Revista Colombiana de EstadísticaJu

Revista Colombiana de Estadística
Junio 2010, volumen 33, no. 1, pp. 63 a 88
Confidence and Credibility Intervals for the
Difference of Two Proportions
Intervalos de confianza y de credibilidad para la diferencia de dos
proporciones
HANWEN ZHANG1,a, HUGO ÀNDRÉS GưTIÉRREZ ROJAS1’b,
EDILBERTO CEPEDA CUERYO2’0
1CENTRO DE INVESTIGACIONES y EsTUDios ESTADÍSTICOS (CIEES), FAOƯLTAD DE
ESTADÍSTICA, UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS, BOGOTÁ, COLOMBIA
2DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA, FACULTAD DE CIENCIAS, UNIVERSIDAD NACIONAL DE
COLOMBIA, BOGOTÁ, COLOMBIA
Abstract
This paper presents a frequentist comparison of the performance of con- fidence and credibility intervals for the difference of two proportions from two independent samples. The comparison is carried out considering three frequentist criteria. It was found that the intervals with the best perfor- mance, in terms of coverage probability, are Bayesians; in terms of expected length and variance of the length, the Newcombe interval shows the best performance. As a final remark, it was found that traditional intervals such as the Wald and adjusted Wald have a poor performance.
Key words: Confidence intervals, Credibility intervals, Difference of two proportions..
Resumen
Este artículo presenta una comparación del comportamiento de interva- los de confianza frecuentistas y de credibilidad bayesianos para la diferencia de dos proporciones provenientes de muestras aleatorias independientes. La comparación se lleva cabo considerando tres criterios frecuentistas con los cuales se concluyó que el mejor comportamiento, en términos de la proba- bilidad de cobertura, lo tienen los intervalos bayesianos, y en términos de la longitud esperada y varianza de la longitud el mejor comportamiento está dado por el intervalo frecuentista de Newcombe. Como resultado de esta in- vestigación se encontró que los intervalos frecuentistas más populares como Wald y Wald ajustado tienen un comportamiento deficiente.
Palabras clave: intervalos de confianza, intervalos de credibilidad, diferen- cia de dos proporciones.
aDocente investigadora. E-mail: [e-mail] bDirector. E-mail: [e-mail] cProfesor asociado. E-mail: [e-mail]
1. Background
A common problem in practical statistics is estimatig the difference of two proportions by means of interval estimation. This topic is especially important in clinical trials where it is necessary to investigate cure rates of two drugs or treatments. The theoretical background of this research is as follows: suppose that Xi,... ,Xni and Yi,... ,Yn2 are two independent samples such that Xị ~ Bernoulli(Pi) and Yj ~ Bernoulli(p2), with i = 1,...,ni and j = 1,...,n2. It is necessary to construct a conhdence interval or a credibility interval for the difference of the proportions pi — P2.
The most popular method for estimating Pi — P2 by means of frequentist confi- dence interval is the Wald interval, which is presented in most introductory statis- tics textbooks in spite of its poor performance. Many modihcations have been made to the Wald interval in order to improve it. One of them is the adjusted Wald interval obtained by widening the Wald interval to increase the coverage probability. This improvement is especially meaningful when the sample sizes are small. Another important interval is the score interval (Wilson 1927), obtained by inverting the score test statistics. This interval was first obtained for one proportion, and thereafter was to be extended to deal with the difference of two proportions. However, in that case, the interval lacks a closed form (Pan 2002) and must be computed by numerical approximations. Agresti & Caffo (2000) analyzed the score interval, and derived the Adding-4 method: add 2 successes and 2 failures to sample observation. A considerable number of authors agree that Agresti and Caffo method has a very good performance (Pan 2002, Correa & Sierra 2003, Agresti et al. 2008). Another interval obtained by modifying the score method is the Newcombe interval (Newcombe 1998a, 1998b), and it seems to have a similar performance to the Agresti and Caffo interval (Correa & Sierra 2003).
In the Bayesian approach, Pham-Gia & Turkkan (1993) used the hypergeo- metric Appell function and derived the posterior distribution of pi — p2 when beta priors are used for each proportion. Given the exact posterior distribution, an exact Bayesian credibility interval for Pi — P2 can be found. However the compu- tational procedures are somewhat tedious, therefore new computational methods such as the Markov Chain Monte Carlo (MCMC), can be used to make it easier to evaluate posterior distributions for Pi — P2, as Agresti & Min (2005) argued.
