Chapter 2Stresses and strains—elast

Chapter 2
Stresses and strains—elastic
equilibrium
2.1 Introduction
An important function in the study of soil mechanics is to predict the stresses
and strains imposed at a given point in a soil mass due to certain loading
conditions. This is necessary to estimate settlement and to conduct stability
analysis of earth and earth-retaining structures, as well as to determine
stress conditions on underground and earth-retaining structures.
An idealized stress–strain diagram for a material is shown in Figure 2.1.
At low stress levels the strain increases linearly with stress (branch ab),
which is the elastic range of the material. Beyond a certain stress level the
material reaches a plastic state, and the strain increases with no further
increase in stress (branch bc). The theories of stresses and strains presented
in this chapter are for the elastic range only. In determining stress and
strain in a soil medium, one generally resorts to the principles of the theory
of elasticity, although soil in nature is not fully homogeneous, elastic, or
isotropic. However, the results derived from the elastic theories can be
judiciously applied to the problem of soil mechanics.
2.2 Basic definition and sign conventions for
stresses
An elemental soil mass with sides measuring dx, dy, and dz is shown in
Figure 2.2. Parameters xy , andz are the normal stresses acting on
the planes normal to the x, y, and z axes, respectively. The normal stresses
are considered positive when they are directed onto the surface. Parameters
xyyxyzzyzx , and xz are shear stresses. The notations for the shear
stresses follow.
If ij is a shear stress, it means the stress is acting on a plane normal
to the i axis, and its direction is parallel to the j axis. A shear stress ij is
considered positive if it is directed in the negative j direction while acting
on a plane whose outward normal is the positive i direction. For example,

Figure 2.1
Idealized stress–strain diagram.
Figure 2.2
Notations for normal and shear stresses in Cartesian coordinate system.

Stresses and strains—elastic equilibrium
49
all shear stresses are positive in Figure 2.2. For equilibrium,
=
=
=
(2.1)
(2.2)
(2.3)
xy
xz
yz
yx
zz
zy
Figure 2.3 shows the notations for the normal and shear stresses in the
polar coordinate system (two-dimensional case). For this case, r and
are the normal stresses, and r and r are the shear stresses. For equi-
librium, r = r . Similarly, the notations for stresses in the cylindrical
coordinate system are shown in Figure 2.4. Parameters r, and z are
the normal stresses, and the shear stresses are r = rz = z , and
rz = zr .
2.3 Equations of static equilibrium
Figure 2.5 shows the stresses acting on an elemental soil mass with sides
measuring dx, dy, and dz. Let be the unit weight of the soil. For equilib-
rium, summing the forces in the x direction,
Figure 2.3
Notations for normal and shear stresses in polar coordinate system.

50
Stresses and strains—elastic equilibrium
Figure 2.4
Notations for normal and shear stresses in cylindrical coordinates.
Fx =
+
or
x
x
−
yx
x
+
yx
x
x
+
dx
yx
dy dz +
dy
zx
−
zx
+
zx
z
dz
dx dy
−
y
dx dz = 0
x
+
yx
y
+
zx
z
=0
Fy = 0, or
(2.4)
Similarly, along the y direction,
y
y
+
xy
x
+
zy
z
=0
(2.5)
Along the z direction,

Stresses and strains—elastic equilibrium
51
Figure 2.5 Derivation of equations of equilibrium.
Fz =
+
z−
z+
z
z
dz
yz
dx dy +
dy
xz −
xz +
xz
x
dx
dy dz
yz −
yz +
y
dx dz +
dx dy dz = 0
The last term of the preceding equation is the self-weight of the soil mass.
Thus
z
z
+
xz
x
+
yz
y
− =0
(2.6)
Equations (2.4)–(2.6) are the static equilibrium equations in the Cartesian
coordinate system. These equations are written in terms of total stresses.

52
Stresses and strains—elastic equilibrium
They may, however, be written in terms of effective stresses as
x
=
x
+u =
x
+
wh
(2.7)
where
= effective stress
u = pore water pressure
w = unit weight of water
h = pressure head
x
Thus
x
x
=
x
x
+
w
h
x
(2.8)
Similarly,
y
y
and
z
=
y
y
+
w
h
y
(2.9)
z
=
z
z
+
w
h
z
(2.10)
Substitution of the proper terms in Eqs. (2.4)–(2.6) results in
x
x
y
+
+
+
yx
y
xy
+
+
+
zx
z
zy
+
+
+
w
h
=0
x
h
=0
y
h
−
z
=0
(2.11)
(2.12)
(2.13)
y
z
x
xz
z
yz
w
z
x
y
w
where is the effective unit weight of soil. Note that the shear stresses will
not be affected by the pore water pressure.
In soil mechanics, a number of problems can be solved by two-
dimensional stress analysis. Figure 2.6 shows the cross-section of an elemen-
tal soil prism of unit length with the stresses acting on its faces. The static
equilibrium equations for this condition can be obtained from Eqs. (2.4),
(2.5), and (2.6) by substituting xy = yx = 0 yz = zy = 0, and y / y = 0.
Note that xz = zx . Thus

