4.6.2 The Datar-Gionis-Indyk-Motwan

4.6.2 The Datar-Gionis-Indyk-Motwani Algorithm
We shall present the simplest case of an algorithm called DGIM. This version of the algorithm uses O(log2 N) bits to represent a window of N bits, and allows us to estimate the number of 1’s in the window with an error of no more than 50%. Later, we shall discuss an improvement of the method that limits the error to any fraction ǫ > 0, and still uses only O(log2 N) bits (although with a constant factor that grows as ǫ shrinks). To begin, each bit of the stream has a timestamp, the position in which it arrives. The first bit has timestamp 1, the second has timestamp 2, and so on.
Since we only need to distinguish positions within the window of length N, we shall represent timestamps modulo N, so they can be represented by log2 N bits. If we also store the total number of bits ever seen in the stream (i.e., the most recent timestamp) modulo N, then we can determine from a timestamp modulo N where in the current window the bit with that timestamp is. We divide the window into buckets,5 consisting of:
1. The timestamp of its right (most recent) end.
2. The number of 1’s in the bucket. This number must be a power of 2, and we refer to the number of 1’s as the size of the bucket.
To represent a bucket, we need log2 N bits to represent the timestamp (modulo N) of its right end. To represent the number of 1’s we only need log2 log2 N bits. The reason is that we know this number i is a power of 2, say 2j, so we can represent i by coding j in binary. Since j is at most log2 N, it requires log2 log2 N bits. Thus, O(logN) bits suffice to represent a bucket. There are six rules that must be followed when representing a stream by buckets.
• The right end of a bucket is always a position with a 1. • Every position with a 1 is in some bucket. • No position is in more than one bucket. • There are one or two buckets of any given size, up to some maximum size. • All sizes must be a power of 2. • Buckets cannot decrease in size as we move to the left (back in time).

Kết quả (Việt) 1:

4.6.2 the Datar-Gionis-Indyk-Motwani thuật toán
chúng tôi sẽ trình bày trường hợp đơn giản nhất của một thuật toán gọi là DGIM. Phiên bản này của các thuật toán sử dụng O (log2 N) bit để đại diện cho một cửa sổ N bit, và cho phép chúng tôi để ước lượng số 1 trong cửa sổ với một lỗi không quá 50%. Sau đó, chúng tôi sẽ thảo luận về một sự cải tiến của phương pháp lỗi cho bất kỳ ǫ phần > 0, giới hạn và vẫn còn sử dụng chỉ O (log2 N) bit (mặc dù với một yếu tố liên tục phát triển như ǫ thu nhỏ). Để bắt đầu, mỗi bit của dòng có một dấu thời gian, vị trí trong đó nó đến. Các bit chính có dấu thời gian 1, thứ hai có dấu thời gian 2, và vì vậy on.
kể từ khi chúng ta chỉ cần phải phân biệt vị trí trong cửa sổ của chiều dài N, chúng tôi sẽ đại diện cho dấu thời gian theo modulo N, Vì vậy, họ có thể được đại diện bởi log2 N bit. Nếu chúng tôi cũng lưu trữ tổng số bit từng thấy trong các dòng (tức là, đặt dấu thời gian) theo modulo N, sau đó chúng tôi có thể xác định từ một dấu thời gian theo modulo N nơi trong cửa sổ hiện tại là chút với dấu thời gian đó. Chúng tôi chia cửa sổ vào thùng, 5 bao gồm:
1. Dấu thời gian của các bên phải (gần đây nhất) cuối.
2. Số 1 trong thùng. Con số này phải là một sức mạnh của 2, và chúng tôi đề cập đến số 1 của như kích thước của Xô.
để đại diện cho một xô, chúng ta cần log2 N bit để đại diện cho dấu thời gian (theo modulo N) của kết thúc đúng. Để đại diện cho số 1 của chúng tôi chỉ cần log2 log2 N bit. Lý do là rằng chúng tôi biết số này tôi là một sức mạnh của 2, nói 2j, do đó, chúng tôi có thể đại diện cho tôi bởi mã hóa j trong hệ nhị phân. Kể từ khi j là tại hầu hết log2 N, nó đòi hỏi log2 log2 N bit. Vì vậy, O(logN) bit suffice đại diện cho một xô. Có sáu quy tắc phải được theo sau khi đại diện cho một dòng bởi Xô.
• cuối một xô, phải luôn luôn là một vị trí với một 1. • Mỗi vị trí với một 1 là trong một số thùng. • Không có vị trí là trong nhiều hơn một thùng. • Có là một hoặc hai nhóm kích thước nhất định bất kỳ, lên đến một số kích thước tối đa. • Tất cả các kích cỡ phải là một quyền lực của 2. • Xô không thể giảm kích thước như chúng tôi di chuyển sang trái (trở lại trong thời gian).

