Multi-Dimensional Loss Systems In

Multi-Dimensional Loss Systems
In this chapter we generalise the classical teletraffic theory to deal with service-integrated systems (ISDN and B-ISDN). Every class of service corresponds to a traffic stream. Several traffic streams are offered to the same trunk group.
In Sec. 10.1 we consider the classical multi-dimensional Erlang-B loss formula. This is an example of a reversible Markov process which is considered in more details in Sec. 10.2. In Sec. 10.3 we look at more general loss models and strategies, including service-protection (maximum allocation = class limitation = threshold priority policy) and multi-slot BPP-traffic. These models all have the so-called product-form property, and the numerical evalu-ation is very simple by using the convolution algorithm for loss systems, implemented in the tool ATMOS (Sec. 10.4). In Sec. 10.4.2 we review other algorithms for the same problem. Further on, we consider applications to systems with rearrangement (Sec. ??), which corre-sponds to minimum allocation of channels to a traffic stream. This model is applied to the evaluation of a hierarchical cellular communication system.
The models considered do not only include on/off-sources with fixed bandwidth, but also systems where a call requires a stochastic number of servers (Sec. ??). The models are also applicable to evaluation of ATM (B-ISDN )-systems at both connection level and burst level. The bandwidth demand is described by a discrete distribution. At connection level we use Erlang’s lost calls cleared (LCC) model, and at burst level we use Fry-Molina’s lost calls held (LCH ) model (cf. Sec. ??). The models considered so far are all based on flexible channel/slot allocation. In Sec. ?? we mention non-flexible slot allocation, where all slots belonging to a certain connection must be adjacent.
The models considered can be generalised to arbitrary circuit switched networks with direct routing, where we calculate the end-to-end blocking probabilities (Chap. 11). All the models are insensitive to the service time distribution, and are thus robust for applications. At the end of the chapter we review the literature and summarise the historical development in this area.
10.1 Multi-dimensional Erlang-B formula
We consider a group of n trunks (channels, slots), which is offered two independent PCT-I traffic streams: (λ1, µ1) and (λ2, µ2). The offered traffic becomes (A1 = λ1/µ1), respectively (A2 = λ2/µ2).
Let (i, j) denote the state of the system, i.e. i is the number of calls from stream 1 and j is the number of calls from stream 2. We have the following restrictions:
The state transition diagram is shown in Fig. 10.1. Under the assumption of statistical equilibrium the state probabilities are obtained by solving the global balance equations for each node (node equations), in total (n + 1)(n + 2)/2 equations.
As we shall see in the next section, this diagram corresponds to a reversible Markov process, and the solution has product form. We can easily show that the global balance equations are satisfied by the following state probabilities which can be written on product form:

where p(i) and p(j) are one-dimensional truncated Poisson distributions, Q is a normalisation constant, and (i, j) fulfil the above restrictions (10.1). As we have Poisson arrival processes, which have the PASTA-property (Poisson Arrivals See Time Averages), the time congestion, call congestion, and traffic congestion are all identical for both traffic streams, and they are all equal to P(i + j = n).
By the Binomial expansion or by convolving two Poisson distributions we find the following, where Q is obtained by normalisation:

This is the Truncated Poisson distribution (7.8) with the offered traffic


Figure 10.1: Figure 10.1: Two-dimensional state transition diagram for a loss system with n channels offered two PCT-I traffic streams. This is equivalent with a state transition diagram for the loss system M/H2/n, where the hyper-exponential distribution H2 is given in (10.7).

We may also interpret this model as an Erlang loss system with one Poisson arrival process and hyper-exponentially distributed holding times in the following way. The total Poisson arrival process is a superposition of two Poisson processes with the total arrival rate:

and the holding time distribution is hyper-exponentially distributed:

We weight the two exponential distributions according to the relative number of calls per time unit. The mean service time is

which is in agreement with the offered traffic.
Thus we have shown that Erlang’s loss model is valid for Hyper-exponentially distributed holding times, a special case of the general insensitivity property we proved in Sec. ??.
We may generalise the above model to N traffic streams:

which is the general multi-dimensional Erlang-B formula. By a generalisation of (10.3) we notice that the global state probabilities can be calculated by the following recursion, where q(i) denotes the relative state probabilities, and p(i) denotes the absolute state probabilities:

Đây là hằng số tương tự như phép đệ quy: This is similar to the recursion formula for the Poisson case, where

The probability of time congestion is p(n), and as the PASTA-property is valid, this is also equal to the call congestion and the traffic congestion. The numerical evaluation is dealt with in detail in Sec. 10.4.