Stresses and strains—elastic equilibrium
53
Figure 2.6
Derivation of static equilibrium equation for two-dimensional problem
in Cartesian coordinates.
xz
x
x
z
+
+
z
xz
=0
− =0
(2.14)
(2.15)
z
x
Figure 2.7 shows an elemental soil mass in polar coordinates. Parameters
are the normal components of stress in the radial and tangentialr and
directions, and r and r are the shear stresses. In order to obtain the static
equations of equilibrium, the forces in the radial and tangential directions
need to be considered. Thus
Fr =
+
+
+
r
rr
d −
r
+
r
r
dr
r + dr d
+
r
dr sin d /2 +
dr cos d /2 −
d
r
dr sin d /2
dr cos d /2
+
d
r d dr cos = 0
Taking sin d /2 ≈ d /2 and cos d /2 ≈ 1, neglecting infinitesimally small
quantities of higher order, and noting thatrr / r = rr / r + r and
r = r , the above equation yields

54
Stresses and strains—elastic equilibrium
Figure 2.7
Derivation of static equilibrium equation for two-dimensional problem
in polar coordinates.
r
r
+
1
r
r
+
r
−
r
− cos = 0
(2.16)
Similarly, the static equation of equilibrium obtained by adding the com-
ponents of forces in the tangential direction is
1
r
+
r
r
+
2
r
r
+ sin = 0
(2.17)
The stresses in the cylindrical coordinate system on a soil element are shown
in Figure 2.8. Summing the forces in the radial, tangential, and vertical
directions, the following relations are obtained:
r
r
r
+
+
+
1
r
1
r
1
r
r
+
+
z
zr
z
z
+
+
+
r
−
r
r
=0
=0
(2.18)
2
r
r
zr
z
z
(2.19)
r
+
zr
z
r
− =0
(2.20)

Stresses and strains—elastic equilibrium
55
Figure 2.8
Equilibrium equations in cylindrical coordinates.
2.4 Concept of strain
Consider an elemental volume of soil as shown in Figure 2.9a. Owing to
the application of stresses, point A undergoes a displacement such that its
components in the x, y, and z directions are u, , and w, respectively. The
adjacent point B undergoes displacements of u + u/ x dx + / x dx,
and w + w/ x dx in the x, y, and z directions, respectively. So the change
in the length AB in the x direction is u + u/ x dx − u = u/ x dx. Hence
the strain in the x direction, x , can be given as
∈x =
1
dx
uu
dx =
xx
(2.21)

56
Stresses and strains—elastic equilibrium
Figure 2.9 Concept of strain.
Similarly, the strains in the y and z directions can be written as
∈y =
∈z =
y
w
z
(2.22)
(2.23)
where ∈y and ∈z are the strains in the y and z directions, respectively.
Owing to stress application, sides AB and AC of the element shown in
Figure 2.9a undergo a rotation as shown in Figure 2.9b (see A B and A C ).
The small change in angle for side AB is 1 , the magnitude of which may
be given as/ x dx 1/dx = / x, and the magnitude of the change in
angle 2 for side AC is u/ y dy 1/dy = u/ y. The shear strain xy is
equal to the sum of the change in angles 1 and 2 . Therefore
xy
=
u
+
yx
xz
(2.24)
and
yz
Similarly, the shear strains
xz
can be derived as
(2.25)
=
wu
+
zx
and
yz =
z
+
w
y
(2.26)

Stresses and strains—elastic equilibrium
57
Generally, in soil mechanics the compressive normal strains are consid-
ered positive. For shear strain, if there is an increase in the right angle BAC
(Figure 2.9b), it is considered positive. As shown in Figure 2.9b, the shear
strains are all negative.
2.5 Hooke’s law
The axial strains for an ideal, elastic, isotropic material in terms of the stress
components are given by Hooke’s law as
∈x =
1u
=
x E
1
∈y ==
yE
x
−
−
y
+
+
z
(2.27)
(2.28)
y
x
z
and
∈z =
1w
=
zE
z−
x
+
y
(2.29)
where E is Young’s modulus and Poisson’s ratio.
From the relations given by Eqs. (2.27), (2.28), and (2.29), the stress
components can be expressed as
x
=
=
=
1+
1+
1+
E
1−2
E
1−2
E
1−2
∈ x + ∈y + ∈z +
∈ x + ∈y + ∈z +
∈ x + ∈y + ∈z +
E
1+
E
1+
E
1+
∈x
∈y
∈z
(2.30)
(2.31)
(2.32)
y
z
The shear strains in terms of the stress components are
xy
=
=
xy
G
xz
(2.33)
(2.34)
xz
G
and
yz
=
yz
G
(2.35)
where shear modulus,
G=
E
2 1+
(2.36)

58
Stresses and strains—elastic equilibrium
2.6 Plane strain problems
A state of stress generally encountered in many problems in soil mechanics
is the plane strain condition. Long retaining walls and strip foundations
are examples where plane strain conditions are encountered. Referring to
Figure 2.10, for the strip foundation, the strain in the y direction is zero
(i.e., ∈y = 0). The stresses at all sections in the xz plane are the same, and the
shear stresses on these sections are zero (i.e., yx = xy = 0 and yz = zy = 0).
Thus, from Eq. (2.28),
∈y = 0 =
y
=
1
E
x+
y
z
−
x
+
z
(2.37)
Substituting Eq. (2.37) into Eqs. (2.27) and (2.29)
1−
∈x =
E
and
∈z =
Since
xy
2
x
−
1−
z
(2.38)
1−
E
xy
2
z−
1−
= 0,
x
(2.39)
= 0 and
yz
yz
=0
=0
(2.40)
Figure 2.10
Strip foundation—plane strain problem.

