The structural dynamics in aeroelas

The structural dynamics in aeroelasticity calculations are often based on beam
theory. The standard beam theory is linear and known as the Euler-Bernoulli
beam theory. The relationship between the applied load per unit length, q, and
the deflection, h, is described with the following equation, where x is the direction
of the beam:
ρBA
∂h2
∂
2t
+
d
2
dx2

EI d
2h
dx2

= q(x, t) [N/m] (3.1)
Another common method is the Timoshenko beam theory [22]. This model takes
into account shear deformation and rotational inertia effects. The governing dynamic
equations using in beam model are:
ρBA
∂h2
∂2t =
d
dx
κAG
dh
dx − ϕ

+ q(x, t) [N/m]
J
d
2ϕ
dx2 =
d
dx 
EI dϕ
dx 
+ κAG
dh
dx − ϕ


[−]
(3.2)
In both equations, E is the Young’s elastic modulus, x is the direction outward on
the beam, and I is the moment of inertia of the beam. ϕ is the slope of the beam
due to bending, A is the area of the beam and G the shear modulus of the beam. κ
is the Timoshenko shear coefficient, which varies with the geometry of the beam. If
the shear modulus of the beam approaches infinity and rotational inertia effects are
neglected, the Timoshenko beam theory converges towards Euler-Bernoulli beam
theory.
13
To calculate how the structures react to external forces, the equations of motion of
the structure has to be known. To derive the equations of motion for a structure,
it is possible to use Lagrange’s equation:
d
dt 
∂L
∂x˙j

−
∂L
∂xj
= Qj [N] (3.3)
where L is the Lagrangian operator: L = T − V. T is the kinetic energy of the
system and V is the potential energy. xj is the independent coordinates and Qj
are the generalized forces.
After a examination of the system and forces at hand, and possibly Lagrange
method, the equations of motion can then be found:
M¨x + C ˙x + Kx = Q [N] (3.4)
where M is the mass matrix, C is the damping matrix, K is the striffness matrix
and Q is the external forces. There are several ways to write out the equations of
motion for a wing. In Fung [5] the equations of motion for a cantilever wing are
described, using Euler-Bernoulli beam theory and two DoF, as:
∂
2
∂x2

EI ∂
2h
∂x2

+ m∂
2h
∂t2 + mcaCG
∂
2
θ
∂t2 + L = 0 [N]
∂
∂x
GJ ∂θ
∂x

− Iα
∂
2
θ
∂t2 + mcaCG
∂
2h
∂t2 + M = 0 [Nm]
(3.5)
L is the aerodynamic lift and M the aerodynamic moment. The equations of
motion can also be written using stiffness and damping coefficients. The structure
is then modelled as a spring-mass-damper system, with the springs and dampers as
shown in figure 3.4. It is also possible to model the edgewise motion with a spring
and a damper.
W0
α
CG
L
AC
kf
kt
df
dt
Figure 3.4: A blade element modeled with springs and dampers in flapwise and
torsional direction
14
When studying aeroelastic instability on a blade it may be useful to express the
stiffness as function of the uncoupled modal frequencies, ω. The subscript f denotes
flapwise and t denotes torsional direction.
kf = ω
2
fm, kt = ω
2
t m [N/m] (3.6)
For a blade section of a wind turbine with only 2 DoFs, flapwise and torsional,
where structural damping is neglected, the linear equations of motion can, using
this, be written as [5]:
mh¨ − mcaCG ¨θ + kfh = L [N]
−mcaCGh¨ + mc2
(r
2
CG + a
2
CG)
¨θ + ktθ = caCGL [Nm]
(3.7)
where rCG =
I
m · c
is the radius of gyration normalized whit the chord length c,
and kf and kt is the flapwise and torsional stiffness respectively.
To better describe the motions of a blade section the edgewise DoF has to be
considered, in addition to the flapwise and torsional DoFs. A lower order model
of a blade section with both spring and dampers using all 3 DoFs can be found in
Kallesøe [23]. The method is an extension from Hodges-Dowell’s partial differential
equation for helicopter wings.
The damping of the aeroelastic system is mainly due to the aerodynamic forces. But
also the structure dampens oscillations. The structural damping of the wind turbine
blade was studied in the DAMPBLADE project [12], where tools for modelling the
damping was developed, as well as new types of more damped composite blades.
Some new approaches for increased damping of composite blades which were investigated
in the DAMPBLADE project was [12]:
• Using composites of high-damping polymer matrices.
• Tailoring ply orientation, fibre volume fraction and stacking sequence for
optimal damping capacity.
• Using sandwich composite laminates with shearly damped polymer foam

