3.2.3 Let T be a tree with max degr

3.2.3 Let T be a tree with max degree ∆. Prove that T has at least ∆
leaves.
Use induction on the number of vertices, with the max degree equal to
∆. The initial case will be a tree T0 with ∆ + 1 vertices. It has a vertex v
with adjacent vertices w1, . . ., w∆. Since T0 is a tree, the only edges are vwn,
and each wn is a leaf.
Assume the result is true for trees with fewer than N vertices. Let T
be a tree with max degree equal to ∆ and N > ∆ + 1 vertices. Suppose
deg(v) = ∆. Let w be a vertex chosen to maximize d(v, w). Then w is a leaf
which is not adjacent to v. By the induction hypothesis, T − w has at least
∆ leaves, and adding back w does not decrease the number of leaves.
3.2.5 Prove that a graph G is a tree if and only if for every vertex pair
u, v, there is exactly one path from u to v.
Suppose G is a tree. Pick two distinct vertices u1 and u2. Since T is
connected there is path from u1 to u2. Suppose there are two different paths,
u1 = v1, v2, . . ., vM = u2, u1 = w1, w2, . . ., wN = u2.

Kết quả (Việt) 1:

3.2.3 giả T là một cây với tối đa mức độ ∆. chứng minh T có ít ∆lá.Sử dụng cảm ứng trên số đỉnh, với mức độ tối đa bằng∆. trường hợp ban đầu sẽ là một cây T0 với ∆ + 1 đỉnh. Đô thị này có một đỉnh vvới đỉnh liền kề w1,..., w∆. Kể từ khi T0 là một cây, cạnh duy nhất là vwn,và mỗi wn là một lá.Giả sử kết quả là đúng đối với cây với ít hơn so với N đỉnh. Hãy để Tđược một cây với tối đa mức độ tương đương với ∆ và N > ∆ + 1 đỉnh. Giả sửdeg(v) = ∆. Hãy để w là một đỉnh được lựa chọn để tối đa hóa d (v, w). Sau đó, w là một láđó không phải là tiếp giáp với v. Bởi giả thuyết cảm ứng, T − w có tối thiểu∆ lá, và thêm lại w không giảm số lượng lá.3.2.5 chứng minh rằng một đồ thị G là một cây nếu và chỉ nếu cho mỗi cặp đỉnhu, v, đó là đúng một đường đi từ bạn để v.Giả sử G là một cây. Chọn hai đỉnh khác biệt u1 và u2. Kể từ khi Tkết nối đó là đường dẫn từ u1 đến u2. Giả sử có hai đường dẫn khác nhau,U1 = v1, v2,..., vM = u2, u1 = w1, w2,..., wN = u2.

Kết quả (Việt) 2:

3.2.3 T là một cây với max Δ độ. Chứng minh rằng có ít nhất T Δ
lá.
Sử dụng cảm ứng trên số đỉnh, với mức độ tối đa bằng với
Δ. Các trường hợp đầu tiên sẽ là một cây T0 với Δ + 1 đỉnh. Nó có một đỉnh v
với đỉnh liền kề w1,. . ., WΔ. Kể từ T0 là một cây, các cạnh chỉ là vwn,
và mỗi wn là một chiếc lá.
Giả sử kết quả là đúng cho cây có ít hơn N đỉnh. Cho T
là một cây với tối đa mức độ tương đương với Δ và N> Δ + 1 đỉnh. Giả sử
deg (v) = Δ. Hãy w là một đỉnh được chọn để tối đa hóa d (v, w). Sau đó w là một chiếc lá
đó là không liền kề với v By giả thuyết cảm ứng, T -. w có ít nhất
. Δ lá, và cộng lại w không làm giảm số lượng lá
3.2.5 Chứng minh rằng một đồ thị G là một cây nếu và chỉ nếu với mọi cặp đỉnh
u, v, có đúng là một đường đi từ u đến v.
Giả sử G là một cây. Chọn hai đỉnh khác biệt u1 và u2. Vì T là
kết nối có đường đi từ u1 để u2. Giả sử có hai con đường khác nhau,
u1 = v1, v2,. . ., VM = u2, u1 = w1, w2,. . ., WN = u2.