Stresses and strains—elastic equilibrium
59
and
xz
=
xz
G
(2.41)
Compatibility equation
The three strain components given by Eqs. (2.38), (2.39), and (2.41) are
functions of the displacements u and w and are not independent of each
other. Hence a relation should exist such that the strain components give
single-valued continuous solutions. It can be obtained as follows. From
Eq. (2.21), ∈x = u/ x. Differentiating t

Kết quả (Việt) 1:

Chương 2Căng thẳng và căng thẳng-đàn hồicân bằng2,1 giới thiệuMột chức năng quan trọng trong nghiên cứu của cơ học đất là để dự đoán những căng thẳngvà biến dạng áp đặt tại một điểm nhất định trong một khối lượng đất do tải nhất địnhđiều kiện. Điều này là cần thiết để ước tính giải quyết và tiến hành ổn địnhphân tích của trái đất và trái đất giữ lại cấu trúc, cũng như để xác địnhcăng thẳng các điều kiện về cấu trúc ngầm và giữ lại trái đất. Một sơ đồ lý tưởng stress-căng thẳng một vật liệu được thể hiện trong hình 2.1.Ở mức độ thấp căng thẳng căng thẳng tăng tuyến tính với căng thẳng (chi nhánh ab),đó là phạm vi đàn hồi của vật liệu. Ngoài một mức độ căng thẳng nhất định cácvật liệu đạt đến một nhà nước nhựa, và làm tăng sự căng thẳng không có thêmtăng căng thẳng (chi nhánh TCN). Các lý thuyết của căng thẳng và căng thẳng trình bàytrong chương này cho phạm vi đàn hồi chỉ. Trong việc xác định căng thẳng vàcăng thẳng trong một môi trường đất, một thường khu nghỉ mát để các nguyên tắc của lý thuyếtđàn hồi, mặc dù đất trong tự nhiên là không hoàn toàn đồng nhất, đàn hồi, hoặcđẳng hướng. Tuy nhiên, kết quả có nguồn gốc từ các lý thuyết đàn hồi có thểkhôn ngoan áp dụng cho vấn đề của cơ học đất.2.2 cơ bản công ước định nghĩa và dấu hiệu cho căng thẳngKhối lượng của một nguyên tố đất với bên đo dx, dy và dz được hiển thị trong2.2 nhân vật. Tham số xy, các andz là bình thường áp lực tác dụng lênbình thường máy bay để x, y và z rìu, tương ứng. Những căng thẳng bình thườngđược coi là tích cực khi họ đang hướng lên bề mặt. Tham số xyyxyzzyzx, và xz là cắt nhấn mạnh. Tả cho cắtcăng thẳng làm theo. Nếu ij là một suất cắt, nó có nghĩa là sự căng thẳng tác động lên một chiếc máy bay bình thườngi trục, và hướng của nó là song song với trục j. Ij ứng suất cắt làxem xét tích cực nếu nó là hướng theo hướng tiêu cực j trong khi diễn xuấttrên một mặt phẳng mà bình thường ra nước ngoài là tích cực tôi hướng. Ví dụ, Con số 2.1Sơ đồ lý tưởng stress-căng thẳng.2.2 nhân vậtTả cho bình thường và cắt nhấn mạnh trong hệ tọa độ Descartes. Căng thẳng và căng thẳng-đàn hồi cân bằng49Tất cả cắt nhấn mạnh được tích cực trong hình 2.2. Để cân bằng,===(2,1)(2,2)(2,3)xyXZYZyxZZzy Con số 2,3 cho thấy tả cho bình thường và cắt nhấn mạnh trong cácHệ tọa độ cực (trường hợp hai chiều). Cho trường hợp này, r vàlà những căng thẳng bình thường, và r và r là những căng thẳng cắt. Equi-librium, r = r. Tương tự, tả cho căng thẳng trong các hình trụHệ tọa độ được thể hiện trong hình 2.4. Tham số r, và z làáp lực bình thường, và những căng thẳng cắt là r = rz = z, và RZ = zr.2.3 phương trình cân bằng tĩnhHình 2,5 cho thấy áp lực tác dụng lên khối lượng của một nguyên tố đất với bênđo dx, dy và dz. Để là đơn vị trọng lượng của đất. Equilib-rium, cách tổng hợp các lực lượng theo hướng x,Con số 2,3Tả cho bình thường và cắt