Kết quả (Việt) 1:

Các động thái cấu trúc trong aeroelasticity tính toán thường dựa vào chùmlý thuyết. Lý thuyết tiêu chuẩn chùm là tuyến tính và được gọi là Euler-Bernoullilý thuyết chùm. Mối quan hệ giữa tải ứng dụng cho một đơn vị chiều dài, q, vàđộ lệch, h, được mô tả với phương trình sau đây, nơi x là sự chỉ đạocủa các chùm tia:ΡBA∂H2∂2T+d2DX2EI d2hDX2= q (x, t) [N/m] (3.1)Một phương pháp phổ biến là lý thuyết chùm Timoshenko [22]. Mô hình này mấtvào tài khoản shear biến dạng và các hiệu ứng quán tính quay. Năng động quản lýphương trình được sử dụng trong chùm mô hình là:ΡBA∂H2∂2T =dDXΚAGDHDX − ϕ+ q (x, t) [N/m]Jd2ΦDX2 =dDXEI dϕDX+ ΚAGDHDX − ϕ
[−](3.2)Trong cả hai phương trình, E là mô đun đàn hồi của trẻ, x là hướng ra nước ngoài trênCác chùm tia, và tôi là moment quán tính của các chùm tia. Φ là độ dốc của các chùm tiado uốn, A là khu vực của chùm tia và G mô đun cắt của các chùm tia. Κlà hệ số cắt Timoshenko, với các hình học của các chùm tia khác nhau. NếuMô đun cắt của các chùm tia phương pháp tiếp cận vô cùng và hiệu ứng quán tính quaybỏ qua, lý thuyết chùm Timoshenko hội tụ về phía Euler-Bernoulli chùmlý thuyết.13Để tính toán như thế nào các cấu trúc phản ứng với bên ngoài lực lượng, phương trình của chuyển động củacấu trúc đã được biết đến. Để lấy được các phương trình của chuyển động cho một cấu trúc,nó có thể sử dụng Lagrange của phương trình:dDT∂L∂x˙j−∂L∂XJ= Qj [N] (3,3)nơi L là các nhà điều hành Lagrange: L = T − V. T là năng lượng động học của cácHệ thống và V là năng lượng tiềm năng. XJ là độc lập tọa độ và Qjlà các lực lượng tổng quát.Sau khi một kiểm tra của các hệ thống và lực lượng ở bàn tay, và có thể cả Lagrangephương pháp, các phương trình của chuyển động sau đó có thể được tìm thấy:M¨x C ˙x ++ điện = Q [N] (3,4)nơi M là khối lượng ma trận, C là ma trận damping, K là ma trận striffnessvà Q là các lực lượng bên ngoài. Có rất nhiều cách để viết ra phương trình củachuyển động cho một đôi cánh. Ở Fung [5] các phương trình của chuyển động cho một cánh cần cẩu trụ làMô tả, sử dụng Euler-Bernoulli chùm lý thuyết và hai DoF, như:∂2∂X2EI ∂2h∂X2+ m∂2h∂T2 + mcaCG∂2I∂T2 + L = 0 [N]∂∂xGJ ∂Θ∂x− IΑ∂2I∂T2 + mcaCG∂2h∂T2 + M = 0 [Nm](3.5)L là Thang máy khí động học và M này khí động học. Phương trình củachuyển động này cũng có thể được viết bằng cách sử dụng độ cứng và giảm hệ số. Cấu trúcsau đó theo mô hình hệ thống mùa xuân khối lượng Van điều tiết, với các lò xo và dampers nhưHiển thị trong hình 3.4. Nó cũng có thể làm người mẫu các edgewise chuyển động với một mùa xuânvà một van điều tiết.W0ΑCGLACKFKTDFDTCon số 3,4: Một yếu tố lưỡi làm người mẫu với lò xo và dampers trong flapwise vàvề hướng14Khi nghiên cứu sự mất ổn định aeroelastic vào một lưỡi nó có thể hữu ích để thể hiện cácđộ cứng là chức năng của tần số phương thức uncoupled, ω. Subscript f là bắtflapwise và t là bắt các hướng.KF = ω2FM, kt = ω2t m [N/m] (3,6)Cho một phần lưỡi của một tuốc bin gió với chỉ 2 DoFs, flapwise và các,trong trường hợp cấu trúc dao bỏ qua, các phương trình tuyến tính của chuyển động có thể, bằng cách sử dụngĐiều này, được viết dưới dạng [5]:MH¨ − mcaCG ¨θ + kfh = L [N]−mcaCGh¨ + mc2(r2CG + một2CG)¨Θ + ktθ = caCGL [Nm](3,7)nơi rCG =Tôim · clà bán kính của gyration bình thường whit so với chiều dài c,và kf và kt là flapwise và các độ cứng tương ứng.Để tốt hơn mô tả chuyển động của một lưỡi phần các edgewise sở tài chính đãxem xét, ngoài flapwise và các DoFs. Một mô hình thứ tự thấp hơncủa một lưỡi phần với mùa xuân và chấn làm bằng cách sử dụng tất cả 3 DoFs có thể được tìm thấy trongKallesøe [23]. Các phương pháp là một phần mở rộng từ Hodges-Dowell một phần vi phânphương trình cho máy bay trực thăng cánh.Dao của hệ thống aeroelastic là chủ yếu là do các lực lượng khí động học. Nhưngcũng cấu trúc dampens dao động. Dao cấu trúc của các tua bin giólưỡi được nghiên cứu trong dự án DAMPBLADE [12], nơi mà các công cụ cho mô hình cácdao được phát triển, cũng như mới loại thêm damped composite lưỡi.Một số phương pháp tiếp cận mới để tăng dao lưỡi hỗn hợp mà đã được điều tratrong DAMPBLADE dự án là [12]:• Sử dụng vật liệu composite cao-dao polymer ma trận.• May lớp định hướng, phần nhỏ khối lượng chất xơ và các thứ tự xếp chồng chocông suất damping tối ưu.• Sử dụng hỗn hợp bánh sandwich laminates shearly năm polymer bọt

Kết quả (Việt) 2:

Các động thái cơ cấu trong các tính toán aeroelasticity thường dựa trên chùm
thuyết. Các lý thuyết dầm tiêu chuẩn là tuyến tính và được gọi là Euler-Bernoulli
lý thuyết dầm. Mối quan hệ giữa tải áp dụng cho mỗi đơn vị chiều dài, q, và
sự lệch, h, được mô tả bằng phương trình sau đây, trong đó x là hướng
của chùm tia:
ρBA
∂h2
∂
2t
+
d
2
DX2
?
EI d
2h
DX2
?
= q (x, t) [N / m] (3.1)
Một phương pháp phổ biến là lý thuyết Timoshenko chùm [22]. Mô hình này có
vào tài khoản cắt biến dạng và hiệu ứng quán tính quay. Các động quản
phương trình bằng cách sử dụng trong mô hình chùm là:
ρBA
∂h2
∂2t =
d
dx
κAG
dh
dx - φ
? + Q (x, t) [N / m]
J
d
2φ
DX2 =
d
? dx
EI dφ
? dx
+ κAG
dh
dx - φ
?
[-]
(3.2)
Trong cả hai phương trình, E là mô đun đàn hồi của Young, x là hướng ra bên ngoài trên
dầm, và I là momen quán tính của dầm. φ là độ dốc của các chùm tia
do uốn, A là diện tích của chùm và G modulus cắt của dầm. κ
là hệ số trượt Timoshenko, mà thay đổi với các hình học của dầm. Nếu
các mô đun kháng cắt của dầm tiến tới vô cùng và các hiệu ứng quán tính quay được
bỏ qua, cái lý thuyết dầm Timoshenko hội tụ về phía chùm Euler-Bernoulli
lý thuyết.
13
Để tính toán như thế nào các cấu trúc phản ứng với các lực lượng bên ngoài, các phương trình chuyển động của
cơ cấu này phải được biết đến . Để lấy được các phương trình chuyển động cho một cấu trúc,
nó có thể sử dụng phương trình Lagrange:
d
dt?
∂L
∂x˙j
?
-
∂L
∂xj
= Qj [N] (3.3)
Trong đó L là toán tử Lagrange: L = T - V. T là động năng của các
hệ thống và V là năng lượng tiềm năng. xj là các tọa độ độc lập và Qj
. là lực lượng tổng quát
Sau khi kiểm tra các hệ thống và các lực lượng trong tay, và có thể Lagrange
phương pháp, các phương trình của chuyển động có thể sau đó được tìm thấy:
mx + C x + Kx = Q [N ] (3.4)
trong đó M là ma trận khối lượng, C là ma trận giảm xóc, K là ma trận striffness
và Q là các lực lượng bên ngoài. Có một số cách để viết ra các phương trình của
chuyển động cho một cánh. Trong Fung [5] các phương trình chuyển động cho một cánh hẫng được
mô tả, sử dụng lý thuyết dầm Euler-Bernoulli và hai Sở Tài chính, như:
∂
2
∂x2
?
EI ∂
2h
∂x2
?
+ m∂
2h
∂t2 + mcaCG
∂
2
θ
∂t2 + L = 0 [N]
∂
∂x
GJ ∂θ
∂x?
- Iα
∂
2
θ
