Models for Lubricated ContactsThe f

Models for Lubricated Contacts

The friction interfaces in most engineering applications are lubricated. Friction models have therefore been derived using hydrodynamics. Viscous friction is a simple example, but other models also exist. In J29K a model based on the hydro-dynamics of a lubricated journal bearing is introduced. The model stresses the dynamics of the friction force. The eccentricity e of the bearing is an important variable in determining the friction force. A simplified model is given by

F K1He − e trI2D K2 v. H18I
√1 − e 2

The first term is due to the shearing of the asperity contacts and the second term is due to the viscosity of the lubricant. The function D is an indicator function that is one for e e tr and zero otherwise. This implies that for small eccentricities there is no friction due to asperity contacts. The eccentricity is given by a fourth-order differential equation, which determines the pressure distribution in the



1997-11-28 16:52 14

lubricant. The model requires five parameters. Simulations show a behavior very similar to the observations in J31K. An extension including sleeve compliance is given in J30K. The model then becomes even more complicated and requires determination of initial values when switching between slipping and sticking.

The LuGre Model

The LuGre model is a dynamic friction model presented in J13K. Exstensive anal-ysis of the model and its application can be found in J39K. The model is related to the bristle interpretation of friction as in J28K. Friction is modeled as the average deflection force of elastic springs. When a tangential force is applied the bristles will deflect like springs. If the deflection is sufficiently large the bristles start to slip. The average bristle deflection for a steady state motion is determined by the velocity. It is lower at low velocities, which implies that the steady state deflection decreases with increasing velocity. This models the phenomenon that the surfaces are pushed apart by the lubricant, and models the Stribeck effect. The model also includes rate dependent friction phenomena such as varying break-away force and frictional lag. The model has the form


dz v tvt z
dt − s 0 gHvI 

dz
F s 0z s 1HvI dt f HvI

where z denotes the average bristle deflection. The model behaves like a spring for small displacements. Linearization of H4I around zero velocity and zero state gives

dHd zI d v dt

d F s 0d z Hs 1H0I f TH0IId v

The parameter s 0 is the stiffness of the bristles, and s 1HvI the damping. For constant velocity the steady state friction force is

F gHvI sgnHvI f HvI H19I

The function gHvI models the Stribeck effect, and f HvI is the viscous friction. A reasonable choice of gHvI which gives a good approximation of the Stribeck effect is

gHvIa 0 a 1e−Hv/v0I2  H20I



1997-11-28 16:52 15

compare with H6I. The sum a 0 a 1 then corresponds to stiction force and a 0 to Coulomb friction force. The parameter v0 determines how gHvI vary within its bounds a 0 gHvI a 0 a 1. A common choice of f HvI is linear viscous friction f HvI a 2v as in H2I, see also H3I.

The following special case of the model given by Equations H4I and H20I, which has linear viscous friction and constant s 1, is called the standard param-

eterization.
dz v tvt z
dt − s 0 gHvI H21I

g v a 0 a 1e−Hv/v0I2
H I
F s 0z s 1z a 2v
˙

It is useful to let the damping s 1 decrease with increasing velocity, e.g.

s 1HvIs 1e−Hv/vdI2  H22I

Physically this is motivated by the change of the damping characteristics as velocity increases, due to more lubricant being forced into the interface. Another reason for using H22I is that it gives a model which is dissipative, see J39K.


5. Comparison of the Bliman-Sorine and the LuGre Models




The Bliman-Sorine H15I and the LuGre models H21 I are both extensions of the Dahl model H10I. The Dahl model H10I has many attractive features. It is a dynamic model that captures many aspects of friction. The model is so simple that it can be used for model based friction compensation. It has, however, a serious drawback because it does not describe stiction. The Bliman-Sorine and the LuGre models attempt to also capture the stiction phenomenon. Bliman and Sorine use two Dahl models in parallel to model stiction. The LuGre model captures stiction by introducing a velocity varying coefficient. The models have many similarities but also significant differences, which will be discussed in this section.




