Allowing the coefficients in model

Allowing the coefficients in model (1) to vary with respect to the yield spread
differential (zt) leads to the following semiparametric varying coefficient model:
st = β0(zt) + β1(zt)pt + β2(zt)pt∗ + ut (2)
where zt is a stationary covariate that affects the relationship of pt, pt∗ and st. In our
empirical analysis, we choose zt to be the yield spread differentials between the two
targeted countries, because the relationship of price levels and bilateral exchange rate
is likely to be affected by the change of interest rate differentials between the two
countries. For the detailed definition of the yield differential variable zt, see Sect. 4.1.
We will focus on the cointegration test of the varying coefficient model (2) to test PPP
hypothesis.
Denote xt = (1, pt, pt∗)T , β(z) = (β0(z), β1(z), β2(z))T , we can rewrite model
(2) as
st = xtβ(zt) + ut (3)
The local constant estimator of model (3) is given by
β  t(z) =  t= T1 xt xtT Kh(zt − z)−1  t= T1 xtst Kh(zt − z) (4)
where Kh(zt − z) = h−1K  zth −z , K(·) is the kernel function and h is the bandwidth
parameter. We employ Gaussian kernel for our estimation, and choose the optimal
bandwidth using least square cross-validation (LS-CV) method (see Sun and Li 2011).
One can also use local linear regression to estimate model (3). For our analysis, these
two methods produce similar estimating results.
Cai et al. (2009) and Xiao (2009) have shown the consistency and also the
asymptotic distribution of this estimator.1 We can predict the residuals using
u ˆt = st − βˆ0(zt) − βˆ1(zt)pt − βˆ2(zt)pt∗, and conduct the cointegration test using
the method suggested by Xiao (2009). Under the null hypothesis of cointegration, ut
is a zero mean stationary process with a finite variance, i.e., σu 2 = E(u2 t ) is a finite
constant. If ut follows a non-stationary unit root process, i.e., ut = ut−1 + εt with
u0 = 0, where εt is a zero mean, constant variance, and serially uncorrelated (say,
i.i.d.) stationary process, then Var(ut) = tσε2, which increases over time. Hence, one
can test the null hypothesis of the existence of a cointegration relationship of prices
and bilateral exchange rate by testing a zero coefficient of the time trend variable in
the following regression model:
u ˆ2
t = a + bt + et. (5)
One can use the t-statistic of the coefficient of the time trend variable given by
τT =
ˆ b
sˆ(b) (6)
to test the PPP hypothesis, where b ˆ is the OLS estimator of b in model (5), and
sˆ(b) = ω ˆ 2/ t T=1(t − t¯)2, with ω ˆ 2 being a consistent nonparametric estimator of
w2, the long-run variance of et, see Eq. (8) of Xiao (2009) on how to obtain a consistent estimate of w2. Xiao (2009) shows that under the null hypothesis of cointegration and some regularity conditions, this test statistic asymptotically follows standard normal distribution. We estimate the long-run variance ω2 using the methods of
Andrews (1991).

Kết quả (Việt) 1:

Cho phép các hệ số trong mô hình (1) thay đổi đối với năng suất lây lanvi phân (zt) dẫn đến mô hình hệ số khác nhau semiparametric sau đây:St = β0(zt) + β1 (zt) pt + β2 (zt) pt∗ + ut (2)nơi zt là một covariate văn phòng phẩm có ảnh hưởng đến mối quan hệ của pt, pt∗ và st. Trong của chúng tôiphân tích thực nghiệm, chúng tôi chọn zt được sản lượng lây lan differentials giữa hainhắm mục tiêu quốc gia, bởi vì các mối quan hệ của mức giá và song phương trao đổi tỷ lệcó khả năng bị ảnh hưởng bởi sự thay đổi của lãi suất differentials giữa haiCác quốc gia. Đối với định nghĩa chi tiết của năng suất vi sai biến zt, xem Sect. 4.1.Chúng tôi sẽ tập trung vào cointegration test của mô hình hệ số khác nhau (2) để thử nghiệm PPPgiả thuyết.Biểu thị xt = (1, pt, pt∗) T, β(z) = (β0(z), β1(z), β2(z)) T, chúng tôi có thể viết lại mô hình(2) nhưSt = xt β(zt) + ut (3)Địa phương ước tính liên tục của mô hình (3) được cho bởiΒ t(z) = t = T1 xt xtT Kh (zt − z) −1 t = T1 xtst Kh (zt − z) (4)nơi Kh (zt − z) = h−1K zth −z, K(·) là các chức năng hạt nhân và h là băng thôngtham số. Chúng tôi sử dụng hạt nhân Gaussian cho dự toán của chúng tôi, và chọn các tối ưubăng thông sử dụng phương pháp xác nhận qua vuông (LS-CV) ít nhất (xem mặt trời và Li năm 2011).Ai cũng có thể sử dụng hồi qui tuyến tính địa phương để ước lượng mô hình (3). Đối với phân tích của chúng tôi, nhữnghai phương pháp sản xuất kết quả ước tính tương tự.Cai et al. (2009) và Xiao (2009) đã cho thấy sự thống nhất và cũng làtiệm cận phân phối của estimator.1 này chúng ta có thể dự đoán dư bằng cách sử dụngu ˆt = st − βˆ0(zt) − βˆ1 (zt) pt − βˆ2 (zt) pt∗, và tiến hành cointegration test bằng cách sử dụngCác phương pháp được đề xuất bởi Xiao (2009). Theo giả thuyết null cointegration, utlà một số không có nghĩa là văn phòng phẩm quá trình với một phương sai hữu hạn, ví dụ, σu 2 = E (u2 t) là một hữu hạnhằng số. Nếu ut sau một quá trình root đơn vị phòng không cố định, ví dụ, ut = ut−1 + εt vớiu0 = 0, nơi εt là một phương sai không có ý nghĩa, liên tục, và serially uncorrelated (nói,i.i.d.) quá trình di chuyển, sau đó Var(ut) = tσε2, mà tăng theo thời gian. Do đó, một trong nhữngcó thể thử nghiệm các giả thuyết null sự tồn tại của một mối quan hệ cointegration giávà tỷ giá hối đoái song phương bằng cách thử nghiệm một hệ không biến xu hướng thời gian trongMô hình hồi quy sau đây:u ˆ2t = một + bt + et. (5)Người ta có thể sử dụng t-thống kê của các hệ số của biến xu hướng thời gian được đưa ra bởiΤT =Liên bsˆ(b) (6)để thử nghiệm các giả thuyết PPP, nơi b liên là ước tính OLS b trong mô hình (5), vàsˆ(b) = ω liên 2 / t T = 1(t − t¯) 2, với ω liên 2 là một công cụ ước tính nonparametric nhất quán củaW2, phương sai lâu dài của et, xem Eq. (8) của Xiao (2009) về làm thế nào để có được một ước tính nhất quán của w2. Xiao (2009) cho thấy rằng theo giả thuyết null cointegration và một số điều kiện đều đặn, thống kê kiểm tra này tiệm cận theo tiêu chuẩn phân phối bình thường. Chúng tôi ước tính ω2 phương sai lâu dài bằng cách sử dụng các phương phápAndrews (1991).

Kết quả (Việt) 2:

Cho phép các hệ số trong mô hình (1) thay đổi liên quan đến năng suất lây lan với
khác biệt (ZT) dẫn đến các mô hình hệ số khác nhau bán tham số sau:
st = β0 (ZT) + β1 (ZT) pt + β2 (ZT) pt * + ut (2)
nơi ZT là một covariate văn phòng phẩm có ảnh hưởng đến mối quan hệ của pt, pt * và st. Trong chúng tôi
phân tích thực nghiệm, chúng tôi chọn ZT là sự khác biệt về năng suất chênh lệch giữa hai
nước có mục tiêu, vì mối quan hệ của các mức giá và tỷ giá hối đoái song phương
có thể sẽ bị ảnh hưởng bởi sự thay đổi của sự chênh lệch lãi suất giữa hai
quốc gia. Đối với các định nghĩa chi tiết của ZT biến khác biệt năng suất, xem phái. 4.1.
Chúng tôi sẽ tập trung vào các thử nghiệm cùng hội nhập của mô hình hệ số khác nhau (2) để kiểm tra PPP
giả thuyết.
Ký hiệu xt = (1, pt, pt *) T, β (z) = (β0 (z), β1 (z) , β2 (z)) T, chúng ta có thể viết lại mô hình
(2) như
st = xt? β (ZT) + ut (3)
ước tính hằng số địa phương của mô hình (3) được cho bởi
β? t (z) = ?? t = T1 xt xtT Kh (ZT - z) - 1? t = T1 xtst Kh (ZT - z) (4)
nơi Kh (ZT - z) = h-1K? ZTH -z?, K (·) là hàm nhân và h là băng thông
tham số. Chúng tôi sử dụng nhân Gaussian cho dự toán của chúng tôi, và chọn tối ưu
băng thông sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu qua xác nhận (LS-CV) (xem Sun và Li 2011).
Người ta cũng có thể sử dụng hồi quy tuyến tính địa phương để ước lượng mô hình (3). Đối với phân tích của chúng tôi, những
hai phương pháp tạo ra kết quả ước lượng tương tự.
Cái et al. (2009) và Xiao (2009) đã chỉ ra sự thống nhất và cũng là
phân phối tiệm cận của estimator.1 Chúng tôi có thể dự đoán các số dư bằng
u t = st - β0 (ZT) - β1 (ZT) pt - β2 (ZT) pt * , và tiến hành các thử nghiệm cùng hội nhập sử dụng
các phương pháp được đề xuất bởi Xiao (2009). Theo giả thuyết cùng hội nhập, ut
là một quá trình cố định trung bình không có một phương sai hữu hạn, tức là, σu 2 = E (u2 t) là một hữu hạn
liên tục. Nếu ut sau một quá trình gốc đơn vị không dừng, tức là, ut = ut-1 + εt với
u0 = 0, nơi εt là một trung bình, phương sai không đổi bằng không, và nối tiếp không tương quan (nói,
iid) quá trình cố định, sau đó Var (ut ) = tσε2, mà tăng theo thời gian. Do đó, một trong những
có thể kiểm tra các giả thuyết về sự tồn tại của một mối quan hệ cùng hội nhập của giá
và tỷ giá hối đoái song phương bằng cách kiểm tra hệ số zero của biến xu hướng thời gian trong
mô hình hồi quy sau:
u 2
t = a + bt + et. (5)
Người ta có thể sử dụng t-thống kê của các hệ số của biến xu hướng thời gian nhất định bởi
τT =
b
s (b) (6)
để kiểm tra các giả thuyết PPP, trong đó b là các ước lượng OLS của b trong mô hình (5 ), và
s (b) = ω 2 / t T = 1 (t - T) 2, với ω 2 là một ước lượng không tham số phù hợp của
W2, phương sai dài hạn của et, xem Eq. (8) của Xiao (2009) về làm thế nào để có được một ước tính phù hợp của W2. Xiao (2009) cho thấy, theo giả thuyết cùng hội nhập và một số điều kiện, điều hoà, thống kê kiểm tra này tiệm cận sau phân phối tiêu chuẩn bình thường. Chúng tôi ước tính phương sai dài hạn ω2 sử dụng các phương pháp của
Andrews (1991).