Recent discussions[edit]Although th

Recent discussions[edit]
Although this paradox is three centuries old, new arguments are still being introduced.

Samuelson[edit]
Samuelson resolves the paradox by arguing that, even if an entity had infinite resources, the game would never be offered. If the lottery represents an infinite expected gain to the player, then it also represents an infinite expected loss to the host. No one could be observed paying to play the game because it would never be offered. As Paul Samuelson describes the argument:

Paul will never be willing to give as much as Peter will demand for such a contract; and hence the indicated activity will take place at the equilibrium level of zero intensity. (Samuelson 1960)
Peters[edit]
Ole Peters thinks that the St. Petersburg paradox can be solved by using concepts and ideas from ergodic theory (Peters 2011a). In statistical mechanics it is a central problem to understand whether time averages resulting from a long observation of a single system are equivalent to expectation values. This is the case only for a very limited class of systems that are called "ergodic" there. For non-ergodic systems there is no general reason why expectation values should have any relevance.

Peters points out that computing the naive expected payout is mathematically equivalent to considering multiple outcomes of the same lottery in parallel universes. This is irrelevant to the individual considering whether to buy a ticket since he exists in only one universe and is unable to exchange resources with the others. It is therefore unclear why expected wealth should be a quantity whose maximization should lead to a sound decision theory. Indeed, the St. Petersburg paradox is only a paradox if one accepts the premise that rational actors seek to maximize their expected wealth. The classical resolution is to apply a utility function to the wealth, which reflects the notion that the "usefulness" of an amount of money depends on how much of it one already has, and then to maximise the expectation of this. The choice of utility function is often framed in terms of the individual's risk preferences and may vary between individuals: it therefore provides a somewhat arbitrary framework for the treatment of the problem.

An alternative premise, which is less arbitrary and makes fewer assumptions, is that the performance over time of an investment better characterises an investor's prospects and, therefore, better informs his investment decision. In this case, the passage of time is incorporated by identifying as the quantity of interest the average rate of exponential growth of the player's wealth in a single round of the lottery,

ar{g}(w,c) = sum_{k=1}^infty p_k ln left(frac{w-c+D_k}{w}
ight)
per round, where D_k is the kth (positive finite) payout and p_k is the (non-zero) probability of receiving it. In the standard St. Petersburg lottery, D_k=2^{k-1} and p_k=2^{-k}.

Although this is an expectation value of a growth rate, and may therefore be thought of in one sense as an average over parallel universes, it is in fact equivalent to the time average growth rate that would be obtained if repeated lotteries were played over time (Peters 2011a). While ar{g} is identical to the rate of change of the expected logarithmic utility, it has been obtained without making any assumptions about the player's risk preferences or behaviour, other than that he is interested in the rate of growth of his wealth.

Under this paradigm, an individual with wealth w should buy a ticket at a price c provided

ar{g}(w,c)>0.
This strategy counsels against paying any amount of money for a ticket that admits the possibility of bankruptcy, i.e.

w-c+D_k = 0,
for any k, since this generates a negatively divergent logarithm in the sum for ar{g} which can be shown to dominate all other terms in the sum and guarantee that ar{g}

Kết quả (Việt) 1:

