Lemma 6.1. For α 6= 0, any divisor

Lemma 6.1. For α 6= 0, any divisor of α whose norm is 1 or N(α) is a unit or is a unit
multiple of α.
12 KEITH CONRAD
Proof. If β|α and N(β) = 1, then β is ±1 or ±i. If β|α and N(β) = N(α), consider the
complementary divisor γ, where α = βγ. Taking norms of both sides and cancelling the
common value N(α), we see N(γ) = 1, so γ is ±1 or ±i. Therefore β has to be ±α or
±iα.
Lemma 6.1 is not saying the only Gaussian integers whose norm is N(α) are ±α and ±iα.
For instance, 1 + 8i and 4 + 7i both have norm 65 and neither is a unit multiple of the
other. What Lemma 6.1 is saying is that the only Gaussian integers which divide α and
have norm equal to N(α) are ±α and ±iα.
When N(α) > 1, there are always eight obvious factors of α: ±1, ±i, ±α, and ±iα. We
call these the trivial factors of α. They are analogous to the four trivial factors ±1 and ±n
of any integer n with |n| > 1. Any other factor of α is called non-trivial. By Lemma 6.1,
the non-trivial factors of α are the factors with norm strictly between 1 and N(α).
Definition 6.2. Let α be a Gaussian integer with N(α) > 1. We call α composite if it has
a non-trivial factor. If α only has trivial factors, we call α prime.
Writing α = βγ, the condition 1 < N(β) < N(α) is equivalent to: N(β) > 1 and
N(γ) > 1. We refer to any such factorization of α, into a product of Gaussian integers with
norm greater than 1, as a non-trivial factorization. Thus, a composite Gaussian integer is
one which admits a non-trivial factorization.

Kết quả (Việt) 1:

Bổ đề 6.1. Α 6 = 0, bất ước của α norm có là 1 hoặc N(α) là một đơn vị hoặc là một đơn vịbội số của α.12 KEITH CONRADBằng chứng. Nếu β|α và N(β) = 1, thì β là ±1 hoặc ±i. Nếu β|α và N(β) = N(α), hãy xem xét cácbổ sung ước γ, nơi α = βγ. Lấy chỉ tiêu của cả hai bên và hủy bỏ cácgiá trị thường gặp N(α), chúng ta thấy N(γ) = 1, do đó, γ ±1 hoặc ±i. Do đó β có thể ±α hoặc±iα.Bổ đề 6.1 không nói các số nguyên Gauss chỉ có chuẩn là N(α) là ±α và ±iα.Ví dụ, 1 + 8i và 4 + 7i đều có mức 65 và nó không phải là một đơn vị bội số của cáckhác. Bổ đề 6.1 nói gì đó là các số nguyên chỉ Gaussian chia α vàcó tiêu chuẩn tương đương với N(α) là ±α và ±iα.Khi N(α) > 1, luôn có tám yếu tố rõ ràng của α: ±1, ±i, ±α, và ±iα. Chúng tôigọi những yếu tố nhỏ của α. Họ là tương tự như bốn yếu tố nhỏ ±1 và ±ncủa bất kỳ số nguyên n với |n| > 1. Bất kỳ yếu tố nào khác của α được gọi là không nhỏ. Bởi bổ đề 6.1,Các yếu tố không nhỏ của α là những yếu tố với các tiêu chuẩn nghiêm ngặt từ 1 đến N(α).Định nghĩa 6.2. Để là một số nguyên Gauss với N(α) α > 1. Chúng tôi gọi α composite nếu nó cómột yếu tố không nhỏ. Nếu α chỉ có yếu tố nhỏ, chúng tôi gọi α thủ tướng chính phủ.Viết α = βγ, điều kiện 1 < N(β) < N(α) là tương đương với: N(β) > 1 vàN(γ) > 1. Chúng tôi đề cập đến bất kỳ factorization của α, thành một sản phẩm của các số nguyên Gauss vớichuẩn lớn hơn 1, như là một factorization không tầm thường. Vì vậy, một số nguyên Gauss composite làmột trong đó thừa nhận một factorization không tầm thường.

Kết quả (Việt) 2:

Bổ đề 6.1. Đối với alpha 6 = 0, bất kỳ ước của α có định mức là 1 hoặc N (α) là một đơn vị hoặc là một đơn vị
bội của α.
12 KEITH CONRAD
Proof. Nếu β | α và N (β) = 1, sau đó β là ± 1 hoặc ± i. Nếu β | α và N (β) = N (α), hãy xem xét các
γ ước bổ sung, trong đó α = βγ. Chăm chỉ tiêu của cả hai bên và hủy bỏ
giá trị chung N (α), chúng ta thấy N (γ) = 1, do đó γ là ± 1 hoặc ± i. Do đó β có phải là ± α hoặc
± iα.
Bổ đề 6.1 là không nói các số nguyên Gaussian chỉ có định mức là N (α) là ± α và ± iα.
Ví dụ, 1 + 8i và 4 + 7i cả hai đều có mức 65 và không phải là nhiều đơn vị của
khác. Gì bổ đề 6.1 được nói là các số nguyên Gaussian chỉ mà chia α và
có định mức bằng N (α) là ± α và ± iα.
Khi N (α)> 1, luôn có tám yếu tố rõ ràng của α: ± 1, ± i, ± α, và ± iα. Chúng tôi
gọi đó là các yếu tố tầm thường của α. Họ là tương tự với bốn yếu tố tầm thường ± 1 và ± n
của bất kỳ số nguyên n với | n | > 1. Bất kỳ yếu tố khác của α được gọi là không tầm thường. Bằng cách bổ đề 6.1,
những yếu tố không nhỏ của α là những yếu tố có mức nghiêm giữa 1 và N (α).
Định nghĩa 6.2. Hãy α là một số nguyên Gaussian với N (α)> 1. Chúng tôi kêu gọi hợp α nếu nó có
một yếu tố không nhỏ. Nếu α chỉ có yếu tố tầm thường, chúng ta gọi thủ α.
Viết α = βγ, điều kiện 1 <N (β) <N (α) là tương đương với: N (β)> 1 và
N (γ)> 1. Chúng tôi tham khảo cho bất kỳ nhân tử như vậy α, vào một sản phẩm của các số nguyên Gaussian với
hơn mức hơn 1, như một nhân tử không tầm thường. Do đó, một số nguyên Gaussian hỗn hợp là
một trong đó thừa nhận một nhân tử không tầm thường.