In this book we discuss a class of

In this book we discuss a class of time discretization techniques, which are
termed strong stability preserving (SSP) time discretizations and have been
developed over the past 20 years as an effective tool for solving certain types
of large ordinary differential equation (ODE) systems arising from spatial
discretizations of partial differential equations (PDEs).
The numerical solution of ODEs is of course an established research area.
There are many well-studied methods, such as Runge–Kutta methods and
multistep methods. There are also many excellent books on this subject,
for example [8, 64, 83]. ODE solvers for problems with special stability
properties, such as stiff ODEs, are also well studied, see, e.g., [32, 17].
The SSP methods are also ODE solvers, therefore they can be analyzed
by standard ODE tools. However, these methods were designed specifically
for solving the ODEs coming from a spatial discretization of time-dependent
PDEs, especially hyperbolic PDEs. The analysis of SSP methods can be
facilitated when this background is taken into consideration.
In the one-dimensional scalar case, a hyperbolic conservation law is
given by
ut + f(u)x = 0 (1.1)
where u is a function of x and t, and the subscripts refer to partial derivatives;
for example, ut = ∂u
∂t . Hyperbolic PDEs pose particular difficulties
for numerical methods because their solutions typically contain discontinuities.
We refer the readers to, e.g. the book of Smoller [94] and the lecture
notes of LeVeque [68] for an introduction to hyperbolic conservation laws
and their numerical solutions. We would like to find a numerical approximation,
still denoted by u with an abuse of notation, which discretizes the
spatial derivative (e.g. f(u)x in (1.1)) in the PDE. The result is then a

Kết quả (Việt) 1:

Trong cuốn sách này chúng tôi thảo luận về một lớp các kĩ thuật discretization thời gian cógọi là ổn định giữ gìn (SSP) thời gian discretizations và đãphát triển hơn 20 năm qua như là một công cụ hiệu quả để giải quyết một số loạiCác hệ thống lớn phương trình vi phân thường (ODE) phát sinh từ không giandiscretizations phương trình vi phân riêng phần (PDEs).Giải pháp số soạn của khóa học là một khu vực nghiên cứu được thành lập.Có rất nhiều phương pháp được nghiên cứu, chẳng hạn như phương pháp Runge-Kutta vàphương pháp multistep. Còn có rất nhiều cuốn sách xuất sắc về chủ đề này,Ví dụ: [8, 64, 83]. ODE giải quyết các vấn đề với sự ổn định đặc biệtthuộc tính, chẳng hạn như soạn cứng, cũng được nghiên cứu, xem, ví dụ, [32, 17].Các phương pháp SSP cũng giải quyết ODE, do đó họ có thể được phân tíchbởi tiêu chuẩn các công cụ ODE. Tuy nhiên, những phương pháp này được thiết kế đặc biệtđể giải quyết soạn đến từ không gian discretization của phụ thuộc vào thời gianPDEs, đặc biệt là hyperbolic PDEs. Các phân tích của SSP phương pháp có thểtạo điều kiện khi nền tảng này được đưa vào xem xét.Trong trường hợp hết vô hướng, một đạo luật bảo tồn hypebolic làđược đưa ra bởiUT + f (u) x = 0 (1.1)nơi u là một hàm của x và t, và chỉ đề cập đến một phần derivatives;Ví dụ, ut = ∂u∂t. Hyperbol PDEs tư thế đặc biệt khó khănĐối với phương pháp số bởi vì giải pháp của họ thường có chứa discontinuities.Chúng tôi tham khảo độc giả, ví dụ như các cuốn sách của Smoller [94] và các bài giảngghi chú của LeVeque [68] cho một giới thiệu về pháp luật bảo tồn hyperbolvà các giải pháp số. Chúng tôi muốn tìm thấy một xấp xỉ số,vẫn còn biểu hiện bằng u với lạm dụng một ký hiệu, mà discretizes cáckhông gian phái sinh (ví dụ f (u) x trong (1.1)) trong PDE. Kết quả là sau đó một

Kết quả (Việt) 2:

Trong cuốn sách này, chúng tôi thảo luận về một lớp học của các kỹ thuật rời rạc thời gian, được
gọi là sự ổn định mạnh mẽ bảo quản (SSP) discretizations thời gian và đã được
phát triển trong vòng 20 năm qua như một công cụ hiệu quả để giải quyết một số loại
của phương trình vi phân thường hệ thống lớn (ODE) phát sinh từ không gian
discretizations của phương trình vi phân từng phần (PDEs).
các giải pháp số của ODEs là dĩ nhiên là một lĩnh vực nghiên cứu được thành lập.
có rất nhiều phương pháp được nghiên cứu, chẳng hạn như các phương pháp Runge-Kutta và
phương pháp nhiều bước. Ngoài ra còn có rất nhiều cuốn sách xuất sắc về chủ đề này,
ví dụ [8, 64, 83]. Giải quyết ODE cho các vấn đề với sự ổn định đặc biệt
thuộc tính, chẳng hạn như ODEs cứng, cũng đã được nghiên cứu, xem, ví dụ [32, 17].
Các phương pháp SSP cũng là người giải quyết ODE, do đó chúng có thể được phân tích
bởi các công cụ ODE chuẩn. Tuy nhiên, các phương pháp này được thiết kế đặc biệt
để giải quyết các ODEs đến từ một rời rạc không gian của thời gian phụ thuộc vào
PDEs, đặc biệt là PDEs hyperbol. Phân tích các phương pháp SSP có thể được
thuận lợi khi nền tảng này được đưa vào xem xét.
Trong trường hợp vô hướng một chiều, một định luật bảo toàn hyperbol được
đưa ra bởi
ut + f (u) x = 0 (1.1)
trong đó u là một hàm số của x và t, và các kí hiệu tham khảo dẫn một phần;
ví dụ, ut = ∂u
∂t. PDEs hyperbol ra những khó khăn đặc biệt
cho phương pháp số bởi vì giải pháp của họ thường có gián đoạn.
Chúng tôi tham khảo các độc giả, ví dụ như cuốn sách của Smoller [94] và các bài giảng
ghi chú của Leveque [68] cho một giới thiệu về định luật bảo toàn hyperbol
và giải pháp số của họ. Chúng tôi muốn tìm một xấp xỉ bằng số,
vẫn còn ký hiệu là u với một sự lạm dụng của các kí hiệu, mà discretizes các
dẫn xuất không gian (ví dụ f (u) x trong (1.1)) trong PDE. Kết quả là sau đó một