Tại cuộc thảo luận [sửa]Mặc dù nghịch lý này là ba thế kỷ cũ, mới đối số được vẫn còn đang được giới thiệu.Samuelson [sửa]Samuelson giải quyết nghịch lý của lập luận rằng, ngay cả khi một thực thể có nguồn tài nguyên vô hạn, các trò chơi sẽ không bao giờ được cung cấp. Nếu xổ số đại diện cho một dự kiến tăng vô hạn cho người chơi, sau đó nó cũng đại diện cho một mất mát vô hạn dự kiến đến máy chủ. Không ai có thể được quan sát thấy trả tiền để chơi các trò chơi bởi vì nó sẽ không bao giờ được cung cấp. Như Paul Samuelson mô tả các đối số:Paul không bao giờ sẽ được sẵn sàng để cung cấp cho càng nhiều càng tốt, Peter sẽ yêu cầu cho như một hợp đồng; và vì thế các hoạt động được chỉ định sẽ diễn ra ở cấp độ cân bằng của cường độ không. (Samuelson 1960)Peters [sửa]Ole Peters nghĩ rằng nghịch lý St. Petersburg có thể được giải quyết bằng cách sử dụng các khái niệm và ý tưởng từ lý thuyết ergodic (Peters 2011a). Trong cơ học thống kê nó là một vấn đề Trung tâm để hiểu cho dù thời gian trung bình là hệ quả từ một sự quan sát dài của một hệ thống duy nhất là tương đương với giá trị kỳ vọng. Đây là trường hợp chỉ cho một lớp học rất hạn chế của hệ thống được gọi là "ergodic" có. Đối với hệ thống ergodic có là không có lý do chung tại sao giá trị kỳ vọng cần phải có bất kỳ mức độ phù hợp.Peters chỉ ra rằng máy tính ngây thơ dự kiến sẽ thanh toán là toán học tương đương với xem xét nhiều kết quả của xổ số tương tự trong vũ trụ song song. Điều này là không liên quan đến cá nhân xem xét việc mua một vé, kể từ khi ông tồn tại trong chỉ có một vũ trụ và không thể trao đổi các tài nguyên với những người khác. Nó là do đó không rõ ràng lý do tại sao sự giàu có dự kiến sẽ có một số lượng tối đa hóa mà nên dẫn đến một lý thuyết âm thanh quyết định. Thật vậy, nghịch lý St Petersburg là chấp nhận chỉ là một nghịch lý nếu một trong những tiền đề rằng hợp lý diễn viên tìm kiếm để tối đa hóa tài sản mong đợi của họ. Giải pháp cổ điển là để áp dụng một chức năng hữu ích cho sự giàu có, trong đó phản ánh các khái niệm hữu ích"" của một số tiền phụ thuộc vào bao nhiêu của một trong những đã có, và sau đó để tối đa hóa kỳ vọng này. Sự lựa chọn của tiện ích chức năng thường được đóng khung trong điều khoản của các cá nhân nguy cơ sở thích và có thể khác nhau giữa các cá nhân: nó do đó cung cấp một khuôn khổ một chút tùy ý để điều trị vấn đề.Một tiền đề thay thế, đó là ít tùy ý, và làm cho ít giả định là rằng hiệu suất theo thời gian của một sự đầu tư tốt hơn characterises khách hàng tiềm năng của một nhà đầu tư và, do đó, tốt hơn thông báo quyết định đầu tư của mình. Trong trường hợp này, các đoạn văn của thời gian được kết hợp bằng cách xác định như số lượng quan tâm đến mức trung bình của sự tăng trưởng hàm mũ của sự giàu có của người chơi trong một vòng duy nhất của xổ số,ar{g}(w,c) = sum_{k=1}^infty p_k ln left(frac{w-c+D_k}{w}
ight)cho mỗi vòng, nơi D_k là thanh toán kth (tích cực hữu hạn) và p_k là xác suất (không) nhận được nó. Tiêu chuẩn của St. Petersburg xổ số, D_k = 2 ^ {k-1} và p_k = 2 ^ {-k}.Mặc dù đây là một giá trị kỳ vọng của một tỷ lệ tăng trưởng, và có thể do đó được dùng trong một ý nghĩa như là một trong vũ trụ song song, đó là trong thực tế tương đương với mức tăng trưởng trung bình thời gian nào được lấy nếu lặp đi lặp lại xổ số sẽ diễn ra vào các theo thời gian (Peters 2011a). Trong khi ar{g} là giống hệt nhau để mức độ thay đổi của các tiện ích lôgarít dự kiến, nó đã thu được mà không thực hiện bất kỳ giả định về các cầu thủ nguy cơ sở thích hoặc hành vi, khác hơn rằng ông là quan tâm đến tỷ lệ tăng trưởng của sự giàu có của mình.Theo mô hình này, một cá nhân với sự giàu có w nên mua một vé tại một giá c cung cấpar{g}(w,c) > 0.Chiến lược này tham mưu chống lại bất kỳ số tiền thanh toán cho một vé thừa nhận khả năng của phá sản, tức làw-c + D_k = 0,cho bất kỳ k, vì điều này tạo ra một tiêu cực khác nhau logarit tóm lại cho ar{g} mà có thể được hiển thị để thống trị tất cả các điều khoản khác khối và đảm bảo rằng ar{g} < 0. Nếu chúng ta giả định các thanh toán nhỏ nhất là D_1, sau đó các cá nhân sẽ luôn luôn được thông báo từ chối vé ở mức giá nào lớn hơnc_mathrm {max} = w + D_1,bất kể cơ cấu thanh toán xổ số. Giá vé mà tốc độ tăng trưởng dự kiến sẽ rơi xuống bằng không sẽ là ít hơn c_mathrm {max} nhưng có thể lớn hơn w, chỉ ra rằng vay tiền để mua vé nhiều hơn của một sự giàu có có thể là một quyết định âm thanh. Điều này sẽ là trường hợp, ví dụ, nơi các thanh toán nhỏ nhất vượt quá sự giàu có hiện tại của người chơi, như trong trò chơi của Menger.Nó cũng nên được lưu ý trong điều trị ở trên rằng, trái ngược với phân tích của Menger, không xổ số cao, trả tiền có thể tạo ra một nghịch lý mà giải quyết thời gian - hoặc, tương đương, Bernoulli hoặc Laplace lôgarít nghị quyết - không thành công để giải quyết, kể từ khi có luôn luôn là một mức giá mà tại đó xổ số không nên được nhập, mặc dù cho xổ số kiến thiết đặc biệt thuận lợi, điều này có thể lớn hơn giá trị của một.

Kết quả (Việt) 2:

Thảo luận gần đây [sửa]
Mặc dù nghịch lý này là ba thế kỷ, đối số mới vẫn đang được giới thiệu. Samuelson [sửa] Samuelson giải quyết nghịch lý bằng cách cho rằng, ngay cả khi một thực thể có nguồn tài nguyên vô hạn, các trò chơi sẽ không bao giờ được cung cấp. Nếu xổ số đại diện cho một lợi ích dự kiến vô hạn cho người chơi, sau đó nó cũng cho thấy một tổn thất dự kiến vô hạn cho các máy chủ. Không ai có thể quan sát được trả tiền để chơi các trò chơi bởi vì nó sẽ không bao giờ được cung cấp. Như Paul Samuelson mô tả các tham số: Paul sẽ không bao giờ sẵn sàng để cung cấp cho nhiều như Peter sẽ yêu cầu cho một hợp đồng đó; và do đó các hoạt động chỉ định sẽ diễn ra ở mức độ cân bằng của các cường độ không. (Samuelson 1960) Peters [sửa] Ole Peters cho rằng nghịch lý St. Petersburg có thể được giải quyết bằng cách sử dụng các khái niệm và ý tưởng từ lý thuyết ergodic (Peters 2011a). Trong cơ học thống kê nó là một vấn đề trọng tâm để hiểu xem trung bình thời gian kết quả từ một quan sát lâu dài của một hệ thống duy nhất là tương đương với giá trị kỳ vọng. Đây là trường hợp duy nhất cho một lớp học rất hạn chế của hệ thống được gọi là "ergodic" ở đó. Đối với các hệ thống không ergodic không có lý do tại sao các giá trị kỳ vọng chung nên có bất kỳ sự liên quan. Peters chỉ ra rằng tính toán thanh toán dự kiến là ngây thơ về mặt toán học tương đương với xem xét nhiều kết quả xổ số cùng những vũ trụ song song. Điều này là không thích hợp cho cá nhân xem xét việc mua một vé kể từ khi ông chỉ tồn tại trong một vũ trụ và không thể trao đổi tài nguyên với những người khác. Do đó, không rõ ràng lý do tại sao sự giàu có dự kiến sẽ có một số lượng tối đa mà nên dẫn đến một lý thuyết quyết định đúng đắn. Thật vậy, nghịch lý St. Petersburg là chỉ có một nghịch lý nếu chúng ta chấp nhận giả thuyết rằng các diễn viên hợp lý tìm kiếm để tối đa hóa sự giàu có của họ dự kiến. Độ phân giải cổ điển là để áp dụng một chức năng hữu ích cho sự giàu có, trong đó phản ánh quan điểm cho rằng "hữu dụng" của một số tiền phụ thuộc vào bao nhiêu nó một đã có, và sau đó để phát huy tối đa sự mong đợi này. Sự lựa chọn của các chức năng tiện ích thường được đóng khung trong các điều khoản ưu đãi rủi ro của cá nhân và có thể thay đổi giữa các cá nhân: do đó nó cung cấp một khuôn khổ nào tùy ý để điều trị các vấn đề. Một tiền đề thay thế, đó là ít tùy ý và làm cho các giả định ít hơn, đó là hiệu suất theo thời gian của một khoản đầu tư tốt hơn là đặc điểm triển vọng của nhà đầu tư và, do đó, tốt hơn thông báo quyết định đầu tư của mình. Trong trường hợp này, thời gian trôi qua được kết hợp bằng cách xác định như số lượng của lãi suất bình quân tăng trưởng theo cấp số nhân của sự giàu có của người chơi trong một vòng duy nhất của xổ số, bar {g} (w, c) = sum_ {k = 1} ^ infty p_k ln trái ( frac {w-c + D_k} {w} right) mỗi vòng, nơi D_k là thứ k (dương hữu hạn) và thanh toán p_k là (non-zero) xác suất nhận được. Trong các tiêu chuẩn xổ số St. Petersburg, D_k = 2 ^ {k-1} và p_k = 2 ^ {- k}. Mặc dù đây là một giá trị kỳ vọng của một tỷ lệ tăng trưởng, và do đó có thể được nghĩ đến trong một ý nghĩa là trung bình qua các vũ trụ song song, nó là trong thực tế tương đương với tỷ lệ tăng trưởng trung bình thời gian đó sẽ có được nếu xổ số lặp đi lặp lại được chơi theo thời gian (Peters 2011a). Trong khi bar {g} là giống hệt với tốc độ thay đổi của các tiện ích dự kiến logarit, nó đã thu được mà không cần thực hiện bất kỳ giả định về sở thích rủi ro của người chơi hoặc hành vi, ngoại trừ rằng ông là quan tâm đến tốc độ tăng trưởng tài sản của mình. Theo mô hình này, một cá nhân với sự giàu có w nên mua vé với giá c cung cấp bar {g} (w, c)> 0. Chiến lược này bào khỏi phải trả bất kỳ khoản tiền cho một vé mà thừa nhận khả năng phá sản, tức là w-c + D_k = 0, cho bất kỳ k, vì điều này tạo ra một logarit tiêu cực khác nhau trong tổng số tiền cho {g} thanh mà có thể được hiển thị để thống trị tất cả các điều khoản khác trong tổng số tiền và đảm bảo rằng bar {g} < 0. Nếu chúng ta giả sử thanh toán nhỏ nhất là D_1, thì cá nhân sẽ luôn được khuyên nên giảm vé tại bất cứ giá nào lớn hơn c_ mathrm {max} = w + D_1, không phụ thuộc vào cấu trúc thanh toán của xổ số kiến thiết. Giá vé mà tốc độ tăng trưởng dự kiến giảm xuống bằng không sẽ ít hơn c_ mathrm {max} nhưng có thể lớn hơn w, chỉ ra rằng vay tiền để mua một vé cho hơn sự giàu có của một người có thể là một quyết định đúng đắn. Đây sẽ là trường hợp, ví dụ, nơi thanh toán nhỏ nhất vượt quá giàu có hiện tại của người chơi, giống như trong trò chơi Menger của. Nó cũng cần lưu ý trong điều trị ở trên đó, trái ngược với phân tích Menger, không có cao lương xổ số có thể tạo ra một nghịch lý mà thời gian giải quyết - hay tương đương, độ phân giải logarit Bernoulli hay Laplace - có thể không giải quyết được, vì luôn có một mức giá mà tại đó xổ số không nên được nhập vào, mặc dù cho xổ số đặc biệt thuận lợi này có thể lớn hơn của một người có giá trị.