In imagining the definite integral,

In imagining the definite integral, Devon clearly used the idea of “rectangles” as opposed to straight lines in depicting the“pieces.” Like Chris, he had often associated dx with an infinitesimally thin width. Thus, as Devon described, this infinitesimally thin width still has some “substance” to it, despite having size “zero,” meaning that the students still generally spoke of two-dimensional rectangles, rather than one-dimensional straight lines. This was also true for other types of differentials,like dt or dA.
A final important aspect of the adding up pieces conceptualization must be acknowledged here. Adding up pieces is not equivalent to the Riemann integral, since the students tend to think of the summation happening with an infinite number of infinitesimally small pieces. By contrast, the Riemann integral constructs a sequence of finite summations and then considers the limit of this sequence. Yet, while they are not equivalent, it is true that the adding up pieces conceptualization is rooted in the idea of the limit of Riemann sums., p. 126).

Kết quả (Việt) 1:

Trong tưởng tượng tích phân xác định, Devon rõ ràng sử dụng ý tưởng của "hình chữ nhật" như trái ngược với các đường nét thẳng trong mô tả "phần." Như Chris, ông đã thường xuyên liên kết dx với một chiều rộng infinitesimally mỏng. Vì vậy, như Devon mô tả, chiều rộng infinitesimally mỏng này vẫn còn có một số chất"" để nó, mặc dù có kích thước "zero", có nghĩa rằng các sinh viên nói chung vẫn nói về hai chiều hình chữ nhật, chứ không phải là đường thẳng hết. Điều này cũng là đúng đối với các loại khoá, như dt hoặc dA.Một khía cạnh quan trọng cuối cùng của việc thêm lên miếng conceptualization phải được công nhận ở đây. Thêm lên miếng là không tương đương với tích phân Riemann, kể từ khi các sinh viên có xu hướng suy nghĩ của tổng kết xảy ra với một số lượng vô hạn của miếng infinitesimally nhỏ. Ngược lại, Riemann không thể thiếu xây dựng một chuỗi các hữu hạn summations và sau đó xem xét giới hạn của chuỗi này. Tuy vậy, trong khi họ không phải là tương đương, nó là sự thật rằng thêm lên miếng conceptualization bắt nguồn từ ý tưởng của giới hạn của Riemann tiền., p. 126).

Kết quả (Việt) 2:

Trong tưởng tượng tích phân xác định, Devon rõ ràng sử dụng ý tưởng của "hình chữ nhật" như trái ngược với đường thẳng trong miêu tả "miếng." Cũng giống như Chris, anh đã thường xuyên liên dx với một chiều rộng infinitesimally mỏng. Vì vậy, như Devon mô tả, chiều rộng infinitesimally mỏng này vẫn còn có một số "chất" với nó, mặc dù có kích thước "zero", có nghĩa rằng các sinh viên vẫn thường nói về hình chữ nhật hai chiều, chứ không phải là đường thẳng một chiều. Điều này cũng đúng đối với các loại khác biệt, như dt hoặc dA.
Một khía cạnh quan trọng cuối cùng của việc thêm lên miếng khái niệm phải được thừa nhận ở đây. Thêm lên miếng là không tương đương với Riemann tách rời, kể từ khi sinh viên có xu hướng nghĩ về tổng xảy ra với một số lượng vô hạn của những mảnh nhỏ li ti. Ngược lại, việc tách rời Riemann xây dựng một chuỗi các summations hữu hạn và sau đó xem xét giới hạn của dãy này. Tuy nhiên, trong khi chúng không tương đương, đó là sự thật rằng thêm lên miếng khái niệm được bắt nguồn từ ý tưởng của các giới hạn của Riemann tiền., P. 126).