Definition 7.18. For non-zero α in

Definition 7.18. For non-zero α in Z[i], set ϕ(α) = #(Z[i]/(α))×.
Example 7.19. When α = π is prime, every non-zero Gaussian integer modulo π is invertible,
so ϕ(π) = N(π) − 1. Notice the analogy to ϕ(p) = p − 1.
When we work with this ϕ-function on Z[i], we need to be careful when the argument
is in Z, because the Gaussian ϕ-function may not agree with the integral ϕ-function. For
instance in Z we have ϕ(3) = 2, but in Z[i] we have ϕ(3) = 8. That is, (Z/3)× has 2 elements
but (Z[i]/3)× has 8 elements. This might seem strange: didn’t Theorem 7.10 tell us that
congruences with a modulus in Z are the same in Z[i] as in Z? No. Theorem 7.10 was
about congruences in Z[i] among ordinary integers to an ordinary integer modulus, which
leaves out a lot of congruences among all the Gaussian integers to that ordinary integer
modulus. Perhaps we should write ϕZ[i]
to distinguish the Gaussian ϕ-function from the
usual ϕ-function (which is now ϕZ?), but nobody does this.
Euler’s congruence for Z[i] looks like its counterpart over Z, using the Gaussian ϕ-
function:
Theorem 7.20. If (α, µ) = 1 in Z[i], then α
ϕ(µ) ≡ 1 mod µ.
Proof. This is left as an exercise in translating the proof over Z into this new setting.
24 KEITH CONRAD
How do we compute ϕ(µ)? Let’s recall the ϕ-formulas in Z:
ϕ(p
k
) = p
k−1
(p − 1), ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) if (a, b) = 1.
With these formulas, ϕ(m) can be computed from the prime factorization of m. The
analogous formulas for the Gaussian ϕ-function use norms in certain places, but otherwise
are identical to the counterpart in Z:
ϕ(π
k
) = N(π)
k−1
(N(π) − 1), ϕ(αβ) = ϕ(α)ϕ(β) if (α, β) = 1.
Example 7.21. What is ϕ(3 + 4i)? The Gaussian prime factorization is 3 + 4i = (2 + i)
2
.
Therefore ϕ(3 + 4i) = N(2 + i)(N(2 + i) − 1) = 5 · 4 = 20.
Example 7.22. What is ϕ(5)? The Gaussian prime factorization is 5 = (1 + 2i)(1 − 2i),
where 1 + 2i and 1 − 2i are relatively prime. Therefore ϕ(5) = ϕ(1 + 2i)ϕ(1 − 2i) =
(N(1 + 2i) − 1)(N(1 − 2i) − 1) = 16.
8. Applications of Z[i] to the arithmetic of Z
We are ready to give applications of the arithmetic of Z[i] to properties of Z. All these
applications are connected with sums of two squares. It is precisely the formula
a
2 + b
2 = (a + bi)(a − bi),
where a sum of two squares is on the left and a (special type of) factorization in Z[i] is on
the right that explains why Z[i] is relevant to questions about sums of two squares in Z.
Our applications will address the following issues:
• a prime number that is a sum of two squares is so in essentially just one way,
• classification of (primitive) Pythagorean triples,
• classification of (primitive) solutions to a
2 + b
2 = c
3
.
• the only integer solution to y
2 = x
3 − 1 is (x, y) = (1, 0),
• systematically finding integers which are sums of two squares in more than one way.
Theorem 8.1. If a prime number p is a sum of two squares then it is so in essentially just
one way: writing p = a
2 + b
2
, the integers a and b are unique up to order and sign. (In
particular, the squares a
2 and b
2 are unique up to order.)
Notice the theorem says nothing explicitly about Z[i]. It is a theorem about Z alone. We
will find it very useful to use Z[i] in the proof, however.
Proof. Let p = a
2 + b
2
, with a, b ∈ Z. Then, in Z[i], p factors as
p = (a + bi)(a − bi).
Since a + bi and a − bi both have norm p, which is prime in Z, they are prime in Z[i]
(Theorem 6.3). If there is a second representation p = c
2 + d
2
, then
p = (c + di)(c − di),
and c ± di are prime in Z[i]. By unique factorization in Z[i], we must have
a + bi = u(c + di) or a + bi = u(c − di)
for some unit u. The only difference between c + di and c − di is the sign of the coefficient
of i, and we are aiming to show that a and b are determined up to order and sign, so there
is no harm in treating only the case
a + bi = u(c + di).
THE GAUSSIAN INTEGERS 25
If u = 1, then c = a and d = b. If u = −1, then c = −a and d = −b. If u = i, then c = b
and d = −a. If u = −i, then c = −b and d = a. Thus c and d equal a and b up to order
and sign.
Theorem 8.1 is not saying that any integer which is a sum of two squares has only one
representation in that form. It is only referring to primes which are sums of two squares.
Two non-primes which are a sum of two squares in more than one way are 50 = 52 + 52 =
1
2 + 72 and 65 = 12 + 82 = 42 + 72
. (We will find more examples at the end of this section.)
Some primes which can be written as sums of two squares (necessarily uniquely) are

Kết quả (Việt) 1:

Định nghĩa 7,18. Cho không α trong Z [i], thiết lập ϕ(α) = #(Z[i]/(α)) ×.Ví dụ 7,19. Khi α = π là số nguyên tố, tất cả số nguyên Gauss-zero modulo π là khả nghịch,Vì vậy ϕ(π) = N(π) − 1. Thông báo tương tự cho ϕ(p) = p − 1.Khi chúng tôi làm việc với chức năng này ϕ Z [i], chúng ta cần phải cẩn thận khi các đối sốlà Z, vì ϕ Gaussian chức năng có thể không đồng ý với ϕ chức năng tích phân. ChoVí dụ trong Z, chúng ta có ϕ(3) = 2, nhưng trong Z [i], chúng ta có ϕ(3) = 8. Đó là, × (Z/3) có 2 yếu tốnhưng (Z[i]/3) × 8 yếu tố. Điều này có vẻ lạ: không định lý 7,10 cho chúng tôi biết rằnghình với một modul trong Z là như nhau trong Z [i] như trong Z? Không. Định lý 7,10 làvề hình trong Z [i] trong số các số nguyên bình thường để một mô đun bình thường số nguyên, màrời ra rất nhiều hình trong số tất cả các số nguyên Gauss là số nguyên bình thườngMô đun. Có lẽ chúng ta nên viết ϕZ [i]để phân biệt với Gaussian chức năng ϕ từ cácthông thường ϕ-chức năng (nay là ϕZ?), nhưng không ai.Euler congruence cho Z [i] trông giống như các đối tác trên Z, bằng cách sử dụng Gaussian ϕ-chức năng:Định lý 7,20. Nếu (α, µ) = 1 trong Z [i], sau đó αΦ(µ) ≡ 1 mod µ.Bằng chứng. Điều này để lại như là một tập thể dục trong dịch chứng minh trên Z vào thiết đặt mới này. 24 KEITH CONRADLàm thế nào để chúng tôi có thể tính toán ϕ(µ)? Hãy nhớ các công thức ϕ ở Z:Φ (pk) = pk−1(p − 1), ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) nếu (a, b) = 1.Với các công thức này, ϕ(m) có thể được tính từ factorization m., tố cácCác công thức tương tự cho ϕ Gaussian chức năng sử dụng chỉ tiêu ở những nơi nhất định, nhưng nếu khônggiống với đối tác trong Z:Φ (Πk) = N(Π)k−1(N(π) − 1), ϕ(αβ) = ϕ(α)ϕ(β) nếu (α, β) = 1.Ví dụ 7.21. Φ là gì (3 + 4i)? Factorization nguyên tố Gauss là 3 + 4i = (2 + i)2.Do đó ϕ (3 + 4i) = N(2 + i) (N(2 + i) − 1) = 5 · 4 = 20.Ví dụ 7,22. Φ(5) là gì? Factorization nguyên tố Gauss là 5 = (1 + 2i) (1 − 2i),trường hợp 1 + 2i và 1 − 2i tương đối nguyên tố. Do đó ϕ(5) = ϕ (1 + 2i) ϕ (1 − 2i) =(N (1 + 2i) − 1) (N (1 − 2i) − 1) = 16.8. ứng dụng của Z [i] để cấp số ZChúng tôi đã sẵn sàng để cung cấp cho các ứng dụng của số học của Z [i] với thuộc tính Z. Tất cả cácCác ứng dụng đang kết nối với tổng của hai ô vuông. Nó là chính xác công thứcmột2 + b2 = (a + bi) (một − bi),nơi tổng của hai ô vuông bên trái và một factorization (loại đặc biệt) trong Z [i] là trênphải giải thích lý do tại sao Z [i] là có liên quan đến câu hỏi về tổng của hai ô vuông trong Z.Các ứng dụng của chúng tôi sẽ giải quyết các vấn đề sau:• một số nguyên tố là một tổng của hai ô vuông là như vậy thực chất chỉ là một cách,• phân loại của Pytago (nguyên thủy) ba,• phân loại của các giải pháp (nguyên thủy) cho một2 + b2 = c3.• giải pháp duy nhất nguyên y2 = x3 − 1 là (x, y) = (1, 0),• Hệ thống tìm kiếm nguyên là tổng của hai ô vuông trong nhiều hơn một cách.Định lý 8.1. Một số nguyên tố p là một tổng của hai ô vuông thì đó là vì vậy, trong thực chất chỉmột chiều: viết p = một2 + b2, các số nguyên bản và b là độc đáo đến đặt hàng và các dấu hiệu. (Trongđặc biệt, các ô vuông một2 và b2 là duy nhất đến đơn đặt hàng.)Thông báo định lý nói không có gì rõ ràng về Z [i]. Nó là một định lý về Z một mình. Chúng tôisẽ tìm thấy nó rất hữu ích để sử dụng Z [i] trong chứng minh, Tuy nhiên.Bằng chứng. Cho p = một2 + b2, với a, b ∈ Z. Sau đó, ở Z [i], p các yếu tố nhưp = (a + bi)(a − bi).Kể từ khi một + bi và − bi có chuẩn p là số nguyên tố trong Z, họ là thủ tướng chính phủ trong Z [i](Định lý 6.3). Nếu không có một đại diện thứ hai p = c2 + d2, sau đóp = (c + di) (c − di),và c ± di là thủ tướng chính phủ trong Z [i]. By duy nhất factorization trong Z [i], chúng ta phải cóa + bi = u (c + di) hoặc a + bi = u (c − di)Đối với một số đơn vị u. Sự khác biệt duy nhất giữa c + di và di c − là dấu hiệu của các hệ sốcủa tôi, và chúng tôi đang hướng tới để cho thấy rằng một và b được xác định lên đến đặt hàng và ký hiệu, do đó, cócó hại trong việc điều trị chỉ có trường hợpa + bi = u (c + di).CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS 25Nếu bạn = 1, thì c = a và d = b. Nếu bạn = −1, thì c = −a và d = −b. Nếu bạn = tôi, thì c = bd = −a. Nếu bạn = −i, thì c = −b và d = một. Vì vậy, c và d bằng một và b đến đơn đặt hàngvà đăng nhập.Định lý 8.1 không nói rằng bất kỳ số nguyên là một tổng của hai ô vuông có chỉ có mộtđại diện trong hình thức đó. Nó chỉ đề cập đến số nguyên tố đó là khoản tiền của hai hình vuông.Hai không-nguyên tố đó là một tổng của hai ô vuông trong nhiều hơn một cách là 50 = 52 + 52 =12 + 72 và 65 = 12 + 82 = 42 + 72. (Chúng tôi sẽ tìm thấy các ví dụ khác tại cuối phần này).Một số nguyên tố mà có thể được viết dưới dạng tổng của hai ô vuông (nhất thiết duy nhất) là

Kết quả (Việt) 2:

Định nghĩa 7.18. Đối với phi zero-α trong Z [i], thiết lập φ (α) = # (Z [i] / (α)) x.
Ví dụ 7.19. Khi α = π là số nguyên tố, mỗi khác không Gaussian số nguyên modulo π là khả nghịch,
nên φ (π) = N (π) - 1. Thông báo sự tương tự với φ (p) = p - 1.
Khi chúng tôi làm việc với điều này φ -function trên Z [i], chúng ta cần phải cẩn thận khi đối số
là trong Z, vì Gaussian φ chức năng có thể không đồng ý với việc tách rời φ chức năng. Ví
dụ trong Z chúng ta có φ (3) = 2, nhưng trong Z [i] chúng ta có φ (3) = 8. Đó là, (Z / 3) x có 2 yếu tố
nhưng (Z [i] / 3) × có 8 yếu tố. Điều này có vẻ kỳ lạ: không định lý 7.10 cho chúng tôi biết rằng
các tương đẳng với một mô đun trong Z là như nhau trong Z [i] như trong Z? Số Định lý 7.10 là
về đồng dư trong Z [i] trong số nguyên bình thường với một mô đun số nguyên bình thường, mà
lá ra rất nhiều các tương đẳng giữa tất cả các số nguyên Gaussian với số nguyên bình thường
module. Có lẽ chúng ta nên viết φZ [i]
để phân biệt các Gaussian φ chức năng từ
thông thường φ chức năng (mà bây giờ là φZ?), Nhưng không ai thực hiện điều này.
Congruence Euler cho Z [i] trông giống như đối tác của mình qua Z, sử dụng φ- Gaussian
chức năng:
Định lý 7.20. Nếu (α, μ) = 1 trong Z [i], sau đó α
φ (μ) ≡ 1 mod μ.
Proof. Điều này là trái như một bài tập trong việc dịch các bằng chứng trên Z vào môi trường mới này.
24 KEITH CONRAD
Làm thế nào để chúng ta tính φ (μ)? Hãy nhớ lại những φ-công thức trong Z:
φ (p
k
) = p
k-1
(p - 1), φ (ab) = φ (a) φ (b) nếu (a, b) = 1.
