Analysis of variance of latin squar

Analysis of variance of latin squares
The model for a general m x m Latin square with one observation in the cell is:
where:
has normal distributions N(0, r2).
Variables ai, bj and sk are actual effects of i rows, j columns and the k factor level.
One can notice that the k index is bracketed to indicate that in the design of Latin
squares there are no m results, as is the case with a three-factorial design with one
design-point replication. Design of Latin squares actually has m2 observations or
data.
Analysis of variance for an m x m Latin square with one observation per cell in
concordance with model (2.51) is shown in Table 2.59. Associated sums of data per
rows, columns and factor are marked Yi  ð Þ; Yjð Þ  andYð Þ k .
Table 2.59 shows that total variance of experimental results is divided into variances of:
. R row-variation sources;
. C column-variation sources;
. T factor-variation sources;
. residual or experimental error
The condition for application of Latin squares are interactions that are negligible
with respect to experimental error. As in researching complex system there exist interactions, Latin square designs are not widely applied.
Example 2.20 [15]
As already defined in Example 2.19, four types of tires A, B, C and D have been
researched by design of Latin squares in this way: sixteen tires, four of each type,
have been put on four cars (I, II, III and IV) under these conditions:
. each car has one tire of each of the four types;
. each type of tire is in positions FL, FR, RL and RR;
. actual position of each of 16 tires has been randomly chosen for 4  4 Latin
square.
Wear-out of tires has been measured after 8000 km by a standard procedure. The
obtained results are shown in Table 2.60.
Statistically significant differences between car tires, tire positions and tire types
are clearly evident from analysis of variance. Table 2.60 indicates the highest wear
out of tires on car IV and the lowest on car I. This does not present an error but is
simply the upper and lower limit of tire wear-out in this research.
Example 2.21 [24]
In finding the composition for neutral light filters based on poly methyl methacrylate (PMMA) it was necessary to research the effect of four different dyestuffs (X3),
which are prepared in four different ways (X2) and in four concentrations (X1) as for
the filter optical properties. The experiment was done by a 4 x 4 design of Latin
square. Samples of obtained PMMA were tested for light permeability within ranges
of these spectra: 240–300(Y1); 300–340(Y2); 300–1000(Y3) and for general light permeability (Y4). GOSTs demand for light filters is that Y1 does not exceed 0.5%; Y2-
20%; Y3-45%, and general permeability to be between 20% and 26%. Since no analyzed response has a universal property, overall desirability D should be taken as a
representative estimate of the quality of light filter.
where
di are partial desirabilities.
Desirability scale for individual properties is shown in Figs. 2.26 and 2.27:
The results of design and performance of experiment by 4x4 Latin square are
shown in Table 2.62.
The results of analysis of variance are shown in Table 2.63.

Kết quả (Việt) 1:

Phân tích các phương sai của quảng trường latinCác mô hình tổng quát m x m quảng trường Latin với một quan sát trong các tế bào là:ở đâu:có phân phối bình thường N (0, r2).Ai biến, bj và sk có tác dụng thực tế của tôi hàng, cột j và k yếu tố cấp.Một có thể nhận thấy rằng chỉ số k trong lần để chỉ ra rằng trong thiết kế của tiếng Latinhhình vuông có có kết quả m, như trường hợp với một thiết kế ba giai thừa với mộtsao chép thiết kế-point. Thiết kế hình vuông Latin thực sự đã quan sát m2 hoặcdữ liệu.Phân tích các phương sai cho một m x m quảng trường Latin với một quan sát mỗi tế bào trongconcordance với mô hình (2,51) được thể hiện trong bảng 2,59. Các khoản tiền liên quan đến các dữ liệu cho mỗihàng, cột và các yếu tố được đánh dấu Yi ð Þ; Y jð Þ andY ð Þ k.Cho thấy bảng 2,59 tổng số phương sai của các kết quả thử nghiệm được chia thành các chênh lệch của:. Nguồn hàng-biến thể R;. C biến thể cột nguồn;. T nhân tố biến đổi nguồn;. lỗi dư hoặc thử nghiệmĐiều kiện để áp dụng các hình vuông Latin là tương tác là không đáng kểĐối với thử nghiệm lỗi. Như trong nghiên cứu các hệ thống phức tạp có tồn tại tương tác, thiết kế vuông Latin không rộng rãi được áp dụng.Ví dụ 2.20 [15]Như đã được xác định tại ví dụ 2.19, bốn các loại lốp xe A, B, C và D đãnghiên cứu bởi thiết kế của Latin hình vuông theo cách này: mười sáu lốp xe, bốn trong mỗi loại,đã được đặt trên xe ô tô bốn (I, II, III và IV) theo các điều kiện:. mỗi chiếc xe có một lốp xe của mỗi người trong số bốn loại;. mỗi loại lốp là ở vị trí FL, FR, RL và RR;. Các vị trí thực tế của mỗi người trong số 16 lốp xe đã được lựa chọn ngẫu nhiên 4 4 tiếng Latinhquảng trường.Mặc-out lốp xe đã được đo sau 8000 km bằng một thủ tục tiêu chuẩn. Cáckết quả thu được sẽ được hiển thị trong bảng 2,60. Sự khác biệt ý nghĩa thống kê giữa lốp xe, vị trí lốp xe và lốp xe các loạiđược rõ ràng hiển nhiên từ phân tích các phương sai. Bảng 2,60 cho biết mặc cao nhấttrong số lốp xe IV và thấp nhất trên xe hơi. Điều này không hiện lỗi nhưngchỉ đơn giản trên và thấp hơn giới hạn của lốp mặc ra trong nghiên cứu này.Ví dụ 2,21 [24]Trong việc tìm kiếm các thành phần bộ lọc ánh sáng trung tính dựa trên poly methyl acrilic (PMMA) đó là cần thiết để nghiên cứu hiệu quả của 4 khác nhau dyestuffs (X3),đó được chuẩn bị trong bốn cách khác nhau (X2) và ở nồng độ bốn (X1) đốibộ lọc thuộc tính quang học. Các thử nghiệm đã được thực hiện bởi một thiết kế 4 x 4 của tiếng Latinhquảng trường. Trong số các mẫu thu được PMMA đã được thử nghiệm cho nhẹ thấm trong phạm vicủa quang phổ này: 240–300(Y1); 300–340(Y2); 300–1000(Y3) và cho các tướng nhẹ thấm (Y4). GOSTs nhu cầu cho bộ lọc ánh sáng là Y1 không vượt quá 0,5%; Y2-20%; Y3 - 45%, và nói chung thấm từ 20% đến 26%. Kể từ khi không có phản ứng phân tích có một tài sản chung, tổng thể mong muốn D nên được dùng như là mộtđại diện các ước tính về chất lượng của các bộ lọc ánh sáng.nơidi là một phần desirabilities.Mong muốn quy mô tài sản cá nhân được hiển thị trong Figs. 2.26, 2.27:Các kết quả của thiết kế và hiệu suất của thử nghiệm của quảng trường Latin 4 x 4Hiển thị trong bảng 2.62.Kết quả phân tích các phương sai được hiển thị trong bảng 2,63.

Kết quả (Việt) 2:

Phân tích phương sai của latin
Các mô hình cho một mxm chung vuông Latin với một quan sát trong tế bào là:
Trong đó:
. Có phân phối chuẩn N (0, r2)
Biến ai, bj và sk là những tác dụng thực tế của tôi hàng, cột j và mức yếu tố k.
người ta có thể nhận thấy rằng các chỉ số k được đặt trong ngoặc vuông để chỉ ra rằng trong các thiết kế của La tinh
hình vuông không có kết quả m, như là trường hợp với một thiết kế ba-thừa với một
bản sao thiết kế điểm. Thiết kế hình vuông Latin thực sự có quan sát hoặc m2
dữ liệu.
Phân tích phương sai cho một mxm Latin vuông với một quan sát cho mỗi tế bào trong
sự phù hợp với mô hình (2.51) được thể hiện trong Bảng 2.59. Các khoản tiền liên quan đến dữ liệu trên mỗi
hàng, cột và yếu tố được đánh dấu Yi? ? ð Þ; Y? JD Þ? . Andy ?? ð Þ k
Bảng 2.59 cho thấy, tổng phương sai của kết quả thí nghiệm được chia thành phương sai của:
. R nguồn hàng-dao động;
. Nguồn cột-biến thể C;
. T nguồn factor-dao động;
. còn lại hoặc lỗi thử nghiệm
Các điều kiện để áp dụng các hình vuông Latin là tương tác là không đáng kể
đối với các lỗi thử nghiệm với. Như trong nghiên cứu hệ thống phức tạp có tồn tại tương tác, thiết kế vuông Latin không được áp dụng rộng rãi.
Ví dụ 2.20 [15]
Như đã được định nghĩa trong Ví dụ 2.19, bốn loại lốp xe A, B, C và D đã được
nghiên cứu bởi thiết kế của hình vuông Latin trong này cách: mười sáu lốp xe, bốn của từng loại,
đã được đưa vào bốn xe ô tô (I, II, III và IV) theo các điều kiện:
. mỗi chiếc xe có lốp xe của mỗi trong bốn loại;
. mỗi loại lốp là ở các vị trí FL, FR, RL và RR;
. vị trí thực tế của từng 16 lốp xe đã được lựa chọn ngẫu nhiên cho 4? 4 Latin
vuông.
Mang ra của lốp xe đã được đo sau 8000 km bằng một quy trình chuẩn. Các
kết quả thu được được thể hiện trong Bảng 2.60.
Sự khác biệt thống kê đáng kể giữa các lốp xe, vị trí lốp và loại lốp
rất rõ ràng từ phân tích phương sai. Bảng 2.60 cho thấy mặc cao nhất
ra khỏi lốp xe IV và thấp nhất trên xe I. Điều này không xuất hiện một lỗi nhưng là
chỉ đơn giản là giới hạn trên và dưới của lốp xe mài ra trong nghiên cứu này.
Ví dụ 2.21 [24]
Trong việc tìm kiếm sáng tác cho bộ lọc ánh sáng trung tính dựa trên methyl methacrylate poly (PMMA) nó là cần thiết để nghiên cứu ảnh hưởng của bốn thuốc nhuộm khác nhau (X3),
được chuẩn bị trong bốn cách khác nhau (X2) và trong bốn tập (X1) như đối với
các bộ lọc quang học tính chất. Thí nghiệm được thực hiện bởi một thiết kế 4 x 4 của Latin
vuông. Các mẫu thu được PMMA đã được thử nghiệm cho thấm nhẹ trong phạm vi dao
của những quang phổ: 240-300 (Y1); 300-340 (Y2); 300-1000 (Y3) và cho thấm ánh sáng chung (Y4). GOSTs nhu cầu cho các bộ lọc ánh sáng là Y1 không vượt quá 0,5%; Y2-
20%; Y3-45%, và độ thấm chung là giữa 20% và 26%. Vì không có phản ứng phân tích có một tài sản phổ quát, tổng thể mong muốn D nên được thực hiện như là một
ước tính đại diện về chất lượng của bộ lọc ánh sáng.
Nơi
di là desirabilities một phần.
Mong muốn quy mô đối với tài sản cá nhân được thể hiện trong hình. 2.26 và 2.27:
Kết quả của thiết kế và thực hiện các thí nghiệm bằng 4x4 Latin vuông được
thể hiện trong Bảng 2.62.
Kết quả phân tích phương sai được thể hiện trong Bảng 2.63.