Let line CC2 meet line AB at point

Let line CC2 meet line AB at point C3. Let us prove that AC3 : C3B = tan 2α : tan 2β.
It is easy to verify that


C3M : C2E = M C2 : EC, EC = R cos γ,

M C2 = C1E = 2R sin α sin β − R cos γ

Hence, and C2E = M C1 = R sin(β − α)

= R sin(β − α)(2 sin β sin α − cos γ) = R sin(β − α) cos(β − α) .
C3M
cos γ cos γ
Therefore,

AC3 = AM + M C3 = sin 2γ + sin 2(α − β) = tan 2α .

C3B C3M + M B sin 2γ − sin 2(α − β) tan 2β
Similar arguments show that
tan 2β tan 2γ
AC3 BA3 CB3 tan 2α
• • = • • = 1.
tan 2β tan 2γ tan 2α
C3B A3C B3A
5.115. Let us solve a more general heading b). First, let us prove that lines AA1, BB1 and CC1 meet at one point. Let the circumscribed circles of triangles A1BC and AB1C

Kết quả (Việt) 1:

Hãy để dòng CC2 gặp gỡ dây AB tại điểm C3. Chúng ta hãy chứng minh rằng AC3: C3B = tan 2α: tân 2β.Nó rất dễ dàng để xác minh rằng C3M: C2E = M C2: EC, EC = R cos γ, M C2 = C1E = 2R sin α sin β − R cos γ Do đó, và C2E = M C1 = R sin (β − α) = R sin(β − α) (2 sin β sin α − cos γ) = R sin (β − α) cos (β − α). C3M cos γ cos γDo đó, AC3 = AM + M C3 = sin 2γ + sin 2 (α − β) = tan 2α. C3B C3M + M B sin 2γ − sin 2 (α − β) tan 2βLập luận tương tự cho thấy rằng tan 2β tan 2γ AC3 BA3 CB3 tan 2α • • = • • = 1. tan 2β tan 2γ tan 2α C3B A3C B3A 5.115. Hãy để chúng tôi giải quyết một tiêu đề chung chung hơn b). Đầu tiên, chúng ta hãy chứng minh rằng dòng AA1, BB1 và CC1 gặp gỡ tại một thời điểm. Cho đường tròn của tam giác A1BC và AB1C

Kết quả (Việt) 2:

Hãy để dòng CC2 gặp đường AB tại điểm C3. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng AC3: C3B = tan 2α: tan 2β.
Nó rất dễ dàng để xác minh rằng


C3M: C2E = M C2: EC, EC = R cos γ,

M C2 = C1E = 2R sin α β sin - cos R γ

Do đó , và C2E = M C1 = R sin (β - α)

= R sin (β - α) (2 sin β α sin - cos γ) = R sin (β - α) cos (β - α).
C3M
cos γ cos γ
Vì vậy,

AC3 = AM + M C3 = sin 2γ + sin 2 (α - β) = tan 2α.

C3B C3M + MB tội 2γ - sin 2 (α - β) tan 2β
Lập luận tương tự cho thấy
tan 2β tan 2γ
AC3 BA3 cb3 tan 2α
• • • • = = 1.
tan 2β tan 2γ tan 2α
C3B A3C B3A
5,115. Hãy để chúng tôi giải quyết một tiêu đề chung hơn b). Đầu tiên, chúng ta hãy chứng minh rằng dòng AA1, BB1 và CC1 gặp nhau tại một điểm. Hãy để các vòng tròn circumscribed của tam giác A1BC và AB1C