Kết quả (Việt) 1:

Hệ thống đa chiều mất Trọng chương this our khái lý thuyết cổ điển teletraffic to đối phó with dịch vụ tích hợp hệ thống (ISDN and B-ISDN). Every lớp học of các dịch vụ associated with a line lưu lượng truy cập. Một số lưu lượng truy cập suối provided for the same group thân cây. Ở Sec. 10.1 we xem xét công thức mất Erlang-B đa chiều cổ điển. This is a ví dụ về quá trình Markov one can đảo ngược be coi is in the chi tiết than in Sec. 10.2. Ở Sec. 10.3 we nhìn vào tổng quát than mất mô hình and chiến lược, bao gồm cả dịch vụ bảo vệ (tối đa phân bổ = giới hạn lớp = ngưỡng ưu tiên chính sách) and đa khe BPP-lưu lượng truy cập. Các mô hình This all have sở hữu cái gọi is mẫu sản phẩm, and number evalu-chòe is rất đơn giản bằng cách use thuật toán chập cho mất mát hệ thống, thực hiện in công cụ ATMOS (Sec. 10,4). Ở Sec. 10.4.2 we xem xét the thuật toán cho cùng one vấn đề. Hơn nữa, we xem xét applications for the system for sắp xếp lại (Sec. ??), Mà sponds Corre for minimum phân bổ of kênh for one line lưu lượng truy cập. Mô hình this is áp dụng cho việc thẩm định of a hệ thống phân cấp truyền thông di động. Các mô hình be coi is not only bao gồm trên / tắt-sources for băng thông cố định , mà còn hệ thống nơi mà one cuộc gọi đòi hỏi some of ngẫu nhiên máy chủ (Sec. ??). Các mô hình are also be applied for đánh giá Máy ATM (B-ISDN) -Ông thống out cả cấp độ kết nối and nổ cấp. Nhu cầu băng thông described by a phân bố rời rạc. Lúc kết nối cấp độ we used Erlang mất mô hình cuộc gọi erase (LCC), and at vỡ cấp we used Fry-Molina of the lost cuộc gọi tổ chức mô hình (LCH) (x. Sec. ??). Các mô hình be coi is until nay tất cả based on phân bổ linh hoạt kênh / slot. Ở Sec. ?? we mentioned to phân bổ can linh hoạt khe, nơi tất cả khe thuộc one kết nối nhất định must be liền kề. Các mô hình be coi be be quát to arbitrary mạch chuyển mạng for định tuyến trực tiếp, nơi mà we tính toán xác suất chặn end-to-end (chap 11). Tất all mô hình được không nhạy cảm for phân phối dịch vụ thời gian, and are such mạnh mẽ cho applications. Vào end of chương we xem xét the documents and tóm tắt lịch sử phát triển lĩnh vực in this. 10,1 đa chiều Erlang-B công thức We xem xét a group n thân (kênh, khe), provided hai PCT độc lập-tôi giao thông nguồn:. (λ1, μ1) and (λ2, μ2). Lưu lượng truy cập provided become (A1 = λ1 / μ1), tương ứng (A2 = λ2 / μ2) Để cho (i, j) biểu thị trạng thái the system, tức is tôi be a number of calls from the line 1 và j be the lượng cuộc gọi từ dòng 2. We have hạn chế sau: Biểu đồ chuyển đổi tiểu đập be thể hiện trong hình 10,1. Theo its giả định thống kê balance the xác suất nhà nước thu be be bằng cách giải quyết its phương trình cân bằng toàn cầu for each of the button (nút phương trình), trong tổng số (n + 1) (n + 2) / 2 phương trình. Như we will be found in the next, biểu đồ this match one quá trình Markov đảo ngược, and other giải pháp có hình thức sản phẩm. We can be easily displaying the phương trình cân bằng toàn cầu be hài lòng bởi the xác suất tiểu đập sau đây mà be ghi vào mẫu sản phẩm: nơi p (i) and p (j) là hết các bản phân phối Poisson cắt ngắn, Q is one hằng số bình thường hóa, và (i, j) thực hiện the limit above (10,1). Như we have too trình to Poisson, has nhà mì ống (Poisson khách to xem thời gian trung bình), thời gian tắc nghẽn, gọi tắc nghẽn and tắc nghẽn giao thông is all giống hệt nhau cho cả hai dòng lưu lượng truy cập, and they are all equivalent to P (i + j = n). Bằng việc mở rộng nhị thức or bởi convolving hai phân phối Poisson we found following, nơi Q obtained bằng cách bình thường hóa: Here is việc phân phối Poisson cắt ngắn (7.8) với lưu lượng truy cập provided Hình 10,1: 10,1 Hình: hai chiều nhà nước chuyển đổi sơ đồ cho one hệ thống mất for n kênh cung cấp hai PCT-tôi giao thông nguồn. This is equivalent to one nổ quá trình chuyển đổi sơ đồ hệ thống mất M / H2 / n, phân nơi phối siêu mũ H2 be given in (10,7). We also giải thích mô hình this as a system mất Erlang with one quá trình Poisson to and siêu theo phân phối đang nắm kept thời gian theo cách. Quá trình all to Poisson is one chồng chập of hai quá trình Poisson for tỷ lệ tổng xuất hiện: and time tổ chức phân phối siêu theo phân phối: We giảm cân hai phân phối mũ theo số relative of call to every đơn vị thời gian. Thời gian means dịch vụ which is in the thỏa thuận for lưu lượng truy cập provided. Do that we have shown of Erlang mất mô hình hợp lệ cho Hyper theo cấp số phân phối đang nắm kept thời gian, one trường hợp đặc biệt of the tài sản chung vô hồn we have chứng Minh in giây ??.. We can be khái mẫu above to N lưu lượng truy cập lines: which is công thức tổng quát đa chiều Erlang- B. Bởi one quát (10.3), we got found that the xác suất nhà nước toàn cầu be tính toán bằng đệ quy sau, nơi q (i) is bắt its xác suất relative nhà nước, and p (i ) is bắt its xác suất tuyệt đối nhà nước: This is a hằng số tương tự like phép đệ quy: this is tương tự such as công thức đệ quy cho trường hợp Poisson, nơi Xác suất of tắc nghẽn thời gian is p (n) , and as mì ống-bất động sản is valid, đây also equivalent to the call tắc nghẽn and tắc nghẽn giao thông. Việc thẩm định số treated with chi tiết in Sec. 10.4.

Kết quả (Việt) 2:

Hệ thống Multi-Dimensional Mất
Trọng chương their this ta khái quát lý thuyết teletraffic cổ điển to đối phó with the system dịch vụ tích hợp (ISDN and B-ISDN). Every lớp học of dịch vụ associated with one luồng giao thông. Một number of luồng lưu lượng provided for groups trung kế tương tự.
Trọng Sec. 10.1, we xem xét the formula mất Erlang-B đa chiều cổ điển. This is a example of a quá trình Markov đảo ngược which are coi is chi tiết than in Sec. 10.2. Trọng Sec. 10.3, we xem xét nhiều mô hình tổn thất chung and chiến lược, bao gồm dịch vụ bảo vệ (phân bổ tối đa giới hạn = = chính sách ưu tiên ngưỡng class) and multi-slot BPP-giao thông. Những mô hình This all will có cái gọi is sở hữu sản phẩm mẫu, and other số evalu-ation is rất đơn giản bằng cách use thuật toán chập cho hệ thống mất, thực hiện in the công cụ ATMOS (Sec. 10,4). Trọng Sec. 10.4.2 we xem xét the thuật toán khác cho same problem. Tiếp theo, Chung ta xem xét applications cho các hệ thống as việc sắp xếp lại (Sec. ??), Mà Corre-sponds for phân bổ minimum of the kênh truyền to a luồng giao thông. Mô hình this be applied for đánh giá các hệ thống truyền thông di động thứ bậc.
Các mô hình be coi is not only bao gồm on / off-the source for băng thông cố định, mà còn hệ thống which calls đòi hỏi a number of Random máy chủ (Sec. ??). Các mô hình This also be applied for đánh giá its máy ATM (B-ISDN) -systems at both cấp độ kết nối and vỡ level. Các nhu cầu băng thông described by a phân phối rời rạc. Ở cấp độ kết nối we use cuộc gọi bị mất Erlang of deleted (LCC) mô hình, and at level độ nổ we used tổ chức (LCH) mô hình cuộc gọi bị mất Fry-Molina (x Sec. ??). Các mô hình been until nay all are based on linh hoạt phân bổ kênh / slot. Trọng Sec. ?? we mentioned việc phân bổ khe can linh hoạt, nơi mà all khe part of one kết nối nhất định must be tiếp giáp.
Các mô hình be coi is no be tổng quát cho mạch tùy ý chuyển sang mạng for định tuyến trực tiếp, nơi mà we tính toán end end-to-blocking suất xác (Chap. 11). Tất all model is not nhạy cảm as sự phân bố thời gian phục vụ, and vì thế mạnh mẽ cho applications. Vào end of chương this our xem xét the documents and tóm tắt lịch sử phát triển . in lĩnh vực this
10.1 công thức Erlang-B đa chiều
We xem xét a group n thân (kênh, khe cắm), provided hai PCT-I luồng giao thông độc lập: (λ1, μ1) and (λ2, μ2). Các lưu lượng truy cập provided become (A1 = λ1 / μ1), tương ứng (A2 = λ2 / μ2).
Hãy for (i, j) biểu thị trạng thái the system, tức is tôi là số lượng call from the lines 1 và j be calls from lines 2. They have the following ta hạn chế sau
đây:. Sơ đồ chuyển trạng thái be displayed in hình. 10.1 Theo its giả định of balance thống kê xác suất nhà nước obtained bằng cách giải its phương trình toàn cầu cân bằng for each of node (phương trình nút), trong tổng số (n + 1) (n + 2) / 2 phương trình.
Như we will be found in the next theo, sơ đồ this match one quá trình Markov thể đảo ngược, and other giải pháp có hình thức sản phẩm. They ta can be easily find that the phương trình cân bằng toàn cầu been thỏa mãn bởi the xác suất trạng thái then be viết vào mẫu sản phẩm: in which p (i) and p (j) is one chiều phân phối Poisson cắt ngắn, Q be a sự bình thường hóa liên tục, và (i, j) thực hiện the hạn chế Neu trên (10.1). Như we already have the quy trình to Poisson, in which have PASTA-assets (Poisson Arrivals See Thời gian trung bình), ùn tắc thời gian, tắc nghẽn cuộc gọi, and tắc nghẽn giao thông this will giống nhau cho cả hai dòng giao thông, and they are all bằng P (i + j. = N) By việc mở rộng nhị thức or equal convolving hai phân phối Poisson we found the following điều sau đây, in which Q is obtained bằng cách bình thường: Here is sự phân bố giới hạn would Poisson (7.8) với lưu lượng cung cấp hình 10.1: Hình 10.1:. Hai chiều chuyển trạng thái sơ đồ cho one hệ thống mất mát with kênh n cung cấp hai dòng giao thông PCT-I This equivalent to one sơ đồ chuyển trạng thái cho hệ thống mất M / H2 / n, nơi H2 phân phối hyper-hàm mũ be given in (10,7). We also giải thích mô hình this as a system mất Erlang with one quá trình Poisson to and hyper -exponentially phân phối kept lần theo cách sau. Tổng quá trình Poisson to be a sự chồng chất of the hai Poisson quá trình with the tổng tỷ lệ xuất hiện: and phân phối thời gian nắm kept is siêu phân theo cấp số nhân: We cân nặng hai phân bố hàm mũ theo số relative of the calls on one đơn vị thời gian. Thời gian phục vụ trung bình is which is in the thỏa thuận for lưu lượng cung cấp. Do it, we specified that mô hình mat Erlang is valid for Hyper-theo cấp số nhân phân bố thời gian nắm kept, one trường hợp đặc biệt of the tài sản vô hồn chung, we have chứng Minh in Sec. ??. We can be khái quát mô hình above to N luồng giao thông: which is công thức Erlang-B đa chiều nói chung. Bởi one tổng quát of (10.3), we got found that the xác suất trạng thái toàn cầu be tính bằng cách đệ quy following, in which q (i) biểu thị xác suất trạng thái tương đối, and p (i) biểu thị xác suất trạng thái tuyệt đối: Đây là một hằng số tương tự như phép đệ quy: This also tương tự such as công thức đệ quy cho fields hợp Poisson, nơi Xác suất tắc nghẽn thời gian is p (n), and as mì ống, tài sản has values, this are equal with tắc nghẽn calls and tắc nghẽn giao thông. Các đánh giá bằng số written chi tiết out Sec. 10.4.