Rate dependency

The LuGre model is inherently rate dependent. The Bliman-Sorine model is seemingly independent of rate because it is expressed in terms of the space


1997-11-28 16:52 16

variable s. There are, however, some subtleties because the term vs sgn vHtI enters the right hand side of Equation H15I. The variable vs which takes the values 1 or −1 changes sign when the velocity changes sign. This introduces a special kind of time dependency in the model, because there will be a transient when the velocity changes sign. After the transient the friction will settle to the steady state solution of Equation H15I, which is given by


F○ −C A−1 B vs H23I

The transient which makes F different from F○is the mechanism that give rise to stiction. The shape of the transient, and therefore the friction characteristics of the model, is dependent on if the velocity reversal takes place from a steady state or not. As a result the transient will cause difficulties when there are rapid changes of sign of the velocity.

The ideal model trajectory going from steady state for −vs to steady state for

vs without sign reversal in velocity is written
F*Hs vsI C eAs A−1 Z0s e−As ds B vs H24I
This trajectory is also defined by the unique solution xsH0I −F○of
max H25I
xsH0I, s FHsI
for constant vs, i.e. H24I is the trajectory giving the largest break-away friction force. Consequently trajectories that do not start from steady state for s 0 give different friction characteristics than F*. For example model trajectories starting with zero states give a stiction peak fs − fk only half that of F*HsI.

Oscillatory Behavior at Low Velocities

A simple experiment that reveals much about friction is to explore the open loop behavior of a drive system. Let J be the moment of inertia, F the friction torque, and u an external driving torque. The system is described by

d2 x F u H26I
J dt2

Figures 7 and 8 show the responses to a sinusoidal input torque u 04 sinHtI JNmK for the Bliman-Sorine and the LuGre models.


1997-11-28 16:52 17

With the Bliman-Sorine model shown in Figure 7 there are significant os-cillations in the friction force in the stick mode. Because of the oscillations the friction force F differ from F* given by Equation H24I. One effect of this is that the break-away force becomes difficult to predict. As noted above the zero initial conditions used in the simulation result in a smaller first stiction peak, resulting in a remaining bias in position. In degenerate cases with non-steady state initial conditions and oscillatory behavior a symmetric periodic input force can give a unidirectional stick-slip motion.

With the LuGre model shown in Figure 8 there are rapid changes in the fric-tion force which brings the system quickly to rest. Compare J14K for a detailed discussion. There are, however, no oscillations in the friction force and no re-maining bias in the displacement. All stiction peaks are of the same magnitude.

The oscillatory behavior of the Bliman-Sorine model is further illustrated in Figure 9, which shows the phase plane. The friction torque F x1 x2 is shown in the Figure. We also show the trajectory that would be obtained with the friction
F*. Note that the oscillations force the trajectory of F inside the trajectory of

F*, resulting in a lower friction torque in the transient. The behavior shown in Figure 7 is clearly not desirable.

Kết quả (Việt) 1:

Mô hình cho địa chỉ liên lạc trơnCác giao diện ma sát trong đặt kỹ thuật ứng dụng được bôi trơn. Mô hình ma sát do đó đã được bắt nguồn bằng cách sử dụng thủy. Nhớt ma sát là một ví dụ đơn giản, nhưng mô hình khác cũng tồn tại. J29K một mô hình dựa trên thủy động lực học của một tạp chí trơn vòng bi được giới thiệu. Các mô hình nhấn mạnh các động thái của lực ma sát. Độ lệch tâm e của vòng bi là một biến quan trọng trong việc xác định lực ma sát. Một mô hình đơn giản được cho bởiF K1He − e trI2D K2 v. H18I √1 − e 2 Số hạng đầu tiên là do chia sẻ địa chỉ liên lạc asperity và nhiệm kỳ thứ hai là do độ nhớt của các chất bôi trơn. Chức năng D là một chức năng chỉ số một cho e e tr và zero bằng cách khác. Điều này có nghĩa rằng đối với nhỏ eccentricities có là không có ma sát do asperity địa chỉ liên lạc. Độ lệch tâm được đưa ra bởi một phương trình vi phân thứ tư để xác định việc phân phối các áp lực trong các 1997-11-28 16:52 14 chất bôi trơn. Các mô hình yêu cầu năm tham số. Mô phỏng xem một hành vi rất tương tự như các quan sát tại J31K. Một phần mở rộng gồm tay áo được đưa ra trong J30K. Các mô hình sau đó trở nên phức tạp hơn và đòi hỏi phải xác định giá trị ban đầu khi chuyển đổi giữa các trượt và gắn bó.Các mô hình LuGreCác mô hình LuGre là một mô hình ma sát động trình bày trong J13K. Hậu môn-Exstensive ysis của các mô hình và ứng dụng của nó có thể được tìm thấy tại J39K. Các mô hình có liên quan đến việc giải thích bristle ma sát như trong J28K. Ma sát được mô phỏng như là lực lượng trung bình là độ lệch của đàn hồi springs. Khi một lực lượng tiếp tuyến áp dụng các lông sẽ làm chệch hướng giống như lò xo. Nếu độ lệch là đủ lớn các lông bắt đầu trượt. Độ lệch bristle trung bình cho một trạng thái ổn định chuyển động được xác định bởi vận tốc. Nó là thấp hơn ở vận tốc thấp, mà ngụ ý rằng trạng thái ổn định độ lệch giảm với tăng vận tốc. Điều này mô hình hiện tượng các bề mặt được đẩy nhau bởi các chất bôi trơn, và mô hình có hiệu lực Stribeck. Các mô hình cũng bao gồm tỷ lệ phụ thuộc vào ma sát hiện tượng như khác nhau đi phá vỡ lực và ma sát tụt hậu. Các mô hình có các hình thứcDZ v tvt z DT − s 0 gHvI  DZF s 0z s 1HvI dt f HvInơi z biểu thị độ lệch trung bình bristle. Các mô hình hoạt động như một mùa xuân cho nhỏ displacements. Linearization của H4I xung quanh vận tốc không và không cung cấp cho nhà nướcdHd zI d v dtd F s 0d z Hs 1H0I f TH0IId vTham số s 0 là cứng của lông, và s 1HvI dao. Đối với vận tốc không đổi lực ma sát trạng thái ổn định làF gHvI sgnHvI f HvI H19IChức năng gHvI mô hình có hiệu lực Stribeck, và f HvI là ma sát nhớt. Một sự lựa chọn hợp lý của gHvI đó cung cấp cho một xấp xỉ tốt của các hiệu ứng StribeckgHvIa 0  1e−Hv/v0I2 H20I 1997-11-28 16:52 15 so sánh với H6I. Tổng một 0 sau đó 1 tương ứng với lực lượng stiction và một 0 đến ma sát Coulomb ép buộc. V0 tham số xác định như thế nào gHvI khác nhau trong giới hạn của nó một gHvI 0 0 a 1. Một lựa chọn phổ biến của f HvI là tuyến tính nhớt ma sát f HvI một 2v như trong H2I, xem thêm H3I.Trường hợp đặc biệt sau đây của các mô hình được đưa ra bởi phương trình H4I và H20I, nơi có tuyến tính nhớt ma sát và liên tục s 1, được gọi là tiêu chuẩn param-eterization. DZ v tvt z DT − s 0 gHvI H21I g v một 0 một 1e−Hv/v0I2 Tôi h F s 0z s 1z một 2v ˙ Nó là hữu ích để damping s 1 giảm với tăng vận tốc, ví dụ nhưs 1HvIs 1e−Hv/vdI2  H22IThể chất này thúc đẩy bởi sự thay đổi của các đặc tính damping khi tốc độ tăng, do thêm chất bôi trơn bị buộc vào giao diện. Một lý do cho việc sử dụng H22I là nó mang lại cho một mô hình đó là dissipative, xem J39K.5. so sánh các Bliman-Sorine và các mô hình LuGreH15I Bliman-Sorine và các mô hình LuGre H21 tôi là cả hai tiện ích mở rộng của mô hình Dahl H10I. Các mô hình Dahl H10I có nhiều tính năng hấp dẫn. Nó là một mô hình năng động mà bắt nhiều khía cạnh của ma sát. Các mô hình là để đơn giản rằng nó có thể được sử dụng cho các mô hình dựa ma sát bồi thường. Nó có, Tuy nhiên, một hạn chế nghiêm trọng bởi vì nó không mô tả stiction. Bliman-Sorine và các mô hình LuGre cố gắng cũng nắm bắt hiện tượng stiction. Bliman và Sorine sử dụng hai Dahl mô hình song song với mô hình stiction. Các mô hình LuGre bắt stiction bằng cách giới thiệu một hệ số tốc độ khác nhau. Các mô hình có nhiều điểm giống nhau nhưng cũng khác biệt đáng kể, mà sẽ được thảo luận trong phần này.Tỷ lệ phụ thuộcCác mô hình LuGre vốn là tỷ lệ phụ thuộc. Các mô hình Bliman-Sorine là dường như độc lập của tỷ lệ bởi vì nó được thể hiện trong điều khoản của không gian 1997-11-28 16:52 16 thay đổi s. Có, Tuy nhiên, một số tinh tế bởi vì thuật ngữ vs sgn vHtI vào bên tay phải của phương trình H15I. Vs biến mất giá trị 1 hoặc thay đổi −1 đăng khi tốc độ thay đổi đăng nhập. Điều này giới thiệu một loại đặc biệt của thời gian phụ thuộc trong mô hình, bởi vì sẽ có một lưu trú tạm thời khi tốc độ thay đổi đăng nhập. Sau khi lưu trú tạm thời ma sát sẽ giải quyết các giải pháp trạng thái ổn định của phương trình H15I, mà được đưa ra bởiF○ −C A−1 B vs H23IThoáng qua mà làm cho F khác nhau từ F○is cơ chế làm phát sinh để stiction. Hình dạng của lưu trú tạm thời, và do đó các đặc tính ma sát của các mô hình, là phụ thuộc vào nếu đảo ngược vận tốc diễn ra từ một trạng thái ổn định hay không. Kết quả là lưu trú tạm thời sẽ gây khó khăn khi có những thay đổi nhanh chóng của các dấu hiệu của vận tốc.Quỹ đạo lý tưởng mô hình đi từ ổn định nhà nước cho −vs các trạng thái ổn định nhấtvs mà không có dấu hiệu đảo ngược ở vận tốc được viết F * Hs vsI C eAs A−1 Z0s e−As ds B vs H24IQuỹ đạo này cũng được xác định bởi giải pháp duy nhất xsH0I −F○of tối đa H25IxsH0I, s FHsI Đối với liên tục vs, tức là H24I là quỹ đạo cho lực lượng đi phá vỡ ma sát lớn nhất. Do đó, hnăm mà không khởi động từ trạng thái ổn định nhất s 0 cho ma sát khác nhau đặc điểm hơn F *. Ví dụ mẫu hnăm bắt đầu với tiểu bang không cung cấp cho một stiction cao điểm fs − fk chỉ nửa của F * HsI.Các hành vi oscillatory tại vận tốc thấpMột thử nghiệm đơn giản mà cho thấy nhiều về ma sát là để khám phá hành vi mở vòng lặp của một hệ thống lái xe. Giả sử J là moment quán tính, F mô-men xoắn ma sát, và bạn một bên ngoài lái xe mô-men xoắn. Hệ thống được mô tả bởiD2 x F u H26IJ dt2 Con số 7 và 8 Hiển thị các câu trả lời cho một mô-men xoắn đầu vào Sin u 04 sinHtI JNmK Bliman-Sorine và các mô hình LuGre. 1997-11-28 16:52 17 Với mô hình Bliman-Sorine minh hoạ trong hình 7 có là đáng kể hệ điều hành-cillations hiệu lực ma sát trong chế độ thanh. Bởi vì các dao động lực ma sát F khác nhau từ F * được đưa ra bởi phương trình H24I. Một hiệu ứng này là lực lượng đi phá vỡ trở nên khó khăn để dự đoán. Như đã nói ở trên các điều kiện ban đầu không được sử dụng trong kết quả mô phỏng trong một đỉnh nhỏ hơn stiction đầu tiên, kết quả là một thiên vị còn lại ở vị trí. Trong các trường hợp suy biến với điều kiện ban đầu không - ổn định nhà nước và hành vi oscillatory một lực lượng đầu vào định kỳ đối xứng có thể cung cấp cho một chuyển động unidirectional thanh trượt.Với mô hình LuGre được minh hoạ trong hình 8 có những thay đổi nhanh chóng trong lực lượng fric-tion mang lại hệ thống một cách nhanh chóng để phần còn lại. So sánh J14K cho một cuộc thảo luận chi tiết. Không có, Tuy nhiên, không có dao động hiệu lực ma sát không thiên vị re-maining trong trọng lượng rẽ nước. Tất cả stiction ngọn núi là cùng một độ.Oscillatory hành vi của mô hình Bliman-Sorine tiếp tục được minh họa trong hình 9, trong đó cho thấy giai đoạn máy bay. Mô-men xoắn ma sát F x 1, x 2 sẽ được hiển thị trong hình. Chúng tôi cũng cho thấy quỹ đạo nào được thu được với ma sátF *. Lưu ý rằng các dao động lực lượng quỹ đạo của F bên trong quỹ đạo củaF *, dẫn đến một mô-men xoắn ma sát thấp trong lưu trú tạm thời. Hành vi minh hoạ trong hình 7 rõ ràng là không mong muốn.