nhấn mạnh trong hệ tọa độ cực. 50Căng thẳng và căng thẳng-đàn hồi cân bằngCon số 2.4Tả cho bình thường và cắt nhấn mạnh trong hệ tọa độ trụ.FX =+hoặcxx−yxx+yxxx+DXyxDy dz +Dyzx−zx+zxzDZDX dy−yDX dz = 0x+yxy+zxz= 0FY = 0, hoặc(2,4)Tương tự, theo hướng y,yy+xyx+zyz= 0(2,5)Theo hướng z, Căng thẳng và căng thẳng-đàn hồi cân bằng51Hình 2,5 Derivation của phương trình cân bằng.FZ =+z−z +zzDZYZDX dy +DyXZ −XZ +XZxDXDy dzYZ −YZ +yDX dz +DX dy dz = 0 Hạn cuối của phương trình trước là tự trọng lượng đất khối lượng.Do đózz+XZx+YZy− = 0(2.6) Phương trình (2.4)–(2.6) là phương trình trạng thái cân bằng tĩnh trong các DescartesHệ tọa độ. Các phương trình được viết lưu trong điều khoản của tất cả các căng thẳng. 52Căng thẳng và căng thẳng-đàn hồi cân bằngHọ có thể, Tuy nhiên, viết trong điều khoản của các căng thẳng có hiệu quả nhưx=x+ u =x+WH(2,7)nơi = hiệu quả căng thẳngu = áp lực nước lỗ chân lông w = đơn vị trọng lượng nướch = áp lực đầuxDo đóxx=xx+whx(2,8)Tương tự như vậy,yyvàz=yy+why(2.9)z=zz+whz(2.10)Thay thế của các điều khoản thích hợp trong Eqs. (2.4)–(2.6) kết quả trongxxy+++yxyxy+++zxzzy+++wh = 0xh = 0yh −z= 0(2,11)(2,12)(2,13)yzxXZzYZwzxywtrọng lượng có hiệu quả đơn vị của đất ở đâu. Lưu ý rằng những căng thẳng cắt sẽkhông bị ảnh hưởng bởi áp lực nước lỗ chân lông. Trong cơ học đất, một số vấn đề có thể được giải quyết bởi hai-phân tích chiều căng thẳng. Cho thấy con số 2.6 mặt cắt ngang của một elemen-Tal đất lăng kính của đơn vị chiều dài với những căng thẳng trên khuôn mặt của nó. Tĩnhcân bằng phương trình cho tình trạng này có thể được lấy từ Eqs. (2.4),(2,5), và (cách 2.6) bằng cách thay thế xy = yx = 0 yz = zy = 0, và y / y = 0.Lưu ý rằng xz = zx. Do đó Căng thẳng và căng thẳng-đàn hồi cân bằng53Con số 2.6Derivation của trạng thái cân bằng tĩnh phương trình cho vấn đề hai chiềutrong hệ tọa độ Descartes.XZxxz++zXZ= 0− = 0(2,14)(2,15)zx Con số 2,7 cho thấy một nguyên tố đất hàng loạt trong hệ tọa độ cực. Tham số là những thành phần bình thường của sự căng thẳng trong bố trí hình tròn và tangentialr vàchỉ dẫn đường, và r và r là những căng thẳng cắt. Để có được các tĩnhphương trình cân bằng, các lực lượng theo hướng xuyên tâm và tiếp tuyếncần được xem xét. Do đóFr =+++rRRd −r+rrtiến sĩr + dr d+rtiến sĩ sin d /2 +tiến sĩ cos d /2 −drtiến sĩ sin d /2tiến sĩ cos d /2+dr d dr cos = 0Tham gia tội lỗi d /2 ≈ d /2 và cos d /2 ≈ 1, bỏ qua infinitesimally nhỏvới số lượng cao đặt hàng, và lưu ý thatrr / r = rr / r + r và r = r, sản lượng phương trình ở trên 54Căng thẳng và căng thẳng-đàn hồi cân bằngCon số 2,7Derivation của trạng thái cân bằng tĩnh phương trình cho vấn đề hai chiềutrong hệ tọa độ cực.rr+1rr+r−r− cos = 0(2,16) Tương tự, tĩnh phương trình cân bằng thu được bằng cách thêm com-ponents của lực lượng theo hướng tiếp tuyến là1r+rr+2rr+ sin = 0(2,17)Những căng thẳng trong hệ tọa độ trụ trên một yếu tố đất được hiển thịtrong hình 2,8. Tổng hợp các lực lượng trong bố trí hình tròn, tiếp tuyến, và theo chiều dọcchỉ dẫn đường, các mối quan hệ sau thu được:rrr+++1r1r1rr++zzrzz+++r−rr= 0= 0(2,18)2rrzrzz(2.19)r+zrzr− = 0(2,20) Căng thẳng và căng thẳng-đàn hồi cân bằng55Hình 2,8Cân bằng các phương trình trong hệ tọa độ trụ.2.4 khái niệm về căng thẳngXem xét một thể tích nguyên tố đất như minh hoạ trong hình 