One can show that there exist disco

One can show that there exist discontinuous realvalued functions f such that
f(x + y) = f(x) + f(y) (5.1)
5.4. EXERCISES 45
for all x,y ∈ R. (The construction uses Zorn’s lemma, which is equivalent to the axiom of choice.) Prove that if f satisfies (5.1) and in addition f is Lebesgue measurable, then f is continuous.

Kết quả (Việt) 1:

Một có thể thấy rằng có tồn tại không liên tục realvalued hàm f sao chof (x + y) = f (x) + f(y) (5.1)5.4. BÀI TẬP 45Đối với tất cả x, y ∈ R. (xây dựng sử dụng bổ đề của Zorn, tương đương với tiên đề chọn.) Chứng minh rằng nếu f satisfies (5.1) và ngoài ra f Lebesgue đo được, sau đó f là liên tục.

Kết quả (Việt) 2:

Người ta có thể thấy rằng có tồn tại chức năng realvalued tục f mà
f (x + y) = f (x) + f (y) (5.1)
5.4. Bài tập 45
với mọi x, y ∈ R. (Việc xây dựng sử dụng Zorn của Bổ đề, đó là tương đương với các tiên đề của sự lựa chọn.) Chứng minh rằng nếu f fi satis es (5.1) và ngoài ra f là Lebesgue đo lường được, sau đó f là liên tục.

Kết quả (Việt) 3:

Một người có thể hiển thị realvalued tồn tại không liên tục của hàm F,(x + y) = f (X) + f (Y) (5.1)5.4.Tập 45Đối với mọi x, Y, R. (xây dựng dần phản bằng Zorn bổ đề, điều này tương đương với tiên đề chọn) chứng minh rằng, nếu F gặp fi es (5.1) ngoài ra, F là lường, tắc f là liên tục.