vector u is said to be dominant, or

vector u is said to be dominant, or better than the solution x(2) with performance vector v, if

both the following conditions hold: (i) the solution x(1) is no worse than x(2) in all objectives

and (ii) the solution x(1) is strictly better than x(2) in at least one objective. This notion can be

generalized in the following equation:

u ≺ v iff [∀i ∈ {1, 2,..., n}, ui ≤ vi] ∩ [∃i ∈ {1, 2,..., n}|ui < vi] (7.14)

where it holds that u ≺ v ⇔ x(1) ≺ x(2). For a given finite set of solutions, we need to perform

pairwise comparisons to find out which solutions dominate and which are dominated. From

these comparisons, we can find a subset of the finite set of solutions such that any two solutions

which do not dominate each other, and all the other solutions of the finite set, are dominated

by one or more members of this subset. This subset is called the non-dominated set for the

given set of solutions. A solution is said to be Pareto-optimal if it is not dominated by any

other possible solution. This is described by:

x(1) ∈ xPO iff ∃/ x(2) ∈ |x(2) ≺ x(1) (7.15)

where xPO is the set of Pareto optimal solutions and is the set of all feasible solutions.

The Pareto front is the set of points in the criterion space that correspond to Pareto-optimal

solutions.

In an MOEA, a randomly selected population is generated within a specific range. Each

individual of the population is evaluated with the objective functions. Figure 7.1 shows many

solutions trading off differently between the objectives for a two-objective minimization

problem. Any two solutions from the feasible objective space can be compared. For a pair of

solutions, it can be seen that one solution is better than the other in the first objective but worse

in the second objective. The individuals that fall close to either axes or the origin of the two-
dimensional objective space are better than those away from the axes or origin. In the objective

Objective 2

1

1

1

o Non-dominated solutions

Dominated solