In this paper, we are concerned wit

In this paper, we are concerned with the numerical solution
of systems of N ordinary differential equations with initial
conditions of the form
(1)
We assume that the function f is such that
(2)
where is any norm or semi-norm. It is also assumed that
f satisfies a discrete analog of inequality (2),
(3)
for the forward Euler (FE) method with a step size smaller
than a maximal step size Here is a numerical
approximation of We are interested in
higherorder multistep Hermite–Birkhoff (HB) methods that
preserve the strong stability property [4], also called
monotonicity property [10],
(4)
for whenever condition (3) holds for the FE
method. The positive integer k represents the number of
previous steps used to compute the next solution value. The
SSP property(4) is desirable in that it mimics property (2) of the
true solution and prevents error growth.
Strong-stability-preserving (SSP) methods have been developed
to satisfy the SSP property (4) for system (1) whenever the FE
condition (3) is fulfilled. The SSP property is guaranteed under
the maximum time step where the SSP
coefficient c depends only on the numerical integration method
but not on f. Considerable research effort has been devoted to
find numerical methods with largest c among various classes of
methods (see [4], [8]).
The main application of such SSP results are found in the
numerical solution of hyperbolic PDEs, in particular, of
conservation laws, an instance of which is the one-dimensional
equation
(5)
where the spatial derivative is approximated by a
conservative finite difference or finite element at
j = 1, 2, . . . , N, (see, for example, [7], [21], [30], [1]). Such
spatial semi-discretization will lead to system (1) of ODEs.
Recently, several new SSP methods have been constructed as
combinations of multistep and explicit Runge–Kutta (RK)
methods [13]–[18].
In this paper, to solve system (1), we construct new explicit,
SSP, k-step, s-stage, general linear methods of order p with
nonnegative coefficients as combinations of linear k-step
methods of order p − 3 and s-stage RK methods of order 4. We
shall denote these new SSP methods by HB(k, s, p) since HB
interpolation polynomials enter in their construction as it is
briefly sketched in Section II (see [19] for fuller developments).
The objective of high-order SSP HB time discretizations is to
maintain the SSP property (4) while achieving higher-order
accuracy in time, perhaps with a modified CFL restriction,
measured here with an SSP coefficient, c(HB(k, s, p)):
(6)
The SSP coefficient, historically called CFL coefficient,
describes the ratio of the SSP time step to the strongly stable FE
time step (see [4]). Since our arguments are based on convex
decompositions of high-order methods in terms the SSP FE
method, such high-order methods are SSP in any norm once FE
is shown to be strongly stable. We use this fact to extend the

Kết quả (Việt) 1:

Trong bài báo này, chúng tôi đang quan tâm đến giải pháp sốtrong hệ thống của N phương trình vi phân thường với ban đầuđiều kiện của các hình thức(1)Chúng ta giả sử hàm f là như vậy mà(2)bất kỳ chỉ tiêu hoặc định mức bán ở đâu. Nó cũng giả định rằngf thỏa mãn một tương tự rời rạc của bất đẳng thức (2),(3)Đối với phương pháp Euler (FE) chuyển tiếp với kích thước bước nhỏso với một kích thước tối đa bước dưới đây là một sốxấp xỉ của chúng ta đang quan tâm đếnphương pháp Hermite-Birkhoff (HB) multistep higherorder màbảo quản tài sản ổn định [4], còn được gọi làbất động sản monotonicity [10],(4)Đối với bất cứ khi nào có điều kiện (3) giữ cho FEphương pháp. K nguyên dương tượng trưng cho số lượngbước trước đó được sử dụng để tính toán các giá trị tiếp theo của giải pháp. CácSSP property(4) là hấp dẫn ở chỗ nó bắt chước các bất động sản (2) của cácđúng giải pháp và ngăn ngừa sự phát triển của lỗi.Mạnh mẽ-sự ổn định giữ gìn các phương pháp (SSP) đã được phát triểnđể đáp ứng bất động sản SSP (4) cho hệ thống (1) bất cứ khi nào FEđiều kiện (3) được hoàn thành. Bất động sản SSP được đảm bảo theotối đa thời gian bước nơi SSPHệ số c chỉ phụ thuộc vào phương pháp số tích hợpnhưng không phải trên f. nghiên cứu đáng kể nỗ lực đã được dành choTìm các phương pháp tính với c lớn nhất trong các tầng lớp khác nhau củaphương pháp (xem [4], [8]).Các ứng dụng chính của kết quả SSP đó được tìm thấy trong cácCác giải pháp số của hyperbol PDEs, đặc biệt, củapháp luật bảo tồn, một trường hợp trong đó là những chiềuphương trình(5)nơi bắt nguồn từ không gian xấp xỉ bởi mộtsự khác biệt hữu hạn bảo thủ hay các phần tử hữu hạn tạij = 1, 2,..., N, (xem, ví dụ, [7], [21], [30], [1]). Như vậykhông gian bán discretization sẽ dẫn đến hệ thống (1) soạn.Gần đây, một số phương pháp SSP mới đã được xây dựng nhưsự kết hợp của multistep và rõ ràng Runge-Kutta (RK)phương pháp [13]-[18].Trong bài báo này, để giải quyết các hệ thống (1), chúng tôi xây dựng mới rõ ràng,SSP, k – bước, s-giai đoạn, tổng hợp phương pháp tuyến tính thứ tự p vớiCác hệ số vô như tổ hợp tuyến tính k-bướcphương pháp tự p − 3 và s-sân khấu RK các phương pháp đơn đặt hàng 4. Chúng tôisẽ biểu thị những phương pháp mới này SSP bởi HB (k, s, p) kể từ khi HBnội suy đa thức nhập trong xây dựng của họ như nó làmột thời gian ngắn đã phác thảo trong phần II (xem [19] để phát triển đầy đủ hơn).Mục tiêu của trật tự cao SSP HB thời gian discretizationsduy trì tài sản SSP (4) trong khi đạt được cao hơn đơn đặt hàngđộ chính xác trong thời gian, có lẽ với một hạn chế sửa đổi của CFL,đo với một SSP hệ số, c (HB (k, s, p)):(6)Hệ số SSP, trong lịch sử được gọi là hệ số CFL,Mô tả tỷ lệ SSP bước thời gian để ổn định mạnh mẽ FEthời gian bước (xem [4]). Kể từ khi lập luận của chúng tôi được dựa trên lồiDecompositions của trật tự cao phương pháp trong điều khoản SSP FEphương pháp, phương pháp đơn đặt hàng cao như vậy là SSP trong bất kỳ chỉ tiêu từng FEđược hiển thị để ổn định mạnh mẽ. Chúng tôi sử dụng điều này thực tế để mở rộng các

