the latter equality applying by vir

the latter equality applying by virtue of the ergodic theorem. As both signals being
measured (the intensity noise and the thermal displacement of the nanomechanical
oscillator) result from white noise, their autocorrelation function is expected to be
the impulse response of the measurement apparatus used to detect them
({nanomechanical oscillator þ WGM resonator þ photodetector þ ESA} and
{WGM resonator þ photodetector þ ESA} for the mechanical motion and the
intensity noise, respectively). For the probe signal, this impulse response is mostly
due to the mechanical response and can be approximated by a decaying exponential,
because the sampling rate is dt ≪ 2p /GM. For the intensity noise, this impulse
response prominently involves the 5 kHz wide frequency gate set by the I/Q mode
parameters of the ESA, such that the autocorrelation linewidth in Fig. 4b,c is not
related to the coherence time of the intensity noise but simply to this frequency gate.
The pink dispersion lines in Fig. 4f are determined using
DE(t) = 1 /2meffV2MDsth−th(t) because the low SNR hypothesis applies. This is,
however, not the case in Fig. 4d,e, where the SNRs are kXsig2 l / kXth2 l ≈ 5 and
kX
sig
2 l / kXth2 l ≈ 0.5, respectively. The corresponding dispersions are therefore
evaluated using an extended model taking into account the terms Dssig–th(t) and
Ds
sig–sig(t) (Supplementary equations (S5) and (S6)).

Kết quả (Việt) 1:

đẳng thức sau áp dụng bằng đức hạnh của định lý ergodic. Như cả hai tín hiệuđo (tiếng ồn cường độ và di chuyển nhiệt của nanomechanicaldao động) kết quả từ tiếng ồn trắng, chức năng autocorrelation của họ dự kiến sẽđáp ứng xung của bộ máy đo lường được sử dụng để phát hiện ra chúng({nanomechanical dao động þ WGM cộng hưởng þ photodetector þ ESA} và{WGM cộng hưởng þ photodetector þ ESA} chuyển động cơ khí và cáccường độ tiếng ồn, tương ứng). Đối với các tín hiệu thăm dò, này đáp ứng xung là chủ yếu làdo phản ứng cơ khí và có thể được ước chừng bằng một mục nát mũ,bởi vì tỷ lệ lấy mẫu là dt ≪ 2p/GM. Cho tiếng ồn cường độ, xung nàyphản ứng nổi bật liên quan đến cửa rộng tần số 5 kHz do I / chế độ QCác tham số của ESA, như vậy linewidth autocorrelation hình 4b, c là khôngliên quan đến thời gian tính mạch lạc của tiếng ồn cường độ nhưng đơn giản chỉ để cổng tần số này.Dòng màu hồng phân tán trong hình 4f được xác định bằng cách sử dụngDE(t) = 1 /2meffV2MDsth−th(t) vì các giả thuyết SNR thấp áp dụng. Đây là,Tuy nhiên, không phải là trường hợp trong hình 4d, e, nơi các SNRs là kXsig2 l / kXth2 l ≈ 5 vàĐiệnSig2 l / kXth2 l ≈ 0.5, tương ứng. Dispersions tương ứng do đóđánh giá bằng cách sử dụng một mô hình mở rộng có tính đến các điều khoản Dssig–th(t) vàDSSig–SIG(t) (phương trình bổ sung (S5) và (S6)).

Kết quả (Việt) 2:

sự bình đẳng sau này áp dụng bởi đức hạnh của các định lý ergodic. Khi cả hai tín hiệu được
đo (tiếng ồn cường độ và chuyển nhiệt của nano
dao động) là kết quả của tiếng ồn trắng, hàm tự tương quan của họ dự kiến sẽ được
đáp ứng xung của bộ máy đo được sử dụng để phát hiện ra chúng
({nano dao động þ WGM cộng hưởng þ tách sóng quang þ ESA} và
{WGM cộng hưởng þ þ tách sóng quang ESA} cho các chuyển động cơ khí và
tiếng ồn cường độ, tương ứng). Đối với các tín hiệu thăm dò, đáp ứng xung này chủ yếu là
do những phản ứng cơ học và có thể được xấp xỉ bởi một hàm mũ mục nát,
bởi vì tốc độ lấy mẫu là dt «2p / GM. Đối với tiếng ồn cường độ, xung này
đáp ứng nổi bật liên quan đến 5 kHz cửa rộng tần số được thiết lập bởi các I / chế độ Q
thông số của ESA, như vậy mà độ rộng vạch phổ tương quan trong hình. 4b, c là không
liên quan đến thời gian gắn kết của các cường độ tiếng ồn nhưng chỉ đơn giản là đến cửa tần số này.
Các dòng phân tán màu hồng trong hình. 4f được xác định bằng cách sử dụng
DE (t) = 1 / 2meffV2MDsth-th (t) bởi vì các giả thuyết SNR thấp được áp dụng. Đây là,
tuy nhiên, không phải trường hợp trong hình. 4d, e, nơi SNRs là kXsig2 l / l kXth2 ≈ 5 và
KX
sig
2 l / l kXth2 ≈ 0.5, tương ứng. Do đó, các chất tán xạ tương ứng được
đánh giá bằng cách sử dụng một mô hình mở rộng có tính đến các điều khoản Dssig-th (t) và
Ds
sig-sig (t) (phương trình bổ sung (S5) và (S6)).