Kết quả (Việt) 2:

Mô hình cho bôi trơn hệ Các giao diện ma sát trong hầu hết các ứng dụng kỹ thuật được bôi trơn. Mô hình ma sát do đó đã được sử dụng có nguồn gốc thủy động lực học. Ma sát nhớt là một ví dụ đơn giản, nhưng các mô hình khác cũng tồn tại. Trong J29K một mô hình dựa trên các thủy động lực học của một tạp chí mang bôi trơn được giới thiệu. Mô hình này nhấn mạnh sự năng động của lực ma sát. Độ lệch tâm e của mang là một biến quan trọng trong việc xác định lực ma sát. Một mô hình đơn giản được đưa ra bởi F K1He -. E trI2D K2 v H18I √1 - e 2 Nhiệm kỳ đầu tiên là do sự cắt của các địa chỉ liên lạc tính cộc cằn và nhiệm kỳ thứ hai là do độ nhớt của chất bôi trơn. Chức năng D là một chỉ số chức năng mà là một cho ee tr và không khác. Điều này ngụ ý rằng đối với độ lệch tâm nhỏ không có ma sát do liên lạc thô lổ. Độ lệch tâm được đưa ra bởi một phương trình vi phân thứ tư-thứ tự, mà xác định sự phân bố áp lực trong 1997/11/28 16:52 14 chất bôi trơn. Mô hình này đòi hỏi năm thông số. Mô phỏng cho thấy một hành vi rất giống với các quan sát trong J31K. Một phần mở rộng bao gồm cả tay tuân thủ được đưa ra trong J30K. Mô hình này sau đó trở nên phức tạp hơn và đòi hỏi phải xác định giá trị ban đầu khi chuyển đổi giữa trượt và gắn bó. Các LuGre mẫu mô hình các LuGre là một mô hình ma sát động trình bày trong J13K. Exstensive hậu môn-ysis của mô hình và ứng dụng của nó có thể được tìm thấy trong J39K. Mô hình này có liên quan đến việc giải thích lông của ma sát như trong J28K. Ma sát được mô hình hóa như là động lực lệch trung bình của lò xo đàn hồi. Khi một lực tiếp tuyến được áp dụng các lông bàn chải sẽ làm chệch hướng như suối. Nếu sự lệch đủ lớn các lông bàn chải bắt đầu trượt. Sự lệch lông cứng trung bình cho một chuyển động trạng thái ổn định được xác định bởi vận tốc. Nó là thấp hơn ở vận tốc thấp, điều này cho thấy sự lệch trạng thái ổn định giảm khi tăng vận tốc. Mô hình này hiện tượng mà các bề mặt được đẩy nhau bởi các chất bôi trơn, và các mô hình hiệu quả Stribeck. Mô hình này cũng bao gồm tỷ lệ phụ thuộc hiện tượng ma sát khác nhau như lực lượng break-xa và lag ma sát. Mô hình này có dạng dz v tvt z dt - s 0 gHvI  dz F s 0z s 1HvI dt f HvI nơi z biểu thị sự lệch lông cứng trung bình. Mô hình này hoạt động như một lò xo dùng cho chuyển vị nhỏ. Tuyến tính của H4I khoảng không vận tốc và không mang lại cho nhà nước dhd Zi dv dt d F s 0d z Hs 1H0I f TH0IId v Các tham số của 0 là độ cứng của lông, và s 1HvI các giảm xóc. Đối với vận tốc không đổi lực ma sát trạng thái ổn định là F gHvI sgnHvI f HvI H19I Chức năng mô hình gHvI tác Stribeck, và f HVI là ma sát nhớt. Một sự lựa chọn hợp lý của gHvI mà đưa ra một xấp xỉ tốt của hiệu ứng Stribeck là gHvIa 0 a 1e-Hv / v0I2  H20I 1997/11/28 16:52 15 so sánh với H6I. Tổng 0 1 sau đó tương ứng với lực lượng stiction và một 0 đến Coulomb lực ma sát. V0 tham số xác định như thế nào gHvI khác nhau trong phạm vi giới hạn của nó một gHvI 0 a 0 a 1. Một sự lựa chọn phổ biến của f HVI là tuyến tính ma sát nhớt f HVI một 2v như trong H2I, thấy cũng H3I. Các trường hợp đặc biệt sau đây của mô hình được đưa ra bởi phương trình H4I và H20I, trong đó có tuyến tính ma sát nhớt và không đổi s 1, được gọi là param- chuẩn eterization. dz v tvt z dt - s 0 gHvI H21I g va 0 a 1e-Hv / v0I2 HI F s 0z s 1Z một 2v ˙ Nó rất hữu ích để cho giảm xóc s 1 giảm với tốc độ ngày càng tăng, ví dụ s 1HvIs 1e-Hv / vdI2  H22I Thể chất này được thúc đẩy bởi sự thay đổi của các đặc tính giảm xóc như vận tốc tăng lên, do chất bôi trơn hơn bị buộc vào giao diện. Một lý do khác cho việc sử dụng H22I là nó mang lại một mô hình trong đó là tiêu tán, xem J39K. 5. So sánh các Bliman-Sorine và các mô hình LuGre Các Bliman-Sorine H15I và các mô hình LuGre H21 tôi là cả hai phần mở rộng của mô hình Dahl H10I. Các mô hình Dahl H10I có nhiều tính năng hấp dẫn. Đây là một mô hình động mà chụp