Let n be the number of contestants,

Let n be the number of contestants, c be the number of contestants
who solved exactly 5 problems and pij be the number of contestants who
solved problems i and j, for 1 ≤ i, j ≤ 6. We know that:
X
i,j
pij ≥

6
2

2 n + 1
5
= 6 n + 3.
Also,
X
i,j
pij ≤

5
2

c +

4
2

(n − c) = 6 n + 4 c.
Therefore, 4c ≥ 3. This shows that there is at least one contestant who
solved exactly 5 problems. If 2 n + 1 is not divisible by 5, then we can
replace 2 n+1
5
in the above argument by 2 n+2
5
and this will imply that 4c ≥ 6
and hence there are at least two contestants who have solved 5 problems.
Now assume that 2 n + 1 is divisible by 5, i.e., n = 5 k + 2, for some positive
integer k. Assuming that there is exactly one person who has solved
5 problems and the rest have solved exactly 4 problems will lead to a contradiction,
as we now argue in two cases. We call the only person who has
solved 5 problems the champion.
Case 1. Assume that n is not divisible by 3. Let ai be the number of
contestants besides the champion who have solved problem i. Then
X
i
ai = 4 (n − 1) = 4 n − 4.
Let problem 1 be the problem that the champion missed. There are 5 pairs
of problems containing problem 1, and they have been solved by at least
5
2 n+1
5 = 2 n + 1 contestants. Since each person who has solved problem 1
has solved exactly 3 other problems, every such person has solved 3 of above
5 pairs of problems. Thus
3 a1 ≥ 2 n + 1.
For i > 1, the champion has solved 4 pairs that include i. The above
argument implies, 3 ai ≥ 2 n − 3. But, n is not divisible by 3. Therefore
3 ai ≥ 2 n − 2.
Adding the above inequalities we get:
X3 ai ≥ (2 n + 1) + 5 (2 n − 2) = 12 n − 9,
which is a contradiction because the left hand side is 12 n − 12.
SOLUTIONS FOR IMO 2005 PROBLEMS 7
Case 2. We are left with the case where n is divisible by 3 and is of the
form 5 k + 2, i.e., n = 15 h − 3, and each pair of problems is solved by at
least 6 h − 1 contestants. As before, assume that the champion has not
solved problem 1 and that a1 be the number of people who have solved this
problem. Each of them has solved 3 other problems. So they have each
solved 3 pairs of problems containing problem 1. That is:
3 a1 ≥ 5 (6 h − 1) = 30 h − 5.
But a1 is an integer; therefore,
(2) a1 ≥ 10 h − 1.
Restricting our attention to 10 pairs of problems that do not contain 1, we
observe that there are at least 10 (6 h − 1) contestants who have solved at
least one of these pairs. On the other hand, the champion has solved 10
pairs, the a1 contestants who have solved problem 1 have solved 3 a1 pairs
and the rest have solved
4
2


(15 h − 4 − a1) pairs. That is,
10 + 3 a1 +

4
2

(15 h − 4 − a1) ≥ 10 (6 h − 1) ⇒ 3 a1 ≤ 30 h − 4.
This contradicts the inequality (2). Therefore, more than one contestant
solved 5 problems

Kết quả (Việt) 2:

Cho n là số các thí sinh, c là các số thí sinh
đã giải quyết vấn đề một cách chính xác 5 và pij là số thí sinh
giải quyết vấn đề i và j, 1 ≤ i, j ≤ 6. Chúng ta biết rằng:
X
i, j
pij
≥?
6 2? 2 n + 1 5 = 6 n + 3. Ngoài ra, X i, j pij ≤? 5 2? c +? 4 2? (n - c). = 6 n + 4 c Vì vậy, 4c ≥ 3. Điều này cho thấy rằng có ít nhất một thí sinh giải quyết chính xác 5 vấn đề. Nếu 2 n + 1 không chia hết cho 5, sau đó chúng ta có thể thay thế 2 n + 1 5 trong đối số trên 2 n + 2 5 và điều này sẽ có nghĩa là 4c ≥ 6 và do đó có ít nhất hai thí sinh đã giải quyết 5 vấn đề. Bây giờ giả sử rằng 2 n + 1 chia hết cho 5, tức là, n = 5 k + 2, đối với một số dương k số nguyên. Giả sử rằng có đúng một người đã giải quyết 5 vấn đề và phần còn lại đã giải quyết chính xác 4 vấn đề sẽ dẫn đến một mâu thuẫn, như chúng ta tranh luận trong hai trường hợp. Chúng tôi kêu gọi những người duy nhất được giải quyết 5 vấn đề các nhà vô địch. Trường hợp 1. Giả sử rằng n không chia hết cho 3. Hãy ai có số lượng thí sinh bên cạnh những nhà vô địch người đã giải quyết được vấn đề tôi. Sau đó, X i ai = 4 (n - 1) = 4 n - 4. Hãy vấn đề 1 là vấn đề mà các nhà vô địch đã bỏ lỡ. Có 5 cặp của các vấn đề có vấn đề 1, và họ đã được giải quyết bằng cách ít nhất 5 2 n + 1 5 = 2 n + 1 thí sinh. Vì mỗi người đã giải quyết vấn đề 1 đã giải quyết đúng 3 vấn đề khác, mỗi người như vậy đã giải quyết 3 trên 5 cặp của các vấn đề. Như vậy 3 a1 ≥ 2 n + 1. Đối với i> 1, nhà vô địch đã giải quyết được 4 cặp bao gồm i. Trên lập luận ngụ ý, 3 ai ≥ 2 n - 3. Nhưng, n không chia hết cho 3. Do đó 3 ai ≥ 2 n - 2. Bổ sung thêm sự bất bình đẳng ở trên ta có: X3 ai ≥ (2 n + 1) + 5 ( 2 n - 2) = 12 n - 9, đó là một mâu thuẫn vì phía bên tay trái là 12 n - 12. GIẢI PHÁP CHO IMO 2005 VẤN ĐỀ 7 Trường hợp 2. Chúng tôi là trái với trường hợp n chia hết cho 3 và là của các hình thức 5 k + 2, tức là, n = 15 h - 3, và mỗi cặp của các vấn đề được giải quyết bằng tại ít nhất 6 h - 1 thí sinh. Như trước đây, giả định rằng nhà vô địch đã không giải quyết vấn đề 1 và a1 đó là số lượng người đã giải quyết này vấn đề. Mỗi người trong số họ đã giải quyết 3 vấn đề khác. Vì vậy, họ đã từng giải quyết 3 vấn đề cặp có chứa vấn đề 1. Đó là: 3 a1 ≥ 5 (6 h - 1) = 30 h - 5. Nhưng a1 là một số nguyên; Do đó, (2) a1 ≥ 10 h - 1. Hạn chế sự chú ý của chúng tôi để 10 cặp của các vấn đề mà không chứa 1, chúng ta quan sát rằng có ít nhất 10 (6 h - 1) thí sinh đã được giải quyết tại ít nhất một trong các cặp . Mặt khác, nhà vô địch đã giải quyết được 10 cặp, các thí sinh a1 người đã giải quyết được vấn đề 1 đã giải quyết 3 a1 cặp và phần còn lại đã giải quyết được 4 2? (15 h - 4 - a1) cặp. Đó là, 10 + 3 a1 +? 4 2? (15 h - 4 - a1) ≥ 10 (6 h - 1) ⇒ 3 a1 ≤ 30 h - 4. Điều này mâu thuẫn với bất bình đẳng (2). Vì vậy, nhiều hơn một thí sinh giải quyết 5 vấn đề