Proof A factorization of N yields '

Proof A factorization of N yields '(N). Since e is known, one can recover d. This proves the
converse statement. We now show that given d one can factor N. Given d, compute k = de..1. By
denition of d and e we know that k is a multiple of '(N). Since '(N) is even, k = 2tr with r odd
and t  1. We have gk = 1 for every g 2 Z
N, and therefore gk=2 is a square root of unity modulo N.
By the Chinese Remainder Theorem, 1 has four square roots modulo N = pq. Two of these square
roots are 1. The other two are x where x satises x = 1 mod p and x = ..1 mod q. Using either
one of these last two square roots, the factorization of N is revealed by computing gcd(x .. 1;N).
A straightforward argument shows that if g is chosen at random from Z
N then with probability
at least 1=2 (over the choice of g) one of the elements in the sequence gk=2; gk=4; : : : ; gk=2t
mod N
is a square root of unity that reveals the factorization of N. All elements in the sequence can be
eciently computed in time O(n3) where n = log2 N.

Kết quả (Việt) 1:

Chứng minh một factorization sản lượng N ' (N). Kể từ khi e được biết đến, một trong những có thể phục hồi d. Điều này chứng tỏ các
converse tuyên bố. Chúng tôi bây giờ hiển thị rằng cho một d có thể yếu tố N. Cho d, tính toán k = de...1. bằng
de nition d và e chúng ta biết rằng k là bội số của ' (N). Kể từ khi ' (N) là số chẵn, k = 2tr với r lẻ
và t 1. Chúng tôi có gk = 1 cho mỗi g 2 Z
N, và do đó gk = 2 là một bậc hai của sự thống nhất theo modulo N.
Theo định lý còn lại Trung Quốc, 1 có bốn square rễ modulo N = pq. Hai trong số quảng trường
rễ là 1. Hai khác là x nơi x satis es x = = 1 mod p và x...hỏi: mod 1 bằng cách sử dụng một trong hai
một trong những cuối hai square rễ, factorization N được tiết lộ bởi máy tính ƯCLN (x.. 1;N).
một đối số đơn giản cho thấy rằng nếu g lựa chọn ngẫu nhiên từ Z
N sau đó với xác suất
tối thiểu 1 = 2 (hơn sự lựa chọn của g) một trong những nguyên tố trong chuỗi gk = 2; GK = 4; : : : ; GK = 2t
mod N
là một bậc hai của sự thống nhất cho thấy factorization N. Tất cả các yếu tố trong chuỗi có thể
e ciently tính trong thời gian O(n3) trong trường hợp n = log2 N.

Kết quả (Việt) 2:

Một bằng chứng thừa của N sản lượng (N). Vì e được biết đến, có thể phục hồi d. Điều này chứng tỏ các
tuyên bố ngược lại. Bây giờ chúng tôi cho thấy rằng cho d ta có thể yếu tố N. Với d, tính k = de .. 1. Bởi
de Định nghĩa của d và đ chúng ta biết rằng k là bội số của (N). Từ '(N) thậm chí còn, k = 2tr với r lẻ
và t? 1. Chúng tôi đã GK = 1 cho mỗi g 2 Z?
N, và do đó gk = 2 là một căn bậc hai của sự hiệp nhất theo modulo N.
bởi định lý Phần còn lại của Trung Quốc, 1 có bốn căn bậc hai modulo N = pq. Hai trong số các vuông
rễ? 1. Hai khác? X trong đó x satis es x = 1 mod p và x = 1 .. mod q. Bằng cách sử dụng
một trong hai căn bậc cuối cùng, thừa số của N được tiết lộ bằng cách tính toán UCLN (x .. 1; N).
? Một lập luận đơn giản cho thấy rằng nếu g được chọn ngẫu nhiên từ Z
N sau đó với xác suất
ít nhất 1 = 2 (trên lựa chọn g) một trong những yếu tố trong chuỗi gk = 2; gk = 4; :::; gk = 2t
mod N
là một căn bậc hai của sự hiệp nhất cho thấy các thừa số của N. Tất cả các yếu tố trong chuỗi có thể
e? ciently tính trong thời gian O (n3) trong đó n = log2 N.