Learning ObjectivesDefine degrees o

Learning Objectives
Define degrees of freedom
Estimate the variance from a sample of 1 if the population mean is known
State why deviations from the sample mean are not independent
State the general formula for degrees of freedom in terms of the number of values and the number of estimated parameters
Calculate s2
Some estimates are based on more information than others. For example, an estimate of the variance based on a sample size of 100 is based on more information than an estimate of the variance based on a sample size of 5. The degrees of freedom (df) of an estimate is the number of independent pieces of information on which the estimate is based.
As an example, let's say that we know that the mean height of Martians is 6 and wish to estimate the variance of their heights. We randomly sample one Martian and find that its height is 8. Recall that the variance is defined as the mean squared deviation of the values from their population mean. We can compute the squared deviation of our value of 8 from the population mean of 6 to find a single squared deviation from the mean. This single squared deviation from the mean, (8-6)2 = 4, is an estimate of the mean squared deviation for all Martians. Therefore, based on this sample of one, we would estimate that the population variance is 4. This estimate is based on a single piece of information and therefore has 1 df. If we sampled another Martian and obtained a height of 5, then we could compute a second estimate of the variance, (5-6)2 = 1. We could then average our two estimates (4 and 1) to obtain an estimate of 2.5. Since this estimate is based on two independent pieces of information, it has two degrees of freedom. The two estimates are independent because they are based on two independently and randomly selected Martians. The estimates would not be independent if after sampling one Martian, we decided to choose its brother as our second Martian.
As you are probably thinking, it is pretty rare that we know the population mean when we are estimating the variance. Instead, we have to first estimate the population mean (μ) with the sample mean (M). The process of estimating the mean affects our degrees of freedom as shown below.
Returning to our problem of estimating the variance in Martian heights, let's assume we do not know the population mean and therefore we have to estimate it from the sample. We have sampled two Martians and found that their heights are 8 and 5. Therefore M, our estimate of the population mean, is

Kết quả (Việt) 2:

Mục tiêu học tập
Xác định mức độ tự do
Ước tính phương sai từ một mẫu của 1 nếu dân số có nghĩa là được biết
lý do tại sao nhà nước sai lệch so với giá trị trung bình mẫu là không độc lập
Nhà nước công thức chung cho mức độ tự do về số lượng các giá trị và số lượng ước tính thông số
Tính S2
Một số ước tính này dựa trên nhiều thông tin hơn những người khác. Ví dụ, một ước tính của phương sai dựa trên một cỡ mẫu 100 được dựa trên nhiều thông tin hơn so với ước tính của phương sai dựa trên một kích thước mẫu của 5. Các bậc tự do (df) của một ước tính là số lượng các mảnh độc lập thông tin mà trên đó các ước tính dựa vào.
Như một ví dụ, giả sử rằng chúng ta biết rằng chiều cao trung bình của sao Hỏa là 6 và muốn ước lượng phương sai của chiều cao của họ. Chúng tôi ngẫu nhiên một mẫu Hỏa và thấy rằng chiều cao của nó là 8. Nhớ lại rằng phương sai được xác định là giá trị trung bình bình phương độ lệch của các giá trị từ dân số của họ có ý nghĩa. Chúng tôi có thể tính toán độ lệch bình phương của giá trị của chúng ta về 8 từ trung bình dân số 6 để tìm một độ lệch bình phương đơn từ trung bình. Đây lệch đơn phương từ trung bình, (8-6) 2 = 4, là một ước tính giá trị trung bình bình phương độ lệch cho tất cả sao Hỏa. Vì vậy, dựa trên mẫu này của một, chúng tôi sẽ ước tính rằng sự thay đổi dân số là 4. Ước tính này được dựa trên một mảnh duy nhất của thông tin và do đó có 1 df. Nếu chúng tôi lấy mẫu khác Hỏa và thu được một chiều cao 5, sau đó chúng ta có thể tính toán một ước tính thứ hai của phương sai, (5-6) 2 = 1. Sau đó chúng tôi có thể trung bình ước tính của chúng tôi hai (4 và 1) để có được một ước tính 2,5 . Vì ước tính này dựa trên hai phần độc lập của thông tin, nó có hai bậc tự do. Hai ước tính độc lập vì chúng được dựa trên hai người sao Hỏa một cách độc lập và ngẫu nhiên được chọn. Các ước tính sẽ không được độc lập nếu sau khi lấy mẫu một sao Hỏa, chúng tôi quyết định chọn anh trai của mình là sao Hỏa thứ hai của chúng tôi.
Như bạn có thể nghĩ, nó là khá hiếm hoi mà chúng ta biết dân số có nghĩa là khi chúng ta đang ước lượng phương sai. Thay vào đó, chúng ta phải đầu tiên ước tính trung bình dân số (μ) với giá trị trung bình mẫu (M). Quá trình ước lượng giá trị trung bình ảnh hưởng đến độ chúng tôi tự do như hình dưới đây.
Quay trở lại với vấn đề của chúng ta ước lượng phương sai trong những đỉnh cao của sao Hỏa, chúng ta hãy giả sử chúng ta không biết dân số có ý nghĩa và do đó chúng ta phải ước lượng từ mẫu. Chúng tôi đã lấy mẫu hai người sao Hỏa và nhận thấy rằng chiều cao của họ là 8 và 5. Do đó M, chúng tôi ước tính dân số có ý nghĩa, là