
σ(u, v) = (cosu cos v, cosu sin v, sinu), − π 2 < u < π 2, −π < v < π,
and its variation
σ ˜(u, v) = (cos u cosv, sinu, cos u sinv), − π 2 < u < π 2, 0 < v < 2π,
are charts on the unit sphere. The restrictions on u and v ensure that they
are regular and injective. The chart σ covers the sphere except a half circle
(a meridian) in the xz-plane, on the back where x ≤ 0, and the chart ˜ σ
similarly covers with the exception of a half circle in the xy-plane, on the
front where x ≥ 0 (half of the ‘equator’). As seen in the following figure the
excepted half-circles are disjoint. Hence the two charts together cover the
full sphere and they constitute an atlas.
y
z
x
Theorem 1.5. Let S be a surface. There exists an atlas of it.
Proof. For each p ∈ S we choose an embedded parametrized surface σ as in
Definition 1.4. Since a homeomorphism is injective, this parametrization is
a chart on S. The collection of all these charts is an atlas. 

Kết quả (Việt) 1:

nơi x = −1, và σ2 nằm trên một ngoại trừ một đường thẳng đứng trên mặt trậnnơi x = 1. Cùng nhau, họ bao gồm các thiết lập toàn bộ và do đó họ tạo thành mộttập bản đồ.yzxVí dụ 1.5.3. Bản đồ tọa độ cầuΣ (u, v) = (cosu cos v, cosu tội lỗi v, sinu), số π − 2 < u < π 2, −π < v < π,và biến thể của nóΣ ˜ (u, v) = (cos u cosv, sinu, cos u sinv), số π − 2 < u < π 2, 0 < v < 2π,là bảng xếp hạng trên mặt cầu đơn vị. Các hạn chế về bạn và v đảm bảo rằng họđược thường xuyên và phải. Bảng xếp hạng σ nằm trên một mặt cầu ngoại trừ một vòng tròn một nửa(kinh tuyến) trong xz-phẳng, trên mặt sau nơi x ≤ 0, và biểu đồ ˜ σtương tự như vậy bao gồm ngoại trừ một vòng tròn một nửa trong xy-máy bay, trên cáctrước khi x ≥ 0 (một nửa của đường xích đạo). Như đã thấy trong hình dưới đây cácvòng tròn nửa trừ được các. Do đó hai biểu đồ với nhau bao gồm cáchình cầu đầy đủ và họ tạo thành một bản đồ.yzxĐịnh lý 1.5. Giả sử S là một bề mặt. Có tồn tại một bản đồ của nó.Bằng chứng. Đối với mỗi ∈ p S chúng tôi chọn một nhúng parametrized σ bề mặt như trongĐịnh nghĩa 1.4. Kể từ khi một phép đồng phôi là phải, parametrization này làmột biểu đồ trên S. Các bộ sưu tập của tất cả các bảng xếp hạng là một bản đồ. 

Kết quả (Việt) 2:

trong đó x = -1, và σ2 bao phủ với các ngoại lệ của một đường thẳng đứng trên mặt trước
đó x = 1. Họ cùng nhau bao gồm toàn bộ các thiết lập và do đó họ tạo thành một
tập bản đồ.
y
z
x
Ví dụ 1.5.3. Các cầu phối hợp đồ
σ (u, v) = (cosu cos v, v cosu tội lỗi, sinu), - π 2 <u <p 2, -π <v <π,
và nó biến
σ ~ (u, v) = (cos u cosv, sinu, cos u sinv), - π 2 <u <π 2, 0 <v <2π,
là các biểu đồ trên mặt cầu đơn vị. Các hạn chế về u và v đảm bảo rằng họ
là thường xuyên và đơn ánh. Các σ biểu đồ bao gồm các lĩnh vực, ngoại trừ một nửa vòng tròn
(một kinh tuyến) trong mặt phẳng xz, trên mặt sau đó x ≤ 0, và biểu đồ ~ σ
tương tự bao gồm ngoại trừ một nửa vòng tròn trong xy-máy bay, trên
phía trước, nơi x ≥ 0 (một nửa 'xích đạo'). Như đã thấy trong hình sau
nửa vòng tròn trừ là rời nhau. Do đó hai bảng xếp hạng với nhau bao gồm các
quả cầu đầy đủ và họ tạo thành một tập bản đồ.
Y
z
x
Định lý 1.5. S là một bề mặt. Có tồn tại một tập bản đồ của nó.
Proof. Đối với mỗi p ∈ S chúng tôi chọn một bề mặt σ parametrized nhúng như trong
Định nghĩa 1.4. Kể từ khi một đồng phôi là đơn ánh, parametrization đây là
một biểu đồ trên S. Các bộ sưu tập của tất cả các bảng xếp hạng là một tập bản đồ. ?