KEITH CONRAD3. The Division Theorem

KEITH CONRAD
3. The Division Theorem
One reason we will be able to transfer a lot of results from Z to Z[i] is the following
analogue of division-with-remainder in Z.
Theorem 3.1 (Division Theorem). For α, β ∈ Z[i] with β 6= 0, there are γ, ρ ∈ Z[i] such
that α = βγ + ρ and N(ρ) < N(β). In fact, we can choose ρ so N(ρ) ≤ (1/2) N(β).
The numbers γ and ρ are the quotient and remainder, and the remainder is bounded in
size (according to its norm) by the size of the divisor β.
Before we prove Theorem 3.1 we note there is a subtlety in trying to calculate γ and ρ.
This is best understood by working through an example.
Example 3.2. Let α = 27 − 23i and β = 8 + i. The norm of β is 65. We want to write
α = βγ + ρ where N(ρ) < 65. The idea is to consider the ratio α/β and rationalize the
denominator:

Kết quả (Việt) 1:

KEITH CONRAD3. định lý bộ phậnMột trong những lý do chúng tôi sẽ có thể chuyển rất nhiều kết quả từ Z Z [i] là sautương tự của sư đoàn với còn lại trong Z.Định lý 3.1 (bộ phận định lý). Cho α, β ∈ Z [i] với β 6 = 0, có γ, ρ ∈ Z [i] như vậyđó α = βγ + ρ và N(ρ) < N(β). Trong thực tế, chúng tôi có thể chọn ρ do đó N(ρ) ≤ (1/2) N(β).Số γ và ρ thương và phần còn lại, và phần còn lại được bao bọc trongKích thước (theo tiêu chuẩn của nó) bởi kích thước của ước này β.Trước khi chúng ta chứng minh định lý 3.1 chúng tôi lưu ý có một tinh tế trong cố gắng để tính toán γ và ρ.Điều này tốt nhất hiểu bởi làm việc thông qua một ví dụ.Ví dụ 3.2. Hãy để α = 27 − 23i và β = 8 + i. Chuẩn β là 65. Chúng tôi muốn viếtΑ = βγ + ρ nơi N(ρ) < 65. Ý tưởng là để xem xét tỷ lệ α/β và hợp lý hoá cácmẫu số:

Kết quả (Việt) 2:

KEITH CONRAD
3. Bộ phận lý
Một lý do chúng tôi sẽ có thể chuyển rất nhiều kết quả từ Z tới Z [i] là sau
tương tự của phân ở cùng còn lại trong Z.
Định lý 3.1 (Định lý Division). Đối với α, β ∈ Z [i] với β 6 = 0, có γ, ρ ∈ Z [i] như
rằng α = βγ + ρ và N (ρ) <N (β). Trong thực tế, chúng ta có thể chọn ρ nên N (ρ) ≤ (1/2) N (β).
Những con số g và ρ là các thương và còn lại, và phần còn lại được bao bọc trong
kích thước (theo tiêu chuẩn của nó) bằng kích thước của β ước.
Trước khi chúng tôi chứng minh Định lý 3.1, chúng tôi lưu ý có một sự tinh tế trong việc cố gắng để tính toán γ và ρ.
Điều này được hiểu tốt nhất bằng cách làm việc thông qua một ví dụ.
Ví dụ 3.2. Hãy α = 27 - 23i và β = 8 + i. Các chỉ tiêu β là 65. Chúng tôi muốn viết
α = βγ + ρ N (ρ) <65. Ý tưởng là để xem xét tỷ lệ α / β và hợp lý hóa các
mẫu số: