Theorem 2.25 (Chinese Remainder The

Theorem 2.25 (Chinese Remainder Theorem). Let m1,m2,...,mk be a collection of pairwise relatively prime integers. This means that
gcd(mi,mj) = 1 for all .
Let a1,a2,...,ak be arbitrary integers. Then the system of simultaneous congruences
x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), ..., x ≡ ak (mod mk) (2.7) has a solution x = c. Further, if are both solutions, then
. (2.8)
Proof. Suppose that for some value of i we have already managed to find a solution x = ci to the first i simultaneous congruences,
x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), ..., x ≡ ai (mod mi). (2.9)
For example, if i = 1, then c1 = a1 works. We are going to explain how to find a solution to one more congruence,
x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), ..., x ≡ ai+1 (mod mi+1).
The idea is to look for a solution having the form
x = ci + m1m2 •••miy.
Notice that this value of x still satisfies all of the congruences (2.9), so we need merely choose y so that it also satisfies x ≡ ai+1 (mod mi+1). In other words, we need to find a value of y satisfying
ci + m1m2 •••miy ≡ ai+1 (mod mi+1).
Proposition 1.13(b) and the fact that gcd(mi+1,m1m2 •••mi) = 1 imply that we can always do this. This completes the proof of the existence of a solution. We leave to you the task of proving that different solutions satisfy (2.8).
The proof of the Chinese remainder theorem (Theorem 2.25) is easily converted into an algorithm for finding the solution to a system of simultaneous congruences. An example suffices to illustrate the general method.
Example 2.26. We solve the three simultaneous congruences
x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 7), x ≡ 4 (mod 16). (2.10)
The Chinese remainder theorem says that there is a unique solution modulo 336, since 336 = 3 • 7 • 16. We start with the solution x = 2 to the first congruence x ≡ 2 (mod 3). We use it to form the general solution x = 2 + 3y and substitute it into the second congruence to get
2 + 3y ≡ 3 (mod 7).

Kết quả (Việt) 1:

Định lý 2,25 (Trung Quốc còn lại định lý). Hãy để m1, m2,..., mk là một bộ sưu tập của cử tương đối nguyên tố số nguyên. Điều này có nghĩa là gcd(mi,MJ) = 1 cho tất cả.Hãy để a1, a2,..., ak là bất kỳ số nguyên. Sau đó có hệ thống đồng thời hìnhx ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2),..., x ≡ ak (mod mk) (2,7) có một giải pháp x = c. Hơn nữa, nếu là cả hai giải pháp, sau đó . (2,8)Bằng chứng. Giả sử rằng đối với một số giá trị của tôi chúng tôi đã đã quản lý để tìm một giải pháp x = ci để là người đầu tiên tôi đồng thời hình, x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2),..., x ≡ ai (mod mi). (2.9)Ví dụ, nếu tôi = 1, thì c1 = a1 công trình. Chúng tôi sẽ giải thích làm thế nào để tìm một giải pháp cho một thêm congruence, x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2),..., x ≡ ai + 1 (mod mi + 1).Ý tưởng là để tìm một giải pháp có các hình thứcx = ci + m1m2 •••miy.Thông báo rằng giá trị này của x vẫn đáp ứng tất cả các hình (2,9), do đó, chúng tôi chỉ cần chọn y do đó nó cũng đáp ứng x ≡ ai + 1 (mod mi + 1). Nói cách khác, chúng tôi cần phải tìm một giá trị của y đáp ứng ci + m1m2 •••miy ≡ ai + 1 (mod mi + 1).Döï 1.13(b) và thực tế đó ƯCLN (mi + 1, m1m2 •••mi) = 1 ngụ ý rằng chúng tôi luôn luôn có thể làm điều này. Điều này hoàn thành bằng chứng về sự tồn tại của một giải pháp. Chúng tôi để lại cho bạn nhiệm vụ chứng minh rằng giải pháp khác nhau đáp ứng (2,8). Chứng minh định lý Trung Quốc còn lại (định lý 2,25) dễ dàng được chuyển đổi thành một thuật toán cho việc tìm kiếm các giải pháp cho một hệ thống đồng thời hình. Một ví dụ suffices để minh họa phương pháp tổng quát.Ví dụ 2,26. Chúng tôi giải quyết đồng thời hình ba x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 7), x ≡ 4 (mod 16). (2.10)Định lý Trung Quốc còn lại nói rằng đó là một giải pháp độc đáo theo modulo 336, kể từ 336 = 3 • 7 • 16. Chúng tôi bắt đầu với các giải pháp x = 2 để đầu tiên congruence x ≡ 2 (mod 3). Chúng tôi sử dụng nó để tạo thành giải pháp tổng thể x = 2 + 3y và thay thế nó vào congruence thứ hai để có được2 + 3y ≡ 3 (mod 7).