2.9a. Doviệc áp dụng căng thẳng, điểm A phải trải qua một trọng lượng rẽ nước như vậy mà nóCác thành phần trong x, y và z hướng dẫn bạn, có, và w, tương ứng. Cácbên cạnh điểm B trải qua displacements của bạn + u / x dx + / x dx,và w + w / x dx x, y và z chỉ dẫn, tương ứng. Vì vậy sự thay đổichiều dài AB trong x hướng là u + u / x dx − u = u / x dx. Do đósự căng thẳng theo hướng x, x, có thể được đưa ra như là∈x = 1DXuu DX =XX(2,21) 56Căng thẳng và căng thẳng-đàn hồi cân bằngCon số 2,9 các khái niệm của căng thẳng.Tương tự, các chủng trong các hướng dẫn y và z có thể được viết dưới dạng∈y =∈z =ywz(2,22)(2,23)nơi ∈y và ∈z là các chủng trong các hướng dẫn y và z, tương ứng. Do ứng dụng căng thẳng, bên AB và AC của nguyên tố Hiển thị trongCon số 2.9a trải qua một xoay như minh hoạ trong hình 2.9b (see A B và A C).Sự thay đổi nhỏ trong góc cho bên AB là 1, tầm quan trọng trong đó có thểđược cung cấp như là / x dx 1/dx = / x, và tầm quan trọng của sự thay đổi tronggóc 2 cho bên AC là u / y dy 1/dy = u / y. Cắt căng thẳng xy làbằng với tổng của sự thay đổi trong góc độ 1 và 2. Do đóxy=u +yxXZ(2,24)vàYZTương tự, các chủng cắtXZcó thể được bắt nguồn như(2,25)= Wu +zxvàYZ =z+wy(2,26) Căng thẳng và căng thẳng-đàn hồi cân bằng57 Nói chung, trong cơ học đất giống bình thường nén là consid-ered tích cực. Cho cắt căng thẳng, nếu có sự gia tăng ở bên phải góc BAC(Hình 2.9b), nó được coi là tích cực. Như minh hoạ trong hình 2.9b, cắt cạnhcăng thẳng là tất cả tiêu cực.2.5 Hooke luậtCác chủng trục cho một vật liệu lý tưởng, đàn hồi và đẳng hướng trong điều khoản của sự căng thẳngthành phần được đưa ra bởi pháp luật của Hooke như∈x = 1U = x E 1∈y == yEx−−y++z(2,27)(2,28)yxzvà∈z = 1W =zEz−x+y(2,29)trong đó E là mô đun Young và Poisson tỷ lệ. Từ các mối quan hệ được đưa ra bởi Eqs. (2,27), (2.28), và (2,29), sự căng thẳngthành phần có thể được biểu thị dưới dạngx===1 +1 +1 +E1−2E1−2E1−2∈ x + ∈y + ∈z +∈ x + ∈y + ∈z +∈ x + ∈y + ∈z + E1 + E1 + E1 +∈x∈y∈z(2,30)(2,31)(2,32)yzCắt trong điều khoản của các thành phần căng thẳng chủngxy==xyGXZ(2,33)(2,34)XZGvàYZ=YZG(2,35)nơi cắt mô đun,G = E2 1 +(2,36) 58Căng thẳng và căng thẳng-đàn hồi cân bằng2.6 máy bay căng thẳng vấn đềTình trạng căng thẳng thường gặp phải trong nhiều vấn đề trong cơ học đấtlà tình trạng căng thẳng máy bay. Dài giữ chân tường và nền tảng dảilà những ví dụ nơi máy bay căng thẳng điều kiện đang gặp phải. Đề cập đếnCon số 2.10, cho nền tảng dải, sự căng thẳng trong sự chỉ đạo y là zero(ví dụ, ∈y = 0). Những căng thẳng tại tất cả các phần trong mặt phẳng xz là như nhau, và cáccắt nhấn mạnh trên những phần là zero (ví dụ, yx = xy = 0 và yz = zy = 0).Vì vậy, từ Eq. (2,28),∈y = 0 =y= 1 Ex +yz−x+z(2,37)Thay thế Eq. (2,37) vào Eqs. (2,27) và (2,29) 1−∈x = Evà∈z =Kể từxy2x−1−z(2,38)1− Exy2z−1−= 0,x(2,39)= 0 vàYZYZ= 0= 0(2,40)Con số 2.10Dải nền tảng — máy bay căng thẳng vấn đề. Căng thẳng và căng thẳng-đàn hồi cân bằng59vàXZ=XZG(2,41)Khả năng tương thích phương trìnhBa căng thành phần được đưa ra bởi Eqs. (2,38), (2.39), và (2,41)chức năng của các displacements bạn và w và là không độc lập của mỗikhác. Vì thế một mối quan hệ phải tồn tại sao cho các thành phần căng thẳngcó giá trị đơn giải pháp liên tục. Nó có thể được lấy như sau. TừEQ. (2,21), ∈x = u / x. khác biệt t