Kết quả (Việt) 2:

Trong bài báo này, chúng tôi đang quan tâm đến các giải pháp số
của hệ thống N phương trình vi phân thường với ban đầu
điều kiện của mẫu
(1)
Chúng tôi giả định rằng hàm f là như vậy mà
(2)
mà là bất kỳ tiêu chuẩn hoặc bán mức. Nó cũng giả định rằng
thỏa mãn f một analog riêng biệt của bất đẳng thức (2),
(3)
cho các phương pháp tiếp Euler (FE) với kích thước bước nhỏ
hơn một kích thước bước tối đa Đây là một số
xấp xỉ của Chúng tôi quan tâm đến
Hermite nhiều bước higherorder -Birkhoff (HB) phương pháp
bảo quản tài sản mạnh mẽ ổn định [4], cũng được gọi là
đơn điệu tài sản [10],
(4)
cho bất cứ khi nào điều kiện (3) giữ cho FE
phương pháp. Các số nguyên dương k đại diện cho số của
các bước trước đó được sử dụng để tính toán các giá trị giải pháp tiếp theo. Các
bất động sản (4) SSP là mong muốn ở chỗ nó bắt chước bất động sản (2) của
giải pháp đúng và ngăn ngừa sự tăng trưởng lỗi.
Strong-ổn định-bảo quản (SSP) phương pháp đã được phát triển
để đáp ứng các tài sản SSP (4) cho hệ thống (1) bất cứ khi nào FE
điều kiện (3) được hoàn thành. Các tài sản SSP được bảo hành theo
các bước thời gian tối đa mà SSP
hệ số c chỉ phụ thuộc vào phương pháp tích phân số
, nhưng không phải trên f. Nỗ lực nghiên cứu đáng kể đã được dành để
tìm phương pháp số với c lớn nhất trong số các lớp học khác nhau của
phương pháp (xem [4], [8]).
Các ứng dụng chính của kết quả SSP như vậy được tìm thấy trong các
giải pháp số của PDEs hyperbolic, đặc biệt về
định luật bảo toàn, một ví dụ trong số đó là một chiều
phương trình
(5)
nơi đạo hàm không gian được xấp xỉ bằng một
sự khác biệt hữu hạn bảo thủ hay phần tử hữu hạn tại
j = 1, 2,. . . , N, (xem, ví dụ, [7], [21], [30], [1]). Như vậy
không gian bán rời rạc sẽ dẫn đến hệ thống (1) của ODEs.
Gần đây, một số phương pháp SSP mới đã được xây dựng như là
sự kết hợp của nhiều bước và (RK) Runge-Kutta rõ ràng
phương pháp [13] - [18].
Trong bài báo này, để giải quyết hệ thống (1), chúng ta xây dựng mới rõ ràng,
SSP, k bước, là giai đoạn, phương pháp tuyến tính tổng quát của lệnh p với
hệ số không âm là sự kết hợp của k bước tuyến tính
phương pháp để p - 3 và s-giai đoạn phương pháp RK của để 4. Chúng tôi
sẽ biểu thị những phương pháp SSP mới của HB (k, s, p) vì HB
đa thức nội suy nhập trong xây dựng của họ vì nó được
phác thảo ngắn gọn trong Phần II (xem [19] cho sự phát triển đầy đủ hơn).
Mục tiêu của cao để SSP HB thời gian discretizations là để
duy trì tài sản (4) SSP trong khi đạt bậc cao
độ chính xác trong thời gian, có lẽ với một hạn chế CFL sửa đổi,
đo ở đây với một hệ số SSP, c (HB (k, s, p)):
( 6)
hệ số SSP, lịch sử được gọi là hệ số CFL,
mô tả tỷ lệ của thời gian bước SSP FE ổn định mạnh mẽ
bước thời gian (xem [4]). Kể từ khi lập luận của chúng tôi được dựa trên lồi
phân tách các phương pháp bậc cao về SSP FE
phương pháp, phương pháp bậc cao như vậy là SSP trong bất kỳ định mức một lần FE
được thể hiện là mạnh mẽ ổn định. Chúng tôi sử dụng thực tế này để mở rộng