nhiều khía cạnh của ma sát. Mô hình này là đơn giản như vậy mà nó có thể được sử dụng cho các mô hình dựa đền bù ma sát. Nó đã, tuy nhiên, một nhược điểm nghiêm trọng bởi vì nó không mô tả stiction. Các Bliman-Sorine và các mô hình LuGre cố gắng cũng để nắm bắt những hiện tượng stiction. Bliman và Sorine sử dụng hai mô hình Dahl song song với mô hình stiction. Các mô hình LuGre chụp stiction bằng cách giới thiệu một hệ số vận tốc khác nhau. Các mô hình có nhiều điểm tương đồng nhưng cũng khác biệt đáng kể, mà sẽ được thảo luận trong phần này. Tỷ lệ phụ thuộc các mô hình LuGre là tỷ lệ vốn phụ thuộc. Các mô hình Bliman-Sorine là dường như độc lập với tỷ lệ vì nó được thể hiện trong điều kiện của không gian 1997/11/28 16:52 16 s biến. Tuy nhiên, một số tinh tế bởi vì các hạn vs sgn vHtI đi vào phía bên tay phải của phương trình H15I. Biến vs mà mất giá trị 1 hoặc -1 ký thay đổi khi thay đổi vận tốc ký. Điều này giới thiệu một loại đặc biệt của thời gian phụ thuộc vào mô hình, bởi vì sẽ có một thoáng khi thay đổi vận tốc ký. Sau khi thoáng qua ma sát sẽ giải quyết cho các giải pháp trạng thái ổn định của phương trình H15I, được đưa ra bởi F ○ -CA-1 B vs H23I The thoáng qua mà làm cho F khác nhau từ F ○ là cơ chế làm phát stiction. Hình dạng của thoáng qua, và do đó các đặc tính ma sát của các mô hình, phụ thuộc vào nếu đảo ngược vận tốc diễn ra từ một trạng thái ổn định hay không. Kết quả là thoáng qua sẽ gây ra khó khăn khi có những thay đổi nhanh chóng của dấu hiệu của vận tốc. Các mô hình lý tưởng quỹ đạo đi từ trạng thái ổn định cho -vs đến trạng thái ổn định cho vs mà không có dấu hiệu đảo chiều của vận tốc được viết F * Hs VSI C EAS A -1 Z0s e-As ds B vs H24I quỹ đạo này cũng được xác định bởi các giải pháp độc đáo xsH0I -F ○ của max H25I xsH0I, s FHsI cho hằng vs, tức là H24I là quỹ đạo cho các lực ma sát nghỉ-xa lớn nhất. Do quỹ đạo mà không bắt đầu từ trạng thái ổn định cho s 0 cho đặc tính ma sát khác nhau hơn so với F *. Ví dụ mô hình quỹ đạo bắt đầu với zero tiểu bang cho một stiction fs đỉnh - chỉ bằng một nửa của F * HSI fk. Hành vi dao động ở vận tốc thấp Một thí nghiệm đơn giản mà tiết lộ nhiều về ma sát là để khám phá các hành vi lặp mở của một hệ thống lái. Hãy J là lực quán tính, F mômen ma sát, và mô-men xoắn u một lái xe bên ngoài. Hệ thống được mô tả bởi d2 x F u H26I J DT2 hình 7 và 8 cho thấy các phản ứng để một mô-men xoắn đầu vào hình sin u 04 sinHtI JNmK cho Bliman-Sorine và các mô hình LuGre. 1997/11/28 16:52 17 Với mô hình Bliman-Sorine thể hiện trong hình 7 có ý nghĩa os-cillations trong lực ma sát ở chế độ dính. Bởi vì các dao động ma sát lực F khác với F * cho bởi phương trình H24I. Một ảnh hưởng của việc này là lực lượng đột phá đi trở nên khó dự đoán. Như đã nói ở trên không điều kiện ban đầu được sử dụng trong các kết quả mô phỏng một đỉnh stiction đầu tiên nhỏ hơn, kết quả là một sự thiên vị còn lại ở vị trí. Trong trường hợp thoái hóa với điều kiện ban đầu ở trạng thái không ổn định và hành vi dao động một lực lượng đầu vào đối xứng định kỳ có thể cung cấp cho một chuyển động dính chống trượt một chiều. Với mô hình LuGre thể hiện trong hình 8 có những thay đổi nhanh chóng trong lực lượng fric-tion mà mang lại hệ thống một cách nhanh chóng để nghỉ ngơi. So sánh J14K cho một cuộc thảo luận chi tiết. Tuy nhiên, không dao động trong lực ma sát và không thiên vị tái maining trong việc di chuyển. Tất cả các đỉnh stiction là cùng độ lớn. Các hành vi dao động của các mô hình Bliman-Sorine được minh họa trong hình 9, trong đó cho thấy các máy bay giai đoạn. Ma sát mô-men xoắn F x1 x2 được hiển thị trong hình. Chúng tôi cũng cho thấy các quỹ đạo mà sẽ thu được với sự ma sát F *. Lưu ý rằng các dao động buộc các quỹ đạo của F bên trong quỹ đạo của F *, kết quả trong một mô-men xoắn ma sát thấp trong thoáng qua. Các hành vi thể hiện trong hình 7 rõ ràng là không mong muốn.