Daniel Bernoulli’s work in 1760 had

Daniel Bernoulli’s work in 1760 had the goal of appraising the effectiveness of a controversial inoculation program against smallpox, which at that time was a major threat to
public health. His model applies equally well to any other disease that, once contracted
and survived, confers a lifetime immunity.
Consider the cohort of individuals born in a given year (t = 0), and let n(t) be the
number of these individuals surviving t years later. Let x(t) be the number of members of
this cohort who have not had smallpox by year t and who are therefore still susceptible.
Let β be the rate at which susceptibles contract smallpox, and let ν be the rate at which
16A standard source is the book by Bailey listed in the references. The models in Problems 22, 23, and
24 are discussed by Bailey in Chapters 5, 10, and 20, respectively.
August 7, 2012 21:03 c02 Sheet number 63 Page number 93 cyan black
2.5 Autonomous Equations and Population Dynamics 93
people who contract smallpox die from the disease. Finally, let μ( t) be the death rate from
all causes other than smallpox. Then dx/dt, the rate at which the number of susceptibles
declines, is given by
dx/dt = −[β + μ(t)]x. (i)
The first term on the right side of Eq.(i)is the rate at which susceptibles contract smallpox,
and the second term is the rate at which they die from all other causes. Also
dn/dt = −νβx − μ(t)n, (ii)
where dn/dt is the death rate of the entire cohort,and the two terms on the right side are
the death rates due to smallpox and to all other causes, respectively.
(a) Let z = x/n, and show that z satisfies the initial value problem
dz/dt = −βz(1 − νz), z(0) = 1. (iii)
Observe that the initial value problem (iii) does not depend on μ(t).
(b) Find z(t) by solving Eq. (iii).
(c) Bernoulli estimated that ν = β = 18. Using these values, determine the proportion of
20-year-olds who have not had smallpox.
Note:On the basis of the model just described and the best mortality data available at the
time,Bernoulli calculated that if deaths due to smallpox could be eliminated (ν = 0),then
approximately 3 years could be added to the average life expectancy (in 1760) of 26 years,
7 months. He therefore supported the inoculation program.

Kết quả (Việt) 1:

Daniel Bernoulli làm việc năm 1760 có mục tiêu của thẩm định hiệu quả của một chương trình tiêm chủng gây tranh cãi chống lại bệnh đậu mùa, mà tại thời điểm đó là một mối đe dọa lớn choy tế công cộng. Áp dụng mô hình của ông đều tốt để bất kỳ bệnh đó, sau khi ký hợp đồng nhấtvà sống sót, confers một miễn dịch suốt đời.Hãy xem xét một đội quân của các cá nhân được sinh ra trong một năm (t = 0), và để cho n(t) cácsố lượng các cá nhân còn sống sót t năm sau đó. Hãy để x(t) là số lượng các thành viên củađội quân này những người đã không có bệnh đậu mùa của năm t và những người do đó vẫn còn dễ bị.Hãy để β là tỷ lệ mà tại đó susceptibles hợp đồng bệnh đậu mùa, và để cho ν là tỷ lệ mà tại đó16A chuẩn nguồn là cuốn sách của Bailey được liệt kê trong các tài liệu tham khảo. Các mô hình trong vấn đề 22, 23, và24 được thảo luận bởi Bailey ở chương 5, 10 và 20, tương ứng.Tháng tám 7, 2012 21:03 c02 Sheet số 63 trang số 93 cyan đen2,5 phương trình tự trị và động thái dân số 93những người sử dụng hợp đồng đậu mùa chết vì bệnh. Cuối cùng, hãy để μ (t) có tỷ lệ tử vong từTất cả các nguyên nhân khác với bệnh đậu mùa. Sau đó dx/dt, tỷ lệ mà tại đó số susceptiblestừ chối, được đưa ra bởiDX/dt = − [β + μ(t)] x. (i)Nhiệm kỳ đầu tiên bên phải của Eq. (i) là tỷ lệ mà tại đó susceptibles hợp đồng bệnh đậu mùa,và nhiệm kỳ thứ hai là tỷ lệ mà tại đó họ chết từ tất cả các nguyên nhân khác. CũngDN/dt = −νβx − μ (t) n, (ii)nơi mà dn/dt là tỷ lệ tử vong của một đội quân toàn bộ, và hai thuật ngữ bên phảitỷ lệ tử vong do bệnh đậu mùa và tất cả các nguyên nhân, tương ứng.(a) cho phép z = x / n, và cho thấy rằng z thỏa mãn vấn đề giá trị ban đầuDZ/dt = −βz (1 − νz), z(0) = 1. (iii)Quan sát các vấn đề giá trị ban đầu (iii) không phụ thuộc vào μ(t).(b) tìm z(t) của việc giải quyết Eq. (iii).(c) Bernoulli ước tính rằng ν = β = 18. Sử dụng các giá trị, xác định tỷ lệ20 tuổi người không có bệnh đậu mùa.Lưu ý: trên cơ sở các mô hình chỉ cần mô tả và các dữ liệu tử vong tốt nhất có sẵn tại cácthời gian, Bernoulli tính toán rằng nếu người chết do bệnh đậu mùa có thể được loại bỏ (ν = 0), sau đókhoảng 3 tuổi có thể được thêm vào để trung bình tuổi thọ (năm 1760) của 26 tuổi,7 tháng. Do đó, ông ủng hộ các chương trình tiêm chủng.

