Proof: We will use mathematical ind

Proof: We will use mathematical induction. By definition, there is a path from a to b of length
one if and only if (a, b) ∈ R, so the theorem is true when n=1.
Assume that the theorem is true for the positive integer n. This is the inductive hypothesis. There is a path of length n+1 from a to b if and only if there is an element c ∈ A such that
there is a path of length one from a to c, so (a, c)∈R, and a path of length n from c to b,
that is,(c, b)∈Rn. Consequently, by the inductive hypothesis, there is a path of length n+1
from a to b if and only if there is an element c with(a, c)∈Rand(c, b)∈Rn. But there is such an element if and only if (a, b)∈Rn+1. Therefore, there is a path of length n+1 from a to b if and only if(a, b)∈Rn+1. This completes the proof.

Kết quả (Việt) 1:

Bằng chứng: Chúng tôi sẽ sử dụng quy nạp toán học. Theo định nghĩa, đó là một đường đi từ một đến b dàimột trong những nếu và chỉ nếu (a, b) ∈ R, do đó định lý là đúng khi n = 1. Giả sử rằng các định lý là đúng cho n số nguyên dương. Đây là giả thiết quy nạp. Đó là một con đường độ dài n + 1 từ một đến b Nếu và chỉ nếu đó là một nguyên tố c ∈ A màđó là một con đường dài một từ một đến c, do đó (a, c) ∈R, và một con đường độ dài n c b,đó là, (c, b) ∈Rn. Do đó, theo giả thiết quy nạp, có là một con đường độ dài n + 1từ một đến b Nếu và chỉ nếu có là một yếu tố c với (a, c) ∈Rn ∈Rand (c, b). Nhưng có một yếu tố nếu và chỉ nếu (a, b) ∈Rn + 1. Vì vậy, đó là một con đường độ dài n + 1 từ một đến b Nếu và chỉ nếu (a, b) ∈Rn + 1. Điều này đã hoàn tất các bằng chứng.

Kết quả (Việt) 2:

Chứng minh: Chúng tôi sẽ sử dụng quy nạp toán học. Theo định nghĩa, có một đường đi từ a đến b có độ dài
một khi và chỉ khi (a, b) ∈ R, vì vậy định lý là đúng khi n = 1.
Giả thiết rằng định lý đúng cho các số nguyên dương n. Đây là giả thuyết quy nạp. Có một con đường có chiều dài n + 1 từ a đến b khi và chỉ khi có một yếu tố c ∈ A sao cho
có một con đường có chiều dài một từ a đến c, do đó (a, c) ∈R, và một con đường độ dài n từ c cho b,
đó là, (c, b) ∈Rn. Do đó, bằng cách giả thuyết quy nạp, có một con đường có chiều dài n + 1
từ a đến b khi và chỉ khi có một yếu tố c với (a, c) ∈Rand (c, b) ∈Rn. Nhưng có một yếu tố như vậy nếu và chỉ nếu (a, b) ∈Rn + 1. Do đó, có một con đường có chiều dài n + 1 từ a đến b khi và chỉ khi (a, b) ∈Rn + 1. Điều này hoàn thành bằng chứng.