Kết quả (Việt) 2:

Định lý 2.25 (Định lý còn lại của Trung Quốc). Hãy m1, m2, ..., mk là một bộ sưu tập các cặp số nguyên tố tương đối. Điều này có nghĩa rằng
gcd (mi, mj) = 1 cho tất cả.
Hãy a1, a2, ..., ak là số nguyên tùy ý. Sau đó, hệ thống đồng thời đồng dư
x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), ..., x ≡ ak (mod mk) (2.7) có một giải pháp x = c. Hơn nữa, nếu được cả hai giải pháp, sau đó
. (2.8)
Proof. Giả sử rằng đối với một số giá trị của i chúng tôi đã quản lý để tìm một giải pháp x = ci để các đồng dư đồng thời tôi lần đầu tiên,
x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), ..., x ≡ ai (mod mi). (2.9)
Ví dụ, nếu i = 1, sau đó c1 = a1 công trình. Chúng tôi sẽ giải thích làm thế nào để tìm một giải pháp cho một tương đẳng hơn,
x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), ..., x ≡ ai + 1 (mod mi + 1).
Ý tưởng là để tìm kiếm một giải pháp có dạng
x = ci + m1m2 ••• miy.
Chú ý rằng giá trị này của x vẫn đáp ứng tất cả các đồng dư (2,9), vì vậy chúng tôi cần phải chỉ đơn thuần là chọn y sao cho nó cũng thỏa mãn x ≡ ai + 1 (mod mi + 1). Nói cách khác, chúng ta cần phải tìm một giá trị của y thỏa mãn
ci + m1m2 ••• miy ≡ ai + 1 (mod mi + 1).
Dự 1,13 (b) và thực tế là gcd (mi + 1, m1m2 ••• mi) = 1 có nghĩa là chúng ta luôn luôn có thể làm điều này. Điều này hoàn thành bằng chứng về sự tồn tại của một giải pháp. Chúng tôi để lại cho bạn những nhiệm vụ chứng minh rằng các giải pháp khác nhau đáp ứng (2.8).
Các bằng chứng về lý phần còn lại của Trung Quốc (Định lý 2.25) có thể dễ dàng chuyển đổi thành một thuật toán cho việc tìm kiếm các giải pháp cho một hệ thống đồng dư đồng thời. Một ví dụ đủ để minh họa các phương pháp chung.
Ví dụ 2.26. Chúng tôi giải quyết ba đồng dư đồng thời
x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 7), x ≡ 4 (mod 16). (2.10)
Các lý phần còn lại của Trung Quốc nói rằng có một giải pháp độc đáo modulo 336, từ 336 = 3 • 7 • 16. Chúng tôi bắt đầu với các giải pháp x = 2 để các chất đồng đẳng đầu tiên x ≡ 2 (mod 3). Chúng tôi sử dụng nó để tạo thành các giải pháp chung x = 2 + 3Y và thay thế nó vào congruence thứ hai để có được
2 + 3Y ≡ 3 (mod 7).