§9. Simson’s line5.85. a) Prove tha

§9. Simson’s line

5.85. a) Prove that the bases of the perpendiculars dropped from a point P of the circumscribed circle of a triangle to the sides of the triangle or to their extensions lie on one line.

This line is called Simson’s line of point P with respect to the triangle.

b) The bases of perpendiculars dropped from a point P to the sides (or their extensions) of a triangle lie on one line. Prove that point P lies on the circumscribed circle of the triangle.

Points A, B and C lie on one line, point P lies outside this line. Prove that the centers of the circumscribed circles of triangles ABP , BCP , ACP and point P lie on one circle.

In triangle ABC the bisector AD is drawn and from point D perpendiculars DB′ and DC′ are dropped to lines AC and AB, respectively; point M lies on line B′C′ and DM ⊥ BC. Prove that point M lies on median AA1.

5.88. a) From point P of the circumscribed circle of triangle ABC lines P A1, P B1 and P C1 are drawn at a given (oriented) angle α to lines BC, CA and AB, respectively, so that points A1, B1 and C1 lie on lines BC, CA and AB, respectively. Prove that points A1, B1 and C1 lie on one line.

b) Prove that if in the definition of Simson’s line we replace the angle 90◦ by an angle α, i.e., replace the perpendiculars with the lines that form angles of α, their intersection points with the sides lie on the line and the angle between this line and Simson’s line becomes equal to 90◦ − α.

5.89. a) From a point P of the circumscribed circle of triangle ABC perpendiculars P A1 and P B1 are dropped to lines BC and AC, respectively. Prove that P A • P A1 = 2Rd, where R is the radius of the circumscribed circle, d the distance from point P to line A1B1.
b) Let α be the angle between lines A1B1 and BC. Prove that cos α =

Kết quả (Việt) 1:

§9. Simson của dòng5.85. một) chứng minh rằng các căn cứ của các perpendiculars đã giảm từ một điểm P của vòng một hình tam giác, đường ở hai bên của tam giác hay nói dối của tiện ích mở rộng trên một dòng.Dòng này được gọi là dòng Simson của điểm P đối với tam giác.b) các căn cứ của perpendiculars giảm xuống từ một điểm P đến các bên (hoặc tiện ích mở rộng của họ) của một tam giác nằm trên cùng một dòng. Chứng minh rằng điểm P nằm trên đường tròn của tam giác. Điểm A, B và C nằm trên cùng một dòng, điểm P nằm ngoài dòng này. Chứng minh rằng các trung tâm của đường tròn của tam giác ABP, BCP, ACP và điểm P nằm trên một vòng tròn. Trong tam giác ABC bisector quảng cáo được rút ra và từ điểm D perpendiculars DB′ và DC′ được giảm xuống dòng AC và AB, tương ứng; điểm M nằm trên đường B′C′, DM ⊥ BC. Chứng minh rằng điểm M nằm trên trung bình AA1.5,88. một) từ điểm P của đường tròn của tam giác ABC dòng P A1, P B1 và P C1 được rút ra ở một góc độ nhất định (định hướng) α để lines TCN, CA và AB, tương ứng, do đó, mà điểm A1, B1 và C1 nằm trên đường BC, CA và AB, tương ứng. Chứng minh rằng điểm A1, B1 và C1 nằm trên cùng một dòng.b) chứng minh rằng nếu trong định nghĩa của Simson dòng chúng tôi thay thế các góc 90◦ bởi một góc α, tức là thay thế các perpendiculars với dòng tạo thành góc α, giao điểm với nằm bên trên dòng và góc giữa dòng này của Simson dòng trở thành tương đương với 90◦ − α.5.89. bản) từ một điểm P của đường tròn của tam giác ABC perpendiculars P A1 và P B1 được giảm xuống dòng BC và AC, tương ứng. Chứng minh rằng • P A P A1 = 2Rd, nơi R là bán kính của đường tròn, d khoảng cách từ điểm P đến dòng A1B1.b) cho phép α là góc giữa đường A1B1 và BC. Chứng minh rằng cos α =

Kết quả (Việt) 2:

§9. Simson của dòng

5,85. a) Chứng minh rằng các căn cứ của các đường vuông góc giảm từ một điểm P của đường tròn ngoại tiếp của một tam giác với các cạnh của tam giác hoặc các phần mở rộng của họ nằm trên một dòng.

Dòng này được gọi là dòng của điểm P Simson của đối với các tam giác với .

b) các cơ sở của đường vuông góc giảm từ một điểm P để các bên (hoặc các phần mở rộng của họ) của một lời nói dối tam giác trên một dòng. Chứng minh rằng điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

Các điểm A, B và C nằm trên một đường thẳng, điểm P nằm ngoài dòng này. Chứng minh rằng các trung tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABP, BCP, ACP và điểm P nằm trên một đường tròn.

Trong tam giác ABC phân giác AD được rút ra và từ điểm D vuông góc DB và DC 'được giảm xuống dòng AC, AB tương ứng ; điểm M nằm trên đường B'C 'và DM ⊥ BC. Chứng minh rằng điểm M nằm trên AA1 trung bình.

5.88. a) Từ điểm P của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC dòng P A1, P B1 và P C1 là vẽ tại một định (định hướng) góc α để dòng BC, CA, AB tương ứng, sao cho các điểm A1, B1 và C1 lời nói dối trên đường dây BC, CA, AB tương ứng. Chứng minh rằng các điểm A1, B1 và C1 nằm trên một dòng.

B) Chứng minh rằng nếu trong định nghĩa của dòng Simson của chúng ta thay góc 90◦ bởi một α góc, tức là, thay thế các đường vuông góc với các đường tạo thành góc α, họ điểm giao nhau với mặt nằm trên đường và góc giữa dòng này và dòng Simson của trở nên bằng 90◦ -. α

5.89. a) Từ một điểm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc P A1 và B1 P được giảm xuống dòng BC và AC, tương ứng. Chứng minh rằng PA • P = A1 2rd, với R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp, d là khoảng cách từ điểm P để dòng A1B1.
B) Cho α là góc giữa đường A1B1 và BC. Chứng minh rằng cos α =