In the literature, many comparisons between conhdence intervals have been done (Newcombe 1998a, Newcombe 1998b, Agresti & Caffo 2000, Pan 2002, Correa & Sierra 2003). The aim of this research is to take into account Bayesian credibility intervals jointly with frequentist con

Kết quả (Việt) 1:

Revista Colombiana de EstadísticaJunio 2010, volumen 33, no. 1, pp. 63 a 88Sự tự tin và khoảng tin cậy cho cácSự khác biệt của hai tỷ lệIntervalos de confianza y de credibilidad para la diferencia de dosproporcionesHANWEN ZHANG1, một, HUGO ÀNDRÉS GưTIÉRREZ ROJAS1'b,EDILBERTO CEPEDA CUERYO2'01CENTRO DE INVESTIGACIONES y EsTUDios ESTADÍSTICOS (CIEES), FAOƯLTAD DEĐIỀU, ĐẠI HỌC SANTO TOMÁS, BOGOTÁ, COLOMBIA2DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA, FACULTAD DE CIENCIAS, UNIVERSIDAD NACIONAL DECOLOMBIA, BOGOTÁ, COLOMBIATóm tắtBài viết này trình bày một frequentist so sánh hiệu suất của khoảng thời gian con-fidence và độ tin cậy cho sự khác biệt của hai tỷ lệ từ hai mẫu độc lập. So sánh tiến hành xem xét ba frequentist tiêu chuẩn. Nó được tìm thấy rằng khoảng thời gian với tốt nhất perfor-mance, về phạm vi bảo hiểm xác suất, Bayesians; trong điều kiện độ dài dự kiến và phương sai của chiều dài, khoảng Newcombe cho thấy hiệu suất tốt nhất. Như là một lưu ý cuối cùng, nó đã được tìm thấy khoảng thời gian truyền thống như Wald và điều chỉnh Wald có một hiệu suất kém.Từ khóa: khoảng tin cậy, khoảng tin cậy, sự khác biệt của hai tỷ lệ...ResumenEste artículo presenta una comparación del comportamiento de interva los de confianza frecuentistas y de credibilidad bayesianos para la diferencia de dos proporciones provenientes de muestras aleatorias independientes. La comparación se lleva cabo considerando tres criterios frecuentistas con los cuales se concluyó que el mejor comportamiento, en términos de la proba bilidad de cobertura, lo tienen los intervalos bayesianos, y en términos de la longitud esperada y varianza de la longitud el mejor comportamiento está dado por el intervalo frecuentista de Newcombe. Como resultado de esta trong vestigación se encontró que los intervalos frecuentistas más populares como Wald y Wald tienen ajustado un comportamiento deficiente.Palabras clave: intervalos de confianza, intervalos de credibilidad, diferen-cia de dos proporciones.aDocente investigadora. E-mail: [e-mail] bDirector. E-mail: [e-mail] cProfesor asociado. E-mail: [e-mail]1. nềnMột vấn đề phổ biến trong số liệu thống kê thực tế là estimatig sự khác biệt của hai tỷ lệ bằng phương pháp ước lượng khoảng thời gian. Chủ đề này là đặc biệt quan trọng trong các thử nghiệm lâm sàng mà nó là cần thiết để điều tra tỷ lệ chữa của hai loại thuốc hoặc phương pháp điều trị. Lý thuyết nền tảng của nghiên cứu này là như sau: giả sử rằng Xi,..., Xni và Yi,..., Yn2 là độc lập hai mẫu như vậy mà Xị ~ Bernoulli(Pi) và Yj ~ Bernoulli(p2), với i = 1,..., ni và j = 1,..., n2. Nó là cần thiết để xây dựng một khoảng thời gian conhdence hoặc một khoảng tin cậy cho sự khác biệt về tỷ lệ pi-P2.Các phương pháp phổ biến nhất cho ước tính Pi-P2 bằng phương pháp frequentist confi-dence khoảng thời gian là khoảng thời gian Wald, được trình bày trong hầu hết các sách giáo khoa giới thiệu statis-tật máy dù có hiệu suất kém. Nhiều modihcations đã được thực hiện để khoảng Wald để cải thiện nó. Một trong số họ là điều chỉnh khoảng thời gian Wald thu được bằng cách mở rộng khoảng Wald để tăng khả năng bảo hiểm. Cải tiến này là có ý nghĩa đặc biệt là khi kích thước mẫu là nhỏ. Khoảng thời gian quan trọng khác là điểm khoảng thời gian (Wilson 1927), thu được bằng inverting thống kê điểm bài kiểm tra. Khoảng thời gian này lần đầu tiên có thể được cho một tỷ lệ, và sau đó đã được mở rộng để đối phó với sự khác biệt của hai tỷ lệ. Tuy nhiên, trong trường hợp đó, khoảng thời gian thiếu một hình thức đóng cửa (Pan 2002) và phải được tính toán bằng số xấp xỉ. Agresti & Caffo (2000) phân tích các điểm khoảng, và nguồn gốc các phương pháp thêm-4: thêm 2 thành công và thất bại 2 để quan sát mẫu. Một số lượng đáng kể của tác giả đồng ý rằng phương pháp Agresti và Caffo có một hiệu suất rất tốt (Pan 2002, Correa và Sierra 2003, Agresti et al. 2008). Một khoảng thời gian thu được bằng cách thay đổi phương pháp điểm là khoảng thời gian Newcombe (Newcombe 1998a, 1998b), và nó dường như có một hiệu suất tương tự như Agresti và Caffo khoảng thời gian (Correa & Sierra năm 2003).Trong phương pháp tiếp cận Bayes, phạm Gia & Turkkan (1993) được sử dụng chức năng Appell hypergeo-số liệu và nguồn gốc phân phối sau của pi-p2 khi beta priors được sử dụng cho mỗi phần. Được phân phối chính xác sau, một khoảng tin cậy Bayes chính xác cho Pi-P2 có thể được tìm thấy. Tuy nhiên, các compu - thủ tục tational là hơi tẻ nhạt, vì vậy phương pháp tính toán mới như các Markov chuỗi Monte Carlo (MCMC), có thể được sử dụng để làm cho nó dễ dàng hơn để đánh giá các phân phối sau cho Pi-P2, Agresti & Min (2005) lập luận.Trong văn học, nhiều so sánh giữa conhdence khoảng thời gian đã được thực hiện (Newcombe 1998a, Newcombe 1998b, Agresti & Caffo 2000, Pan 2002, Correa và Sierra năm 2003). Mục đích của nghiên cứu này là để đưa vào tài khoản tin cậy Bayes khoảng thời gian cùng với frequentist con

Kết quả (Việt) 2:

Revista Colombiana de Estadistica
Junio ​​2010, volumen 33, không có. 1, tr. 63 88
Niềm tin và sự tín nhiệm Khoảng cho các
khác biệt của hai Proportions
Intervalos de confianza y de credibilidad para la diferencia de dos
proporciones
HANWEN ZHANG1, một, HUGO Andres Gutierrez ROJAS1'b,
EDILBERTO Cepeda CUERYO2'0
1CENTRO de Investigaciones y Estudios ESTADÍSTICOS (CIEES), FAOƯLTAD DE
Estadistica, Universidad Santo Tomas, Bogota, Colombia
2DEPARTAMENTO DE Estadistica, FACULTAD DE CIENCIAS, Universidad Nacional de
Colombia, Bogota, Colombia
Tóm tắt
bài viết này trình bày một so sánh frequentist của việc thực hiện các khoảng fidence và uy tín niệm cho sự khác biệt của hai tỷ lệ từ hai mẫu độc lập. Việc so sánh được thực hiện xem xét ba tiêu chí frequentist. Nó đã được tìm thấy rằng khoảng thời gian với mance perfor tốt nhất, xét về khả năng phủ sóng, là Bayesians; về chiều dài dự kiến và phương sai của chiều dài, khoảng Newcombe cho thấy hiệu suất tốt nhất. Như một nhận xét ​​cuối cùng, nó đã được tìm thấy rằng khoảng thời gian truyền thống như Wald và điều chỉnh Wald có một hiệu suất kém.
Từ khóa: khoảng tin cậy, khoảng tin cậy, sự khác biệt của hai tỷ lệ ..
Resumen
Este artículo presenta una comparación del comportamiento de los interva- de confianza frecuentistas y de credibilidad bayesianos para la diferencia de dos proporciones provenientes de muestras aleatorias independientes. La comparación se lleva Cabo considerando tres criterios frecuentistas con los cuales se concluyó que el mejor comportamiento, en términos de la xác suất bilidad de Cobertura, lo Tienen los intervalos bayesianos, y en términos de la Longitud esperada y varianza de la Longitud el mejor comportamiento Esta phủ thạch cao por el intervalo frecuentista de Newcombe. Como Kết quả de esta trong- vestigación se encontró que los intervalos frecuentistas más populares como Wald y Wald ajustado Tienen un comportamiento deficiente.
Palabras clave: intervalos de confianza, intervalos de credibilidad, diferen- cia de dos proporciones.
ADocente investigadora. E-mail: [e-mail] bDirector. E-mail: [e-mail] cProfesor asociado. E-mail: [e-mail]
1. Bối cảnh
Một vấn đề thường gặp trong thống kê thực tế được estimatig sự khác biệt của hai tỷ lệ bằng dự toán khoảng thời gian. Chủ đề này là đặc biệt quan trọng trong các thử nghiệm lâm sàng nơi nó là cần thiết để điều tra tỷ lệ chữa khỏi hai loại thuốc hoặc phương pháp điều trị. Các nền tảng lý thuyết của nghiên cứu này là như sau: giả sử rằng Xi, ..., Xni và Yi, ..., Yn2 hai mẫu độc lập mà Xi ~ Bernoulli (Pi) và YJ ~ Bernoulli (p2), với i = 1, ..., ni và j = 1, ..., n2. Nó là cần thiết để xây dựng một khoảng conhdence hoặc một khoảng thời gian đáng tin cậy cho sự khác biệt về tỷ lệ pi -. P2
Phương pháp phổ biến nhất để ước lượng Pi - P2 bằng khoảng nguï cuûa mật như frequentist là khoảng thời gian Wald, được trình bày trong phần lớn giới thiệu sách giáo khoa tics statis- mặc dù hiệu suất kém của nó. Nhiều modihcations đã được thực hiện cho khoảng Wald để cải thiện nó. Một trong số đó là khoảng thời gian Wald điều chỉnh được bằng cách mở rộng khoảng Wald để tăng xác suất phủ sóng. Sự cải thiện này đặc biệt có ý nghĩa khi các mẫu có kích thước nhỏ. Một khoảng thời gian quan trọng là khoảng thời điểm (Wilson 1927), thu được bằng cách đảo ngược số liệu thống kê kiểm định điểm. Khoảng thời gian này lần đầu tiên được thu được cho một tỷ lệ, và sau đó đã được mở rộng để đối phó với sự khác biệt của hai tỷ lệ. Tuy nhiên, trong trường hợp đó, khoảng thời gian thiếu một hình thức đóng cửa (Pan 2002) và phải được tính toán bằng cách xấp xỉ bằng số. Agresti & Caffo (2000) đã phân tích khoảng thời điểm và nguồn gốc các Thêm-4 phương pháp: thêm 2 thành công và 2 thất bại để lấy mẫu quan sát. Một số lượng đáng kể của các tác giả đồng ý rằng Agresti và Caffo phương pháp có hiệu quả rất tốt (Pan 2002, Correa & Sierra 2003, Agresti et al. 2008). Một khoảng thời gian thu được bằng cách thay đổi phương pháp số là khoảng thời gian Newcombe (Newcombe 1998a, 1998b), và có vẻ như có một hiệu suất tương tự như Agresti và Caffo khoảng (Correa & Sierra 2003).
Trong cách tiếp cận Bayes, Phạm Gia & Turkkan (1993) đã sử dụng các số liệu hypergeo- chức năng Appell và có nguồn gốc phân bố sau pi - p2 khi priors beta được sử dụng cho từng phần. Với sự phối hậu chính xác, một khoảng thời gian đáng tin cậy Bayesian chính xác cho Pi - P2 có thể được tìm thấy. Tuy nhiên thủ tục tational compu- là hơi tẻ nhạt, do đó phương pháp tính toán mới như hình Markov Chain Monte Carlo (MCMC), có thể được sử dụng để làm cho nó dễ dàng hơn để đánh giá phân phối hậu nghiệm cho Pi - P2, như Agresti & Min (2005) lập luận.
trong văn học, nhiều sự so sánh giữa các khoảng conhdence đã được thực hiện (Newcombe 1998a, 1998b Newcombe, Agresti & Caffo 2000, Pan 2002, Correa & Sierra 2003). Mục đích của nghiên cứu này là để đưa vào các khoảng tin cậy Bayesian tài khoản cùng với con frequentist