3) maximize the minimum -product di

3) maximize the minimum -product distance





between any two points and in the constellation;
4) minimize the product kissing number for the - product distance, i.e., the total number of points at the minimum -product distance.
In this paper we have fixed the average energy of the constellations so we concentrate on the remaining items.


III. ALGEBRAIC NUMBER THEORY
The idea of rotating a two-dimensional QAM constellation was first presented in [10]. It was found that for a 16-QAM a rotation angle of gave a diversity of . The effect of this rotation is to spread the information contained in each component over both components of the constellation points. Pursuing a similar approach, the optimization of a four- dimensional rotation is found in [8]. The approach to determine such rotations is direct and cannot be easily extended to multidimensional constellations.
A more sophisticated mathematical tool is needed to con- struct lattice multidimensional constellations with high diver- sity: algebraic number theory. A simple introduction to this theory is given in [4] together with a review of the known lattice constellations obtained from the canonical embedding of real and complex algebraic number fields.
Here we will briefly highlight some of the mathematical concepts in algebraic number theory; nevertheless we recom- mend some further readings on this topic [13]–[15].
An algebraic number field is the set of all
possible algebraic combinations ( , , , ) of an algebraic number (real or complex, irrational, and nontranscendental) with the rational numbers of . This set has all the field properties and is related to an irreducible polynomial over , called the minimal polynomial, having as a root.
From elementary calculus we know that is dense in ,
the set of real numbers. Then we could state that the set is “a little bit denser” in if is a real field, and “a little bit denser” in if is a complex field.1 Using a particular mapping, called the canonical embedding, it is possible to uniquely represent each element of an algebraic number field with a point in an -dimensional Euclidean space just like we represent the elements of on the real line . This set of points is now only “dense” in as was “dense” in . In fact we chose so as to satisfy this condition. is called the degree of the algebraic number field.
The parallel between and can be further extended. In fact, within we find the set of relative integers which can be represented as a one-dimensional lattice in . In there exists a subset , called the ring of integers or integer ring of , which is mapped by the canonical embedding to an -dimensional lattice, i.e., a discrete group of .

1 We note that this intuitive idea is mathematically unprecise since K has the same density of Q in R.

Finally, an ideal of can be viewed as a sublattice of ; similarly, an ideal of the ring of integers is mapped by the canonical embedding into a sublattice of the lattice produced by .
The interest in these lattices lies in the fact that they present a diversity which can be easily controlled by properly selecting the algebraic number field. A key result in [4] shows that it is possible to design lattice constellations with diversity ranging between and according to the number of real and complex roots of the minimal polynomial of the number field. In particular, it is proven that . It is then shown that only for , the is related to the particular field properties of .

IV. CONVERTING THE RAYLEIGH FADING
CHANNEL INTO A GAUSSIAN CHANNEL
In this section, we show that the multidimensional QAM constellation becomes insensitive to fading when the diversity is large. This means that the point error probability is
the same with or without fading. We focus the proof on the
analysis of the pairwise point error probability , which is the probability of the received point to be closer to than to , assuming that is transmitted. The detector selects
if , and the conditional pairwise error probability is given by






where




is a Gaussian random variable and






is a constant. The mean of is zero and its variance is . The conditional pairwise error probability can be written as and we obtain




Q (2) We recall that the Gaussian tail function is defined as



The pairwise error probability is obtained by averaging over the fadings



where is the probability density function (pdf) of the fading coefficients. The Hamming distance between and

Kết quả (Việt) 2:

3) tăng tối đa khoảng cách -product tối thiểu giữa hai điểm bất kỳ và trong chòm sao; 4) giảm thiểu số lượng sản phẩm cho hôn - khoảng cách sản phẩm, tức là tổng số điểm ở khoảng cách tối thiểu -product. Trong bài báo này, chúng tôi đã cố định năng lượng trung bình của các chòm sao nên chúng tôi tập trung vào các hạng mục còn lại. III. Đại số SỐ LÝ THUYẾT Ý tưởng quay một chòm sao QAM hai chiều lần đầu tiên được trình bày trong [10]. Nó đã được tìm thấy rằng đối với một 16-QAM một góc quay của đã đưa ra một sự đa dạng của. Hiệu quả của việc luân chuyển này là để truyền bá các thông tin chứa trong mỗi thành phần trên cả hai thành phần của các điểm chòm sao. Theo đuổi một cách tiếp cận tương tự, tối ưu hóa của một vòng quay bốn chiều được tìm thấy trong [8]. Các phương pháp tiếp cận để xác định phép quay như là trực tiếp và không thể dễ dàng mở rộng cho các chòm sao đa chiều. Một công cụ toán học phức tạp hơn là cần thiết để con- struct lưới chòm sao đa chiều với sự đa diver- cao: lý thuyết số đại số. Một giới thiệu đơn giản để lý thuyết này được đưa ra trong [4] cùng với một đánh giá của các chòm sao mạng nổi tiếng thu được từ nhúng kinh điển của các lĩnh vực thực tế và phức tạp số đại số. Ở đây chúng ta sẽ tóm tắt một số các khái niệm toán học trong lý thuyết số đại số; tuy nhiên chúng tôi khuyến cáo vá một số bài đọc thêm về chủ đề này [13] -. [15] Một số lĩnh vực đại số là tập hợp của tất cả các kết hợp đại số có thể (,,,) của một số đại số (thực hoặc phức tạp, chưa hợp lý, và nontranscendental) với những con số hợp lý. Bộ này có tất cả các đặc tính của trường và có liên quan đến một đa thức bất khả quy trên, được gọi là đa thức tối thiểu, có như là một root. Từ phép tính cơ bản, chúng ta biết rằng là dày đặc trong, tập hợp các số thực. Sau đó, chúng ta có thể nói rằng bộ này là "một chút dày đặc hơn" trong nếu là một lĩnh vực thực sự, và "một chút dày đặc hơn" trong nếu là một field.1 phức tạp Sử dụng một bản đồ đặc biệt, được gọi là nhúng kinh điển, nó có thể duy nhất đại diện cho mỗi phần tử của một số lĩnh vực đại số với một điểm trong không gian Euclide chiều giống như chúng tôi đại diện các yếu tố của trên dòng thực. Điều này đặt các điểm bây giờ chỉ là "dày đặc" trong như đã "dày đặc" trong. Trong thực tế chúng tôi đã chọn để đáp ứng điều kiện này. được gọi là bậc của trường số đại số. The song song giữa và có thể được gia hạn thêm. Trong thực tế, chúng ta tìm thấy trong tập các số nguyên tương đối mà có thể được biểu diễn như là một mạng một chiều. Trong đó tồn tại một tập hợp con, gọi là vòng số nguyên hoặc vòng số nguyên, mà là ánh xạ của các kinh điển để nhúng một mạng chiều, tức là, một nhóm rời rạc của. 1 Chúng tôi lưu ý rằng ý tưởng trực quan này là toán học unprecise từ K có cùng một mật độ của Q trong R. Cuối cùng, một lý tưởng có thể được xem như là một sublattice của; tương tự như vậy, một lý tưởng của vòng các số nguyên được ánh xạ bởi nhúng kinh điển vào một sublattice của mạng lưới sản xuất bởi. Sự quan tâm đến những Lưới nằm trong thực tế rằng họ thể hiện một sự đa dạng mà có thể được kiểm soát dễ dàng bằng đúng cách chọn trường số đại số . Một kết quả quan trọng trong [4] cho thấy rằng nó có thể thiết kế các chòm sao mạng với đa dạng khác nhau, giữa và theo số rễ thực và phức tạp của các đa thức tối thiểu của trường số. Đặc biệt, nó được chứng minh. Sau đó nó được hiển thị mà chỉ cho, có liên quan đến các tính chất của lĩnh vực cụ thể. IV. CONVERTING THE fading Rayleigh CHANNEL INTO A CHANNEL Gaussian Trong phần này, chúng tôi thấy rằng các chòm sao QAM đa chiều trở nên nhạy cảm với mờ dần khi sự đa dạng lớn. Điều này có nghĩa là xác suất lỗi điểm là cùng với hoặc mà không phai. Chúng tôi tập trung các bằng chứng về sự phân tích của các cặp xác suất lỗi điểm, đó là xác suất của các điểm nhận được để gần hơn đến, giả sử được truyền đi. Các máy dò chọn nếu, và các điều kiện lỗi xác suất cặp được cho bởi nơi là một biến ngẫu nhiên Gaussian và là một hằng số. Giá trị trung bình của là số không và phương sai của nó là. Câu điều kiện lỗi xác suất cặp có thể được viết như sau và chúng tôi có được Q (2) Chúng ta nhớ lại rằng đuôi hàm Gaussian được định nghĩa là các lỗi xác suất cặp thu được bằng cách lấy trung bình trên các fadings mà là hàm mật độ xác suất (pdf) của các hệ số mờ dần . Khoảng cách Hamming giữa và