Kết quả (Việt) 2:

Việc Daniel Bernoulli năm 1760 xác định mục đích của thẩm định tính hiệu quả của chương trình tiêm chủng gây tranh cãi chống lại bệnh đậu mùa, mà tại thời điểm đó là một mối đe dọa lớn đối với
sức khỏe cộng đồng. Mô hình của ông được áp dụng như nhau cho bất kỳ bệnh khác, một khi ký hợp đồng
và sống sót, đem lại một khả năng miễn dịch suốt đời.
Hãy xem xét các nhóm của các cá nhân sinh ra trong một năm (t = 0), và để cho n (t) là
số lượng các cá nhân sống sót t năm sau đó. Cho x (t) là số lượng thành viên của
nhóm này đã không có bệnh đậu mùa của năm t và do đó những người vẫn còn nhạy cảm.
Hãy β là tỷ giá mà tại đó susceptibles hợp đồng bệnh đậu mùa, và để cho ν là tỷ giá mà tại đó
16A nguồn tiêu chuẩn là cuốn sách của Bailey được liệt kê trong tài liệu tham khảo. Các mô hình trong vấn đề 22, 23, và
24 được thảo luận bởi Bailey trong Chương 5, 10, và 20, tương ứng.
7 tháng 8 năm 2012 21:03 C02 Tấm số 63 trang số 93 cyan đen
2.5 Phương trình tự trị và Dân Dynamics 93
người hợp đồng đậu mùa chết vì căn bệnh này. Cuối cùng, chúng ta hãy μ (t) là tỷ lệ tử vong do
mọi nguyên nhân khác hơn là bệnh đậu mùa. Sau đó dx / dt, tốc độ mà số lượng susceptibles
giảm, được cho bởi
dx / dt = - [β + μ (t)] x. (i)
Thuật ngữ đầu tiên ở phía bên phải của phương trình. (i) là tỷ lệ mà tại đó susceptibles hợp đồng bệnh đậu mùa,
và nhiệm kỳ thứ hai là tỷ lệ mà tại đó họ chết do mọi nguyên nhân khác. Cũng
dn / dt = -νβx - μ (t) n, (ii)
nơi dn / dt là tỷ lệ tử vong của cả nhóm, và hai thuật ngữ trên bên phải là
tỷ lệ tử vong do bệnh đậu mùa và cho tất cả các nguyên nhân khác ., tương ứng
(a) Hãy z = x / n, và cho thấy rằng đáp ứng z vấn đề giá trị ban đầu
dz / dt = -βz (1 - νz), z (0) = 1. (iii)
Quan sát rằng vấn đề giá trị ban đầu (iii) không phụ thuộc vào μ (t).
(b) Tìm z (t) bằng cách giải phương trình. . (iii)
(c) Bernoulli ước tính rằng ν = β = 18. Sử dụng các giá trị, xác định tỷ lệ
20 tuổi đã không có bệnh đậu mùa.
Lưu ý: Trên cơ sở của mô hình chỉ mô tả và các số liệu tử vong nhất có sẵn tại
thời gian, Bernoulli tính toán rằng nếu trường hợp tử vong do bệnh đậu mùa có thể được loại bỏ (ν = 0), sau đó
khoảng 3 năm có thể được thêm vào tuổi thọ trung bình (năm 1760) trong 26 năm,
7 tháng. Vì thế, ông hỗ trợ các chương trình tiêm chủng.