Kết quả (Việt) 2:

Chương 2
những áp lực và căng thẳng đàn hồi
cân bằng
2.1 Giới thiệu
Một chức năng quan trọng trong việc nghiên cứu về cơ học đất là để dự đoán những căng thẳng
và áp đặt các chủng tại một điểm được đưa ra trong một khối đất do tải một số
điều kiện. Điều này là cần thiết để ước định cư và ổn định để tiến hành
phân tích các kết cấu đất và trái đất giữ lại, cũng như để xác định
điều kiện căng thẳng trên các cấu trúc dưới lòng đất và trái đất giữ lại.
Một sơ đồ ứng suất biến dạng lý tưởng cho một loại vật liệu được thể hiện trong hình 2.1.
Tại mức độ căng thẳng thấp tăng căng thẳng tuyến tính với sự căng thẳng (chi nhánh ab),
đó là phạm vi đàn hồi của vật liệu. Ngoài một mức độ căng thẳng nhất định các
nguyên liệu đạt đến một trạng thái dẻo, và sự gia tăng căng thẳng với không có thêm
gia tăng căng thẳng (chi nhánh bc). Các lý thuyết về các áp lực và chủng bày
trong chương này là để chỉ phạm vi đàn hồi. Trong việc xác định sự căng thẳng và
căng thẳng trong môi trường đất, một thường phải viện đến các nguyên tắc của lý thuyết
đàn hồi, mặc dù đất trong tự nhiên không phải là hoàn toàn đồng nhất, đàn hồi, hoặc
đẳng hướng. Tuy nhiên, các kết quả thu được từ các lý thuyết đàn hồi có thể được
áp dụng một cách khôn ngoan để các vấn đề về cơ học đất.
2.2 Định nghĩa và ký hiệu quy ước cơ bản cho
căng thẳng
Một khối đất nguyên tố có cạnh đo dx, dy, dz và được thể hiện trong
hình 2.2. Thông số xy, andz là những căng thẳng bình thường hoạt động trên
những chiếc máy bay bình thường đến, y, z và trục x, tương ứng. Các căng thẳng bình thường
được coi là tích cực khi họ đang hướng lên bề mặt. Thông số
xyyxyzzyzx, và xz là ứng suất cắt. Các ký hiệu cho shear
stress theo.
Nếu ij là một ứng suất cắt, nó có nghĩa là căng thẳng đang diễn xuất trên một chiếc máy bay thông thường
để các i trục, và hướng của nó là song song với trục j. Một căng thẳng ij cắt được
coi là tích cực nếu nó được định hướng trong j hướng tiêu cực trong khi diễn xuất
trên một chiếc máy bay có bề ngoài bình thường là tôi hướng tích cực. Ví dụ, hình 2.1 được lý tưởng hóa sơ đồ ứng suất biến dạng. Hình 2.2 Ký hiệu cho căng thẳng bình thường và cắt trong hệ tọa độ Descartes. Nhấn mạnh và đàn hồi cân bằng chủng- 49 tất cả các ứng suất cắt là tích cực trong hình 2.2. Đối với trạng thái cân bằng, = = = (2.1) (2.2) (2.3) xy xz yz yx zz ZY Hình 2.3 cho thấy các ký hiệu cho những căng thẳng bình thường và cắt trong các hệ toạ độ cực (trường hợp hai chiều). Đối với trường hợp này, r và là những căng thẳng bình thường, và r và r là ứng suất cắt. Đối với phần hoá Librium, r = r. Tương tự như vậy, các ghi chú để cho căng thẳng trong hình trụ hệ thống phối hợp được thể hiện trong hình 2.4. Thông số r, z là các căng thẳng bình thường, và các ứng suất cắt là r = rz = z, và rz = zr. 2.3 Phương trình cân bằng tĩnh Hình 2.5 cho thấy sức ép hoạt động trên một khối đất nguyên tố có cạnh đo dx, dy, và dz. Để cho được các đơn vị trọng lượng của đất. Đối equilib- chuẩn tắc, tổng hợp các lực lượng theo hướng x, Hình 2.3 Ký hiệu cho căng thẳng bình thường và cắt trong hệ tọa độ cực. 50 những áp lực và căng thẳng đàn hồi cân bằng Hình 2.4 Ký hiệu cho căng thẳng bình thường và cắt trong tọa độ trụ. Fx = + hoặc x x - yx x + yx x x + dx yx dy dz + dy zx - zx + zx z dz dx dy - y dx dz = 0 x + yx y + zx z = 0 Fy = 0, hoặc (2.4) Tương tự như vậy, cùng hướng y, y y + xy x + ZY z = 0 (2.5) Dọc theo z hướng, những áp lực và căng thẳng đàn hồi cân bằng 51 hình thức chiết khấu 2,5 phương trình cân bằng. Fz = + z- z + z z dz yz dx dy + dy xz - xz + xz x dx dy dz yz - yz + y dx dz + dx dy dz = 0 Thời hạn cuối cùng của phương trình trên đây là sự tự-trọng lượng của khối đất. Như vậy z z + xz x + yz y - = 0 (2.6) Phương trình (2.4) - (2.6) là phương trình cân bằng tĩnh trong Cartesian phối hợp hệ thống. Những phương trình này bằng văn bản về tổng căng thẳng. 