Với các công thức , φ (m) có thể được tính toán từ các nguyên tố của m. Các
công thức tương tự cho Gaussian φ chức năng định mức sử dụng ở những nơi nhất định, nhưng nếu không
được trùng với các đối tác trong Z:
φ (π
k
) = N (π)
k-1
(N (π) - 1), φ (αβ ) = φ (α) φ (β) nếu (α, β) = 1.
Ví dụ 7.21. Φ (3 + 4i) là gì? Các nguyên tố Gaussian là 3 + 4i = (2 + i)
2
.
Do đó φ (3 + 4i) = N (2 + i) (N (2 + i) - 1) = 5 · 4 = 20.
Ví dụ 7.22. Φ là gì (5)? Các nguyên tố Gaussian là 5 = (1 + 2i) (1 - 2i),
trong đó 1 + 2i và 1 - 2i là tương đối nguyên tố. Do đó φ (5) = φ (1 + 2i) φ (1 - 2i) =
(N (1 + 2i) - 1) (N (1 - 2i) - 1) = 16.
8. Các ứng dụng của Z [i] đến số học của Z
Chúng tôi đã sẵn sàng để cung cấp cho các ứng dụng của số học của Z [i] đến tài sản của Z. Tất cả các
ứng dụng được kết nối với một khoản tiền của hai hình vuông. Đó chính là công thức
một
2 + b
2 = (a + bi) (a - bi),
nơi một tổng của hai hình vuông nằm bên trái và một (loại đặc biệt của) nhân tử trong Z [i] là trên
bên phải đó giải thích tại sao Z [i] là có liên quan đến câu hỏi về khoản tiền của hai hình vuông trong Z.
ứng dụng của chúng tôi sẽ giải quyết các vấn đề sau:
• một số nguyên tố đó là một tổng của hai hình vuông là như vậy trong thực chất chỉ là một cách,
• phân loại (nguyên thủy ) Pythagore gấp ba
• phân loại () giải pháp thô sơ để một
2 + b
2 = c
3
.
• giải pháp số nguyên chỉ để y
2 = x
3-1 là (x, y) = (1, 0),
• tìm cách có hệ thống số nguyên đó là khoản hai hình vuông trong nhiều cách.
Định lý 8.1. Nếu một số p nguyên tố là một tổng của hai hình vuông thì nó là như vậy trong thực chất chỉ
có một cách: viết p = a
2 + b
2
, các số nguyên a và b là duy nhất đến đặt hàng và ký tên. (Trong
đó, các hình vuông
2 và b
2 là duy nhất đến đặt hàng.)
Chú ý định lý nói không có gì rõ ràng về Z [i]. Nó là một định lý về một mình Z. Chúng tôi
sẽ tìm thấy nó rất hữu ích để sử dụng Z [i] trong các bằng chứng, tuy nhiên.
Proof. Cho p = a
2 + b
2
, với a, b ∈ Z. Sau đó, trong Z [i], các yếu tố p là
p = (a + bi) (a - bi).
Vì a + bi và một - hai cả hai đều có định mức p, mà là số nguyên tố trong Z, họ là những nguyên tố trong Z [i]
(Định lý 6.3). Nếu có một đại diện p thứ hai = c
2 + d
2
, sau đó
p = (c + di) (c - di),
và c ± di là nguyên tố trong Z [i]. Bằng cách nhân tử duy nhất trong Z [i], chúng ta phải có
a + bi = u (c + di) hoặc a + bi = u (c - di)
cho một số đơn vị u. Sự khác biệt duy nhất giữa c + di và c - di là dấu hiệu của hệ số
của tôi, và chúng tôi đang hướng tới để chứng minh rằng a và b được xác định đến đặt hàng và đăng ký, do đó
không có hại trong việc điều trị chỉ là trường hợp
a + bi = u (c + di).
gaussian số nguyên 25
Nếu u = 1, sau đó c = a và d = b. Nếu u = -1, sau đó c = -a và d = -b. Nếu u = i, sau đó c = b
và d = -a. Nếu u = -i, sau đó c = -b và d = a. Do đó c và d một bình đẳng và b lên rồi ra lệnh
và ký tên.
Định lý 8.1 không nói rằng bất kỳ số nguyên mà là một tổng của hai hình vuông chỉ có một
đại diện trong các hình thức đó. Nó chỉ là đề cập đến số nguyên tố đó là khoản hai hình vuông.
Hai phi nguyên tố đó là một tổng của hai hình vuông trong hơn một cách là 50 = 52 + 52 =
1
2 + 72 và 65 = 12 + 82 = 42 + 72
. (Chúng tôi sẽ tìm thấy nhiều ví dụ ở phần cuối của phần này.)
Một số nguyên tố mà có thể được viết như là một khoản tiền của hai hình vuông (nhất thiết duy nhất) là