∂t2 + mcaCG
∂
2h
∂t2 + M = 0 [Nm]
(3.5)
L là nâng khí động học và khí động học M thời điểm. Các phương trình của
chuyển động cũng có thể được viết bằng cách sử dụng độ cứng và giảm xóc hệ số. Các cấu trúc
sau đó được mô phỏng như một hệ thống lò xo có khối lượng-damper, với lò xo và giảm chấn như
thể hiện trong hình 3.4. Nó cũng có thể để mô hình chuyển động từ phía bên cạnh có một mùa xuân
và một van điều tiết.
W0
α
CG
L
AC
kf
kt
df
dt
Hình 3.4: Một yếu tố lưỡi mô hình với lò xo và giảm chấn trong flapwise và
xoắn hướng
14
Khi nghiên cứu bất ổn aeroelastic trên một phiến nó có thể hữu ích để thể hiện
độ cứng như chức năng của các tần số phương thức đồng đều, ω. Subscript f biểu
flapwise và t là hướng xoắn.
​​kf = ω
2
fm, kt = ω
2
tm [N / m] (3.6)
Đối với một phần lưỡi của một tuabin gió với chỉ 2 DoFs, flapwise và xoắn,
nơi damping cấu trúc được bỏ qua, cái phương trình tuyến tính của chuyển động có thể, sử dụng
này, được viết là [5]:
MH - mcaCG q + KFH = L [N]
-mcaCGh¨ + mc2
(r
2
CG + a
2
CG)
q + ktθ = caCGL [Nm]
(3.7)
, nơi RCG =
I
m · c
là bán kính của hồi chuyển bình thường whit hợp âm dài c,
và kf và kt là flapwise và độ cứng xoắn tương ứng.
Để mô tả tốt hơn các chuyển động của một phần lưỡi của từ phía bên cạnh Sở Tài chính phải được
xem xét, ngoài các flapwise và DoFs xoắn. Một mô hình bậc thấp
của một phần lưỡi với cả mùa xuân và bộ giảm chấn bằng cách sử dụng tất cả 3 DoFs có thể được tìm thấy trong
Kallesøe [23]. Phương pháp này là một phần mở rộng từ phân từng phần Hodges-Dowell của
phương trình cho cánh máy bay trực thăng.
Các damping của hệ thống aeroelastic chủ yếu là do các lực khí động học. Nhưng
cũng cấu trúc làm suy giảm dao động. Các damping cấu trúc của tuabin gió
lưỡi đã được nghiên cứu trong dự án DAMPBLADE [12], nơi các công cụ để mô hình hóa các
giảm xóc đã được phát triển, cũng như các loại mới của lưỡi hỗn hãm hơn.
Một số phương pháp tiếp cận mới để tăng độ hãm lưỡi composite đã được nghiên cứu
trong các dự án DAMPBLADE là [12]:
. • Sử dụng vật liệu tổng hợp của ma trận polymer cao giảm xóc
• May ply định hướng, khối lượng chất xơ phần và xếp thứ tự cho
tối ưu giảm xóc năng lực.
• Sử dụng cán mỏng bánh sandwich hợp với bọt polymer shearly damped