52 cân bằng những áp lực và căng thẳng đàn hồi Họ có thể, tuy nhiên, được viết về ứng suất hiệu quả như x = x + u = x + wh (2.7) mà = ứng suất hữu hiệu u = nước lỗ rỗng áp w = đơn vị trọng lượng của nước h = đầu áp x Do đó x x = x x + w h x (2.8) Tương tự như vậy, y y và z = y y + w h y (2.9) z = z z + w h z ( 2.10) Thay thế các từ ngữ thích hợp trong EQS. (2.4) - (2.6) kết quả trong x x y + + + yx y xy + + + zx z ZY + + + w h = 0 x h = 0 y h - z = 0 (2.11) (2.12) (2.13) y z x xz z yz w z x y w mà là đơn vị trọng lượng hiệu quả của đất. Lưu ý rằng các ứng suất cắt sẽ không bị ảnh hưởng bởi áp lực nước lỗ rỗng. Trong cơ học đất, một số vấn đề có thể được giải quyết bằng hai phân tích ứng suất chiều. Hình 2.6 cho thấy các mặt cắt ngang của một elemen- lăng đất tal của đơn vị chiều dài với sức ép hoạt động trên khuôn mặt của mình. Các tĩnh phương trình cân bằng cho tình trạng này có thể thu được từ phương trình. (2.4), (2.5) và (2.6) bằng cách thay thế xy = yx = 0 yz = ZY = 0, và y / y = 0. Chú ý rằng xz = zx. Như vậy những áp lực và căng thẳng đàn hồi cân bằng 53 Hình 2.6 derivation của phương trình cân bằng tĩnh cho vấn đề hai chiều . ở tọa độ Cartesian xz x x z + + z xz = 0 - = 0 (2.14) (2.15) z x Hình 2.7 cho thấy một nguyên tố khối đất trong tọa độ cực. Thông số là các thành phần bình thường của sự căng thẳng trong radial và tangentialr và hướng dẫn, và r và r là ứng suất cắt. Để có được sự tĩnh phương trình cân bằng, các lực lượng trong việc bố trí hình tròn và hướng tiếp tuyến cần phải được xem xét. Như vậy Fr = + + + r rr d - r + r r dr r + dr d + r dr sin d / 2 + dr cos d / 2 - d r dr sin d / 2 dr cos d / 2 + d rd dr cos = 0 Lấy sin d / 2 ≈ d / 2 và cos d / 2 ≈ 1, bỏ vật gì nhỏ số lượng đơn đặt hàng cao hơn, và lưu ý thatrr / r = rr / r + r và r = r, phương trình trên sản lượng 54 và những áp lực chủng đàn hồi cân bằng Hình 2.7 derivation của phương trình cân bằng tĩnh cho vấn đề hai chiều trong tọa độ cực. r r + 1 r r + r - r - cos = 0 (2.16) Tương tự như vậy, các phương trình cân bằng tĩnh thu được bằng cách thêm các đồng ponents của lực lượng theo hướng tiếp tuyến là 1 r + r r + 2 r r + sin = 0 (2.17) Các ứng suất trong hệ thống trụ trên một nguyên tố đất phối hợp được thể hiện trong hình 2.8. Tổng hợp các lực lượng trong việc bố trí hình tròn, tiếp tuyến, và dọc đường, các mối quan hệ sau đây thu được: r r r + + + 1 r 1 r 1 r r + + z zr z z + + + r - r r = 0 = 0 ( 2.18) 2 r r zr z z (2.19) r + zr z r - = 0 (2.20) Nhấn mạnh và chủng đàn hồi cân bằng 55 Hình 2.8 . phương trình cân bằng trong tọa độ trụ 2.4 Khái niệm về chủng Hãy xem xét một khối lượng nguyên tố của đất như trong Hình 2.9a. Do việc áp dụng các căng thẳng, điểm A trải qua một chuyển như vậy mà nó thành phần trong x, y, z và hướng là u, và w, tương ứng. Các điểm liền kề B trải qua chuyển vị của u + u / x dx + / x dx, và w + w / x dx trong x, y, z và hướng tương ứng. Vì vậy, sự thay đổi trong chiều dài AB theo hướng x là u + u / x dx - u = u / x dx. Do đó sự căng thẳng theo hướng x, x, có thể dùng như ∈x = 1 dx uu dx = xx (2.21) 56 những áp lực và căng thẳng đàn hồi cân bằng Hình 2.9 Khái niệm của sự căng thẳng. Tương tự như vậy, sự căng thẳng trong hướng y và z có thể được viết như ∈y = ∈z = y w z (2.22) (2.23) nơi ∈y và ∈z là những căng thẳng trong hướng y và z, tương ứng. Do ứng dụng căng thẳng, bên AB và AC của nguyên tố này thể hiện trong Hình 2.9a trải qua một vòng quay như thể hiện trong hình 2.9b (xem AB và AC). Sự thay đổi nhỏ trong góc cho bên AB là 1, độ lớn trong số đó có thể được đưa ra như là / x dx 1 / dx = / x, và độ lớn của sự thay đổi trong góc 2 mặt cho AC là u / y dy 1 / dy = u / y. Các xy biến dạng trượt là bằng tổng của sự thay đổi trong góc 1 và 2. Do đó xy = u + yx xz (2.24) và yz Tương tự như vậy, các chủng cắt xz có thể được bắt nguồn như (2.25) = wu + zx và yz = z + w y (2.26) Nhấn mạnh và đàn hồi cân bằng chủng- 57 Nhìn chung, trong đất cơ các chủng nén bình thường được consid- đến khía cạnh tích cực. Đối với dạng trượt, nếu có một sự gia tăng trong BAC góc bên phải (Hình 2.9b), nó được coi là tích cực. Như thể hiện trong hình 2.9b, biến dạng chủng đều là tiêu cực. 2.5 Định luật Hooke Các chủng trục cho một, đàn hồi, vật liệu đẳng hướng lý tưởng về sự căng thẳng thành phần được xác định bởi luật Hooke như ∈x = 1u = x E 1 ∈y == Ye x - - y + + z (2.27) (2.28) y x z và ∈z = 1w = Ze z- x + y (2.29) trong đó E là mô đun Young và số Poisson. Từ các mối quan hệ được cho bởi phương trình. (2.27), (2.28) và (2.29), sự căng thẳng thành phần có thể được thể hiện như x = = = 1+ 1+ 1+ E 1-2 E 1-2 E 1-2 ∈ x + ∈y + ∈z + ∈ x + ∈y + ∈z + ∈ x + ∈y + ∈z + E 1+ E 1+ E 1+ ∈x ∈y ∈z (2.30) (2.31) (2.32) y z Các chủng cắt về của các thành phần căng thẳng là xy = = xy G xz (2,33) (2,34) xz G và yz = yz G (2.35) mà cắt modulus, G = E 2 1+ (2,36) 58 những áp lực và căng thẳng đàn hồi cân bằng chủng 2,6 Plane vấn đề Một trạng thái căng thẳng thường gặp trong nhiều vấn đề