13.4 The Variational PrincipleThe V

13.4 The Variational Principle

The Variational Principle allows us to make a fairly accurate estimate of the ground-state energy by making an informed guess for th groundstate eigenfunction. This guess is called the trial function. Of course, the guess will not be completely accurate, but the method is fairly lenient in that it allows us to make a rough guess while producing a good estimate of the groundstate energy.

Let the set {ui : i = 0, 1, 2, . . .} be a complete set of orthonormal eigenfunctions of the operator H corresponding to the exact (and unknown) energy eigenvalues E0 ≤ E1 ≤ E2 ≤ ···. These will satisfy the equation

CT13.59

Let τ be any chosen trial function which is not necessarily normalised, and which can be expanded in terms of the set of functions ui :

CT13.60

Then

CT13.61

Further, it is easily verified that (τ,τ)= |ci|2 . Hence the groundstate energy E0 satisfies the condition

Kết quả (Việt) 2:

13.4 Các biến phân Nguyên tắc

Các biến phân Nguyên tắc cho phép chúng ta thực hiện một ước tính khá chính xác về năng lượng ở trạng thái cơ bằng cách làm cho một đoán thông tin cho -hàm groundstate thứ. Đoán này được gọi là chức năng xét xử. Tất nhiên, những dự đoán sẽ không hoàn toàn chính xác, nhưng phương pháp này là khá khoan dung ở chỗ nó cho phép chúng ta thực hiện một đoán thô trong khi sản xuất một ước lượng tốt của năng lượng groundstate.

Hãy tập {ui: i = 0, 1, 2 ,. . .} Là một bộ hoàn chỉnh các eigenfunctions trực giao của các nhà điều hành H tương ứng với chính xác (và chưa rõ) giá trị riêng năng lượng E0 ≤ ≤ E1 E2 ≤ ···. Những điều này sẽ thỏa mãn phương trình

CT13.59

Hãy τ được bất kỳ chức năng thử nghiệm được lựa chọn mà không nhất thiết phải là bình thường, và có thể được mở rộng về tập các chức năng ui:

CT13.60

Sau đó

CT13.61

Hơn nữa, nó có thể dễ dàng xác minh rằng ( τ, τ) = | ci | 2. Do đó E0 năng lượng groundstate thỏa mãn điều kiện