While the linear elastic spring ser

While the linear elastic spring serves to introduce the concept of the stiffness matrix, the usefulness of such an element in finite element analysis is rather limited.
Certainly, springs are used in machinery in many cases and the availability of a
finite element representation of a linear spring is quite useful in such cases. The
Hutton: Fundamentals of
Finite Element Analysis
2. Stiffness Matrices,
Spring and Bar Elements
Text © The McGraw−Hill
Companies, 2004
32 CHAPTER 2 Stiffness Matrices, Spring and Bar Elements
spring element is also often used to represent the elastic nature of supports for
more complicated systems. A more generally applicable, yet similar, element is
an elastic bar subjected to axial forces only. This element, which we simply call
a bar element, is particularly useful in the analysis of both two- and threedimensional frame or truss structures. Formulation of the finite element characteristics of an elastic bar element is based on the following assumptions:
1. The bar is geometrically straight.
2. The material obeys Hooke’s law.
3. Forces are applied only at the ends of the bar.
4. The bar supports axial loading only; bending, torsion, and shear are not
transmitted to the element via the nature of its connections to other
elements.
The last assumption, while quite restrictive, is not impractical; this condition is
satisfied if the bar is connected to other structural members via pins (2-D) or balland-socket joints (3-D). Assumptions 1 and 4, in combination, show that this is
inherently a one-dimensional element, meaning that the elastic displacement of
any point along the bar can be expressed in terms of a single independent variable. As will be seen, however, the bar element can be used in modeling both
two- and three-dimensional structures. The reader will recognize this element
as the familiar two-force member of elementary statics, meaning, for equilibrium, the forces exerted on the ends of the element must be colinear, equal in
magnitude, and opposite in sense.
Figure 2.6 depicts an elastic bar of length L to which is affixed a uniaxial
coordinate system x with its origin arbitrarily placed at the left end. This is the
element coordinate system or reference frame. Denoting axial displacement at
any position along the length of the bar as u(x), we define nodes 1 and 2 at each
end as shown and introduce the nodal displacements u 1 = u(x = 0) and
u 2 = u(x = L) . Thus, we have the continuous field variable u(x), which is to be
expressed (approximately) in terms of two nodal variables u 1 and u 2. To accomplish this discretization, we assume the existence of interpolation functions
N1(x) and N2(x) (also known as shape or blending functions) such that
u(x) = N1(x)u 1 + N2(x)u 2 (2.17)

Kết quả (Việt) 1:

Trong khi lò xo đàn hồi tuyến tính phục vụ để giới thiệu các khái niệm ma trận độ cứng, tính hữu ích của một phần tử trong phân tích phần tử hữu hạn là khá hạn chế.Chắc chắn, lò xo được sử dụng trong các thiết bị trong nhiều trường hợp và sự sẵn có của mộtphần tử hữu hạn đại diện của một mùa xuân tuyến tính là khá hữu ích trong trường hợp này. CácHutton: Nguyên tắc cơ bản củaPhân tích phần tử hữu hạn2. ma trận độ cứng,Mùa xuân và Bar yếu tốVăn bản © McGraw−HillCông ty, năm 200432 CHƯƠNG 2 Ma trận độ cứng, mùa xuân và quầy Bar yếu tốmùa xuân nguyên tố cũng thường được sử dụng để đại diện cho tính chất đàn hồi của các hỗ trợ choCác hệ thống phức tạp hơn. Một yếu tố nói chung áp dụng, nhưng tương tự, làmột hồi thanh chịu lực lượng trục chỉ. Nguyên tố này, chúng tôi chỉ cần gọimột bar yếu tố, là đặc biệt hữu ích trong phân tích cấu trúc cả hai - và threedimensional khung hoặc giàn. Xây dựng các đặc điểm của phần tử hữu hạn của một đàn hồi thanh nguyên tố là dựa trên các giả định sau đây:1. thanh là geometrically thẳng.2. các tài liệu tuân theo pháp luật của Hooke.3. lực lượng được áp dụng chỉ lúc kết thúc của quầy bar.4. thanh hỗ trợ trục tải chỉ; uốn, xoắn, và cắt khôngtruyền đến các yếu tố thông qua bản chất của các kết nối khácCác yếu tố.Các giả định cuối cùng, trong khi khá hạn chế, không phải là không thực tế; tình trạng này làhài lòng nếu thanh được kết nối với các thành viên khác của cấu trúc thông qua chân (2-D) hoặc balland-khớp nối (3-D). Giả định 1 và 4, kết hợp, chỉ ra rằng điều này làvốn là một yếu tố hết, có nghĩa là trọng lượng rẽ nước đàn hồi củabất kỳ điểm nào dọc theo thanh có thể được thể hiện trong điều khoản của một biến độc lập duy nhất. Như sẽ được nhìn thấy, Tuy nhiên, thanh nguyên tố có thể được sử dụng trong mô hình hóa cả haihai và ba dimensional cấu trúc. Người đọc sẽ nhận ra nguyên tố nàylà thành viên lực lượng hai quen thuộc của trường tiểu học thống kê, có nghĩa là, cho cân bằng, các lực tác dụng trên kết thúc của các yếu tố phải được colinear, bình đẳng trongcường độ, và ngược lại trong cảm giác.Hình 2.6 depicts một thanh hồi chiều dài L để gắn liền một trụcHệ tọa độ x với nguồn gốc của nó tự ý đặt ở phía bên trái. Đây là cácHệ tọa độ nguyên tố hoặc hệ quy chiếu. Với trọng lượng rẽ nước trục tạibất kỳ vị trí dọc theo chiều dài của thanh như u(x), chúng tôi xác định các nút 1 và 2 ở mỗikết thúc như được hiển thị và giới thiệu nodal displacements u 1 = u(x = 0) vàu 2 = u(x = L). Vì vậy, chúng tôi có các lĩnh vực liên tục biến u(x), mà là đểthể hiện (khoảng) về hai nút biến u 1 và bạn 2. Để thực hiện việc này discretization, chúng tôi giả định sự tồn tại của phép nội suy chức năngN1(x) và N2(x) (cũng được gọi là hình dạng hoặc trộn chức năng) màu(x) = N1 (x) u 1 + N2 (x) u 2 (2.17)