trong cơ học đất là điều kiện ứng suất bề mặt. Bức tường dài giữ và móng băng là những ví dụ điều kiện căng thẳng máy bay đang gặp phải. Đề cập đến hình 2.10, cho nền tảng dải, sự căng thẳng theo hướng y là số không (tức là, ∈y = 0). Các ứng suất ở tất cả các phần trong mặt phẳng xz là như nhau, và ứng suất cắt trên các phần bằng không (tức là, yx = xy = 0 và yz = ZY = 0). Như vậy, từ biểu thức. (2.28), ∈y = 0 = y = 1 E x + y z - x + z (2.37) Thay phương. (2.37) vào phương trình. (2.27) và (2.29) 1- ∈x = E và ∈z = Vì xy 2 x - 1 z (2.38) 1- E xy 2 z- 1 = 0, x (2,39) = 0 và yz yz = 0 = 0 (2.40) Hình 2.10 Strip căng nền tảng máy bay có vấn đề. Nhấn mạnh và đàn hồi cân bằng chủng- 59 và xz = xz G (2.41) Phương trình tương thích Ba thành phần căng thẳng do phương trình. (2.38), (2.39) và (2.41) là chức năng của chuyển vị u và w và không độc lập của mỗi khác. Do đó, một mối quan hệ nên tồn tại như vậy mà các thành phần căng thẳng cho các giải pháp liên tục duy nhất có giá trị. Nó có thể thu được như sau. Từ phương trình. (2.21), ∈x = u / x. Phân biệt t 28) y x z và ∈z = 1w = Ze z- x + y (2.29) trong đó E là mô đun Young và số Poisson. Từ các mối quan hệ được cho bởi phương trình. (2.27), (2.28) và (2.29), sự căng thẳng thành phần có thể được thể hiện như x = = = 1+ 1+ 1+ E 1-2 E 1-2 E 1-2 ∈ x + ∈y + ∈z + ∈ x + ∈y + ∈z + ∈ x + ∈y + ∈z + E 1+ E 1+ E 1+ ∈x ∈y ∈z (2.30) (2.31) (2.32) y z Các chủng cắt về của các thành phần căng thẳng là xy = = xy G xz (2,33) (2,34) xz G và yz = yz G (2.35) mà cắt modulus, G = E 2 1+ (2,36) 58 những áp lực và căng thẳng đàn hồi cân bằng chủng 2,6 Plane vấn đề Một trạng thái căng thẳng thường gặp trong nhiều vấn đề trong cơ học đất là điều kiện ứng suất bề mặt. Bức tường dài giữ và móng băng là những ví dụ điều kiện căng thẳng máy bay đang gặp phải. Đề cập đến hình 2.10, cho nền tảng dải, sự căng thẳng theo hướng y là số không (tức là, ∈y = 0). Các ứng suất ở tất cả các phần trong mặt phẳng xz là như nhau, và ứng suất cắt trên các phần bằng không (tức là, yx = xy = 0 và yz = ZY = 0). Như vậy, từ biểu thức. (2.28), ∈y = 0 = y = 1 E x + y z - x + z (2.37) Thay phương. (2.37) vào phương trình. (2.27) và (2.29) 1- ∈x = E và ∈z = Vì xy 2 x - 1 z (2.38) 1- E xy 2 z- 1 = 0, x (2,39) = 0 và yz yz = 0 = 0 (2.40) Hình 2.10 Strip căng nền tảng máy bay có vấn đề. Nhấn mạnh và đàn hồi cân bằng chủng- 59 và xz = xz G (2.41) Phương trình tương thích Ba thành phần căng thẳng do phương trình. (2.38), (2.39) và (2.41) là chức năng của chuyển vị u và w và không độc lập của mỗi khác. Do đó, một mối quan hệ nên tồn tại như vậy mà các thành phần căng thẳng cho các giải pháp liên tục duy nhất có giá trị. Nó có thể thu được như sau. Từ phương trình. (2.21), ∈x = u / x. Phân biệt t 28) y x z và ∈z = 1w = Ze z- x + y (2.29) trong đó E là mô đun Young và số Poisson. Từ các mối quan hệ được cho bởi phương trình. (2.27), (2.28) và (2.29), sự căng thẳng thành phần có thể được thể hiện như x = = = 1+ 1+ 1+ E 1-2 E 1-2 E 1-2 ∈ x + ∈y + ∈z + ∈ x + ∈y + ∈z + ∈ x + ∈y + ∈z + E 1+ E 1+ E 1+ ∈x ∈y ∈z (2.30) (2.31) (2.32) y z Các chủng cắt về của các thành phần căng thẳng là xy = = xy G xz (2,33) (2,34) xz G và yz = yz G (2.35) mà cắt modulus, G = E 2 1+ (2,36) 58 những áp lực và căng thẳng đàn hồi cân bằng chủng 2,6 Plane vấn đề Một trạng thái căng thẳng thường gặp trong nhiều vấn đề trong cơ học đất là điều kiện ứng suất bề mặt. Bức tường dài giữ và móng băng là những ví dụ điều kiện căng thẳng máy bay đang gặp phải. Đề cập đến hình 2.10, cho nền tảng dải, sự căng thẳng theo hướng y là số không (tức là, ∈y = 0). Các ứng suất ở tất cả các phần trong mặt phẳng xz là như nhau, và ứng suất cắt trên các phần bằng không (tức là, yx = xy = 0 và yz = ZY = 0). Như vậy, từ biểu thức. (2.28), ∈y = 0 = y = 1 E x + y z - x + z (2.37) Thay phương. (2.37) vào phương trình. (2.27) và (2.29) 1- ∈x = E và ∈z = Vì xy 2 x - 1 z (2.38) 1- E xy 2 z- 1 = 0, x (2,39) = 0 và yz yz = 0 = 0 (2.40) Hình 2.10 Strip căng nền tảng máy bay có vấn đề. Nhấn mạnh và đàn hồi cân bằng chủng- 59 và xz = xz G (2.41) Phương trình tương thích Ba thành phần căng thẳng do phương trình. (2.38), (2.39) và (2.41) là chức năng của chuyển vị u và w và không độc lập của mỗi khác. Do đó, một mối quan hệ nên tồn tại như vậy mà các thành phần căng thẳng cho các giải pháp liên tục duy nhất có giá trị. Nó có thể thu được như sau. Từ phương trình. (2.21), ∈x = u / x. Phân biệt t