Kết quả (Việt) 2:

4.6.2 Datar-Gionis-Indyk-Motwani Thuật toán
Chúng tôi sẽ trình bày các trường hợp đơn giản của một thuật toán gọi là DGIM. Phiên bản này của thuật toán sử dụng O (log2 N) bit để đại diện cho một cửa sổ của N bit, và cho phép chúng tôi ước tính số lượng 1 trong cửa sổ với một lỗi không quá 50%. Sau đó, chúng ta sẽ thảo luận về một sự cải tiến của phương pháp làm hạn chế các lỗi cho bất kỳ phần ǫ> 0, và vẫn chỉ sử dụng O (log2 N) bit (mặc dù với một yếu tố không đổi mà phát triển như ǫ co lại). Để bắt đầu, mỗi bit của dòng có dấu thời gian, vị trí mà nó đến. Bit đầu tiên có dấu thời gian 1, thứ hai có dấu thời gian 2, và như vậy.
Vì chúng ta chỉ cần phân biệt vị trí trong cửa sổ có chiều dài N, chúng tôi sẽ đại diện cho nhãn thời gian modulo N, để họ có thể được đại diện bởi bit N log2. Nếu chúng ta lưu trữ tổng số bit bao giờ nhìn thấy trong dòng (ví dụ, dấu thời gian gần đây nhất) modulo N, sau đó chúng ta có thể xác định từ một dấu thời gian modulo N nơi trong cửa sổ hiện bit với dấu thời gian đó là. Chúng tôi chia cửa sổ thành các nhóm, 5 bao gồm:
1. Dấu thời gian của bên phải (gần đây nhất) kết thúc.
2. Số 1 trong xô. Con số này phải là một sức mạnh của 2, và chúng tôi tham khảo các số 1 của như kích thước của thùng.
Để đại diện cho một cái xô, chúng ta cần bit log2 N đại diện cho các nhãn thời gian (modulo N) của cuối bên phải của nó. Đại diện cho số 1 của chúng ta chỉ cần log2 log2 bit N. Lý do là chúng ta biết con số này tôi là một sức mạnh của 2, nói 2j, vì vậy chúng tôi có thể đại diện cho tôi bằng cách mã hóa j trong hệ nhị phân. Vì j là tại hầu hết các log2 N, nó đòi hỏi log2 log2 bit N. Do đó, O (logN) bit đủ để đại diện cho một cái xô. Có sáu nguyên tắc phải được theo sau khi đại diện cho một dòng bằng xô.
• Sự kết thúc bên phải của một xô luôn luôn là một vị trí với một 1. • Mỗi vị trí với 1 là trong một số thùng. • Không có vị trí là nhiều hơn một cái xô. • Có một hoặc hai xô của bất kỳ kích thước nào đó, đến một số kích thước tối đa. • Tất cả các kích cỡ phải là một sức mạnh của 2. • Xô không có thể làm giảm kích thước như chúng tôi di chuyển sang trái (trở lại trong thời gian).