Kết quả (Việt) 2:

Trong khi các lò xo đàn hồi tuyến tính nhằm giới thiệu các khái niệm về ma trận độ cứng, tính hữu ích của một phần tử như vậy trong phân tích phần tử hữu hạn là khá hạn chế.
Chắc chắn, lò xo được sử dụng trong các máy móc thiết bị trong nhiều trường hợp và sự sẵn có của một
đại diện phần tử hữu hạn của một tuyến tính mùa xuân là khá hữu ích trong trường hợp như vậy. Các
Hutton: Cơ sở của
phần tử hữu hạn phân tích
2. Độ cứng Ma trận,
mùa xuân và Bar Elements
Tiêu © The McGraw-Hill
Companies, 2004
32 CHƯƠNG 2 độ cứng Ma trận, mùa xuân và Bar Elements
yếu tố mùa xuân cũng thường được sử dụng để đại diện cho tính chất đàn hồi của hỗ trợ cho
các hệ thống phức tạp hơn. A, nguyên tố nói chung được áp dụng, nhưng tương tự như là
một thanh đàn hồi bị chỉ lực lượng trục. Nguyên tố này, mà chúng tôi chỉ đơn giản là gọi
một yếu tố thanh, đặc biệt hữu ích trong phân tích của cả hai khung hoặc giàn cấu trúc hai và threedimensional. Xây dựng các đặc tính phần tử hữu hạn của một phần tử thanh đàn hồi dựa trên các giả định sau đây:
1. Quầy bar là hình học thẳng.
2. Các vật liệu tuân theo pháp luật Hooke của.
3. Lực lượng này chỉ áp dụng ở hai đầu của thanh.
4. Thanh chỉ hỗ trợ tải dọc trục; uốn, xoắn, và cắt không được
chuyển đến các phần tử thông qua bản chất của kết nối của nó đến khác
yếu tố.
Giả thiết cuối cùng, trong khi khá hạn chế, không phải là không thực tế; tình trạng này là
hài lòng nếu thanh được kết nối với các thành viên khác qua cấu trúc chân (2-D) hoặc các khớp balland-socket (3-D). Giả định 1 và 4, kết hợp, cho thấy rằng đây là
vốn dĩ là một yếu tố một chiều, có nghĩa là chuyển đàn hồi của
bất kỳ điểm cùng thanh có thể được thể hiện trong các điều khoản của một biến độc lập duy nhất. Như sẽ thấy, tuy nhiên, yếu tố thanh có thể được sử dụng trong tạo hình cho cả
hai và cấu trúc ba chiều. Người đọc sẽ nhận ra yếu tố này
là thành viên hai lực lượng quen thuộc của tĩnh học tiểu học, ý nghĩa, đối với trạng thái cân bằng, các lực tác động vào đầu của phần tử phải colinear, bình đẳng về
độ lớn, ngược lại với ý nghĩa.
Hình 2.6 mô tả một thanh đàn hồi chiều dài L được gắn một đơn trục
hệ tọa độ x với nguồn gốc của nó tùy tiện đặt ở đầu bên trái. Đây là
yếu tố hệ thống hoặc hệ quy chiếu tọa độ. Biểu thị chuyển hướng trục ở
bất kỳ vị trí dọc theo chiều dài của thanh là u (x), chúng tôi xác định các nút 1 và 2 ở mỗi
cuối như thể hiện và giới thiệu các chuyển nút u 1 = u (x = 0) và
u 2 = u (x = L). Do đó, chúng tôi có các biến trường liên tục u (x), mà là để được
bày tỏ (ước tính) về hai biến nút u 1 và u 2. Để thực hiện rời rạc này, chúng tôi giả định sự tồn tại của chức năng nội suy
N1 (x) và N2 (x) (còn được gọi là hình dạng hoặc chức năng pha trộn) sao cho
u (x) = N1 (x) u 1 + N2 (x) u 2 (2.17)