It was late summer in 1949. Harvard

It was late summer in 1949. Harvard Professor Wassily Leontief was carefully feeding the last of his punched cards into the university’s Mark II Computer. The cards contained economic information about the U.S. economy and represented a summary of more than 250,000 pieces of information produced by the U.S. Bureau of Labor Statistics after two years of intensive work. Leontief had divided the U.S. economy into 500 “sectors,” such as the coal industry, the automotive industry, Communications, and so on. For each sector, he had written a linear equation that described how the sector distributed its output to the other sectors of the economy. Because the Mark II, one of the largest computers of its day, could not handle the resulting system of 500 equations in 500 unknowns, Leontief had distilled the problem into a system of 42 equations in 42 unknowns.
Programming the Mark II Computer for Leontief’s 42 equations had required several months of effort, and he was anxious to see how long the Computer would take to solve the problem. The Mark II hummed and blinked for 56 hours before finally producing a solution. We will discuss the nature of this solution in Sections 1.6 and 2.6.
Leontief, who was awarded the 1973 Nobel Prize in Economic Science, opened the door to a new era in mathematical modeling in economics. His efforts


at Harvard in 1949 marked one of the first significant uses of computers to analyze what was then a large- scale mathematical model. Since that time, researchers in many other fields have employed computers to analyze mathematical models. Because of the massive amounts of data involved, the models are usually linear, that is, they are described by systems oýlinear equations.
The importance of linear algebra for applications has risen in direct proportion to the increase in computing power, with each new generation of hardware and software triggering a demand for even greater capabilities. Computer Science is thus intricately linked with linear algebra through the explosive growth of parallel Processing and large-scale computations.
Scientists and engineers now work on problems far more complex than even dreamed possible a few decades ago. Today, linear algebra has more potential value for students in many scientific and business fields than any other undergraduate mathematics subject! The material in this text provides the foundation for further work in many interesting areas. Here are a few possibilities; others will be described later.
• Oil exploration. When a ship searches for offshore oil deposits, its computers solve thousands of separate systems of linear equations every day. The
seismic data for the equations are obtained from underwater shock waves created by explosions from air guns. The waves bounce off subsurface rocks and are measured by geophones attached to mile-long cables behind the ship.
employs linear programs that schedule Aight crews, monitor the locations of aircraít, or plan the varied schedules of support services such as maintenance and terminal operations.


• Linearprogramming. Many important management decisions today are made on the basis of linear programming models that utilize hundreds of variables. The airline industry, for instance,
software to design electrical circuits and microchips involving millions of transistors. Such software relies on linear algebra techniques and systems of linear equations.


WEB
Systems of linear equations lie at the heart of linear algebra, and this chapter uses them to introduce some of the Central concepts of linear algebra in a simple and concrete setting. Sections 1.1 and 1.2 present a systematic method for solving systems of linear equations. This algorithm will be used for computations throughout the text. Sections 1.3 and 1.4 show how a system of linear equations is equivalent to a vector equation and to a matrix equation. This equivalence will reduce problems involving linear combinations of vectors to questions about systems of linear equations. The fundamental concepts of spanning, linear independence, and linear transformations, studied in the second half of the chapter, will play an essential role throughout the text as we explore the beauty and power of linear algebra.

Kết quả (Việt) 1:

Nó đã là cuối mùa hè năm 1949. Harvard giáo sư Wassily Leontief cẩn thận cho ăn cuối cùng của ông vào thẻ vào máy tính của trường đại học Mark II. Các thẻ chứa các thông tin kinh tế về nền kinh tế Mỹ và đại diện cho một bản tóm tắt của hơn 250.000 mẩu thông tin được sản xuất bởi Cục thống kê lao động Hoa Kỳ sau 2 năm làm việc chuyên sâu. Leontief đã chia nền kinh tế Mỹ vào 500 "lĩnh vực", chẳng hạn như ngành công nghiệp than, ngành công nghiệp ô tô, truyền thông, và như vậy. Cho từng lĩnh vực, ông đã viết một phương trình tuyến tính mô tả làm thế nào các lĩnh vực phân phối của nó ra để các lĩnh vực khác của nền kinh tế. Bởi vì Mark II, một trong các máy tính lớn nhất của ngày đó, không thể xử lý hệ các phương trình 500 trong 500 ẩn số, kết quả, Leontief có cất vấn đề vào một hệ thống các phương trình 42 trong ẩn số 42.Lập trình máy tính Mark II cho 42 Leontief của phương trình có yêu cầu nhiều tháng nỗ lực, và ông đã lo lắng để xem bao lâu máy tính sẽ có để giải quyết vấn đề. Mark II hummed và blinked cho 56 giờ trước khi cuối cùng sản xuất một giải pháp. Chúng tôi sẽ thảo luận về bản chất của giải pháp này trong phần 1.6 và 2.6.Leontief, người đoạt giải Nobel kinh tế khoa học năm 1973, mở cửa cho một kỷ nguyên mới trong các mô hình toán học trong kinh tế. Nỗ lực của mình tại Đại học Harvard vào năm 1949 đánh dấu một trong những ứng dụng quan trọng đầu tiên của máy tính để phân tích những gì sau đó là một mô hình toán học quy mô lớn. Kể từ đó, các nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khác đã sử dụng máy tính để phân tích các mô hình toán học. Vì số lượng lớn dữ liệu liên quan, các mô hình thường tuyến tính, có nghĩa là, họ được mô tả bởi hệ thống oýlinear phương trình.Tầm quan trọng của đại số tuyến tính cho các ứng dụng đã tăng tỷ lệ trực tiếp tới sự gia tăng trong khả năng tính toán, với mỗi thế hệ mới của phần cứng và phần mềm gây ra một nhu cầu thậm chí cao hơn khả năng. Khoa học máy tính do đó là phức tạp được liên kết với đại số tuyến tính thông qua sự phát triển bùng nổ của xử lý song song và tính toán quy mô lớn.Các nhà khoa học và kỹ sư bây giờ làm việc về vấn đề thêm rất nhiều phức tạp hơn thậm chí mơ có thể một vài thập kỷ trước. Hôm nay, đại số tuyến tính có thêm giá trị tiềm năng cho sinh viên trong nhiều khoa học và các lĩnh vực kinh doanh hơn bất kỳ chủ đề toán học đại học khác! Các vật liệu trong văn bản này cung cấp nền tảng cho công việc trong nhiều lĩnh vực thú vị. Dưới đây là một vài khả năng; những người khác sẽ được mô tả sau này.• Thăm dò dầu khí. Khi một tàu tìm kiếm tiền gửi ra nước ngoài dầu, máy tính của nó giải quyết hàng ngàn của các hệ thống riêng biệt của phương trình tuyến tính mỗi ngày. Các địa chấn dữ liệu cho các phương trình được lấy từ dưới nước sóng sốc tạo bởi vụ nổ từ máy súng. Các sóng chống lại bên dưới bề mặt đá và được đo bằng geophones gắn liền với cáp kéo dài một dặm phía sau con tàu.sử dụng chương trình tuyến tính lịch trình Aight đội, theo dõi vị trí của aircraít hoặc kế hoạch các lịch trình khác nhau hỗ trợ dịch vụ như bảo trì và hoạt động thiết bị đầu cuối. • Linearprogramming. Quyết định quan trọng quản lý nhiều hôm nay được thực hiện trên cơ sở mô hình lập trình tuyến tính sử dụng hàng trăm biến. Ngành hàng không, ví dụ,phần mềm để thiết kế mạch điện và vi mạch liên quan đến hàng triệu bóng bán dẫn. Phần mềm như vậy dựa trên kỹ thuật đại số tuyến tính và các hệ thống phương trình tuyến tính. WEBHệ thống phương trình tuyến tính nằm ở trung tâm của đại số tuyến tính, và chương này sử dụng chúng để giới thiệu một số khái niệm Trung tâm của đại số tuyến tính trong một thiết lập đơn giản và bê tông. Phần 1.1 và 1.2 trình bày một phương pháp có hệ thống để giải quyết các hệ thống phương trình tuyến tính. Thuật toán này sẽ được sử dụng để tính toán trong suốt các văn bản. Phần 1.3 và 1.4 Hiển thị như thế nào một hệ thống phương trình tuyến tính là tương đương để một phương trình vector và một ma trận của phương trình. Tương đương này sẽ làm giảm các vấn đề liên quan đến kết hợp tuyến tính của vectơ cho câu hỏi về các hệ thống phương trình tuyến tính. Khái niệm cơ bản của bao trùm, tuyến tính độc lập, và biến đổi tuyến tính, nghiên cứu trong nửa sau của chương, sẽ đóng một vai trò quan trọng trong suốt các văn bản khi chúng tôi khám phá vẻ đẹp và sức mạnh của đại số tuyến tính.

Kết quả (Việt) 2:

Đó là vào cuối mùa hè năm 1949. Giáo sư Harvard Wassily Leontief đã cẩn thận ăn cuối cùng của thẻ đấm của mình vào Mark II máy tính của trường đại học. Các thẻ chứa thông tin kinh tế về kinh tế Mỹ và đại diện cho một bản tóm tắt của hơn 250.000 mẩu thông tin do Cục Thống kê lao động sau hai năm làm việc cật lực. Leontief đã chia nền kinh tế Mỹ vào 500 "lĩnh vực", chẳng hạn như ngành than, ngành công nghiệp ô tô, Truyền thông, và như vậy. Đối với mỗi khu vực, ông đã viết một phương trình tuyến tính được mô tả như thế nào ngành phân phối điện tới các lĩnh vực khác của nền kinh tế. Bởi vì Mark II, một trong những máy tính lớn nhất trong ngày của nó, không thể xử lý các hệ thống kết quả của 500 phương trình trong 500 ẩn số, Leontief đã cất các vấn đề thành một hệ thống 42 phương trình trong 42 ẩn số.
Lập trình máy tính Mark II cho Leontief của 42 phương trình đã yêu cầu nhiều tháng nỗ lực, và ông đã lo lắng để xem bao lâu các máy tính sẽ thực hiện để giải quyết vấn đề. The Mark II ậm ừ và chớp mắt cho 56 giờ cuối cùng trước khi sản xuất một giải pháp. Chúng tôi sẽ thảo luận về bản chất của giải pháp này tại mục 1.6 và 2.6.
Leontief, người đã được trao giải thưởng Nobel 1973 trong khoa học kinh tế, mở cửa cho một kỷ nguyên mới trong mô hình toán học trong kinh tế. Những nỗ lực của ông tại Harvard vào năm 1949 đánh dấu một trong những ứng dụng quan trọng đầu tiên của máy tính để phân tích những gì sau đó một mô hình toán học có quy mô lớn. Kể từ thời điểm đó, các nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khác đã sử dụng máy tính để phân tích mô hình toán học. Bởi vì số lượng lớn các dữ liệu có liên quan, các mô hình thường là tuyến tính, có nghĩa là, họ được mô tả bởi hệ thống oýlinear phương trình. Tầm quan trọng của đại số tuyến tính cho các ứng dụng đã tăng tỷ lệ thuận với sự gia tăng sức mạnh tính toán, với mỗi thế hệ mới phần cứng và phần mềm gây ra một nhu cầu về khả năng thậm chí còn lớn hơn. Khoa học máy tính là như vậy, phức tạp liên kết với đại số tuyến tính thông qua sự tăng trưởng bùng nổ của chế biến song song và tính toán quy mô lớn. Các nhà khoa học và các kỹ sư làm việc trên các vấn đề phức tạp hơn so với khả năng thậm chí đã mơ một vài thập kỷ trước đây. Hôm nay, đại số tuyến tính có giá trị tiềm năng cho sinh viên trong nhiều lĩnh vực khoa học và kinh doanh hơn bất kỳ chủ đề toán học khác! Các tài liệu trong văn bản này cung cấp nền tảng cho công việc hơn nữa trong nhiều lĩnh vực thú vị. Dưới đây là một vài khả năng; những người khác sẽ được mô tả sau. • khai thác dầu mỏ. Khi một chiếc tàu tìm kiếm mỏ dầu ngoài khơi, các máy tính của mình giải quyết hàng ngàn hệ thống riêng của phương trình tuyến tính mỗi ngày. Các dữ liệu địa chấn cho các phương trình thu được từ sóng xung kích dưới nước được tạo ra bởi các vụ nổ súng từ không khí. Những con sóng dội lại đá dưới bề mặt và được đo bằng geophones gắn cáp dặm dài đằng sau con tàu. sử dụng các chương trình tuyến tính mà lịch aight thuyền viên, theo dõi vị trí của aircraít, hoặc kế hoạch lịch trình đa dạng của các dịch vụ hỗ trợ như bảo trì và hoạt động của thiết bị đầu cuối. • Linearprogramming. Nhiều quyết định quản lý quan trọng hiện nay được thực hiện trên cơ sở các mô hình lập trình tuyến tính mà sử dụng hàng trăm biến. Ngành công nghiệp hàng không, ví dụ, các phần mềm để thiết kế các mạch điện và các vi mạch liên quan đến hàng triệu bóng bán dẫn. Chẳng hạn phần mềm dựa trên các kỹ thuật đại số tuyến tính và hệ thống phương trình tuyến tính. WEB Hệ thống phương trình tuyến tính nằm ở trung tâm của đại số tuyến tính, và chương này sử dụng chúng để giới thiệu một số khái niệm Trung ương của đại số tuyến tính trong một thiết lập đơn giản và cụ thể. Mục 1.1 và 1.2 trình bày một phương pháp có hệ thống để giải quyết các hệ phương trình tuyến tính. Thuật toán này sẽ được sử dụng để tính toán trong suốt văn bản. Phần 1.3 và 1.4 cho thấy làm thế nào một hệ phương trình tuyến tính là tương đương với một phương trình vector và một phương trình ma trận. Tương đương này sẽ làm giảm các vấn đề liên quan đến tổ hợp tuyến tính của các vectơ cho câu hỏi về hệ thống phương trình tuyến tính. Các khái niệm cơ bản của spanning, độc lập tuyến tính, và biến đổi tuyến tính, nghiên cứu trong nửa thứ hai của chương này, sẽ đóng một vai trò thiết yếu trong suốt văn bản như chúng tôi khám phá những vẻ đẹp và sức mạnh của đại số tuyến tính.