4.1.1 A Transcendental Equation Non

4.1.1 A Transcendental Equation Nonalgebraic equations are referred to as being "transcendental." example is An cos x cosh x -1 0 (4,2) and is typical for equations arising in problems of resonance. Before one starts computing roots, it is helpful to gather some qualitative properties about them: are there any symmetries among the roots? How many roots are there? Where approximately are they located? With regard to one notes immediately symmetry, from (4.2) that the roots are located symmetrically with respect to the origin: if a is a root, so is -a, Also, a 0 is a trivial root (which is uninteresting in applications). It suffices therefore to consider positive roots. A quick way to get insight into the number and location of roots of (4.2) is to divide the equation by cos x and to rewrite it in the form (4,3) cos x No roots are being lost by this transformation since clearly cosx 0at any root x a. Now one graphs the function on the right and the function on the left and observes where the two graphs intersect. The respective abscissae of intersection are the desired (real) roots of (4.2). This is illustrated in Fig. 4.1 (not drawn to scale) It is evident from this figure that there are infinitely many positive roots. Indeed, each interval [(2n !)n, (2n r], n 1, 2, 3 has exactly two roots an Bn, an rapidly approaching the left endpoint, and Bn the right endpoint, as n increases. These account for all positive roots and thus, by symmetry, for all root, nishing real roots. In applications, it is likely that only the smallest positive al, will be of interest. 4.1.2 A Two-Point Boundary Value Problem Here we are looking for a function y e C2[0, 1] satisfying the differential equation g(r, y, y'), 0 (4.4) and the boundary conditions y (0) yo, y(1) (4.5)

Kết quả (Việt) 1:

4.1.1 một phương trình siêu Nonalgebraic phương trình được gọi là "siêu Việt". ví dụ là một cos x cosh x-1 0 (4.2) và là điển hình cho phương trình phát sinh trong các vấn đề của cộng hưởng. Trước khi một trong những bắt đầu máy tính nguồn gốc, nó là hữu ích để thu thập một số đặc tính chất lượng về họ: có bất kỳ sự giữa rễ? Làm thế nào nhiều rễ đang có? Khoảng chúng ở đâu? Với quan đến một ghi chú ngay lập tức đối xứng, từ (4.2) các rễ được đặt đối xứng đối với nguồn gốc: nếu một là một gốc, do đó - một, cũng, một 0 là một gốc tầm thường (đó là uninteresting trong ứng dụng). Nó suffices do đó cần xem xét nguồn gốc tích cực. Một cách nhanh chóng để có được cái nhìn sâu sắc vào số lượng và vị trí của rễ (4.2) là để chia các phương trình cos x và để viết lại nó trong các hình thức (4,3) cos x không có rễ đang bị mất bởi chuyển đổi này kể từ rõ ràng cosx 0at bất kỳ gốc x một. Bây giờ, một đồ thị các chức năng bên phải và các chức năng bên trái và quan sát nơi giao nhau của hai đồ thị. Abscissae giao điểm, tương ứng là các rễ (4.2) mong muốn (thực sự). Điều này được minh họa trong hình 4.1 (không được rút ra để quy mô), nó là điều hiển nhiên từ con số này đang vô cùng nhiều rễ tích cực. Thật vậy, mỗi khoảng thời gian [(2n!) n, (2n r], n 1, 2, 3 có chính xác hai nguồn gốc từ một Bn, một nhanh chóng tiếp cận endpoint trái, và Bn điểm cuối bên phải, như n tăng. Tài khoản cho tất cả các rễ tích cực và do đó, bởi sự đối xứng, cho tất cả gốc rễ, rễ thực nishing. Trong các ứng dụng, nó có khả năng chỉ là nhỏ nhất tích cực al, sẽ quan tâm. 4.1.2 A hai điểm biên giá trị vấn đề ở đây chúng tôi đang tìm kiếm một chức năng y e C2 [0, 1] thỏa mãn phương trình vi phân g (r, y, y'), 0 (4.4) đến ranh giới tiết y (0), y(1) (4.5)

Kết quả (Việt) 2:

4.1.1 phương trình A Siêu Equation Nonalgebraic được gọi là "siêu việt". Ví dụ là An cos x cây vồ x -1 0 (4,2) và là điển hình cho phương trình phát sinh các vấn đề của cộng hưởng. Trước khi bắt đầu một rễ tính, nó là hữu ích để thu thập một số tính chất định tính về họ: được có bất kỳ đối xứng giữa các rễ? Làm thế nào nhiều rễ đang có? Nơi có khoảng được họ đặt ở đâu? Đối với người ta ghi nhận ngay lập tức đối xứng, từ (4.2) rằng gốc rễ nằm về nguồn gốc đối xứng với: nếu a là một gốc, như vậy là -a, Ngoài ra, một 0 là một gốc tầm thường (đó là nhàm chán trong các ứng dụng) . do đó nó cũng đủ để xem xét rễ tích cực. Một cách nhanh chóng để có được cái nhìn sâu sắc vào số lượng và vị trí của gốc rễ của (4.2) là để phân chia các phương trình bằng cos x và viết lại nó trong biểu mẫu (4,3) cos x Không có rễ đang bị mất do chuyển đổi này vì rõ ràng cosx 0at bất kỳ gốc x a. Bây giờ một đồ thị hàm trên bên phải và các chức năng bên trái và quan sát nơi hai đồ thị cắt nhau. Các abscissae tương ứng của giao điểm được mong muốn (thực) rễ của (4.2). Điều này được minh họa trong hình. 4.1 (không vẽ theo tỷ lệ) Đó là điều hiển nhiên từ con số này cho thấy có vô số rễ tích cực. Thật vậy, mỗi khoảng thời gian [(2n) n, (2n r], n 1, 2, 3 có đúng hai rễ một TĐ, một tiếp cận nhanh chóng các điểm cuối bên trái, và TĐ điểm cuối bên phải, như n tăng. Những tài khoản cho tất cả rễ tích cực và do đó, bằng cách đối xứng, cho tất cả gốc, rễ thúc chéo sản. trong các ứng dụng, có khả năng là chỉ nhỏ nhất dương al, sẽ được quan tâm. 4.1.2 một Hai điểm Boundary Value vấn đề ở đây chúng tôi đang tìm kiếm một chức năng các ngươi C2 [0, 1] thỏa mãn phương trình vi phân g (r, y, y '), 0 (4.4) và các điều kiện biên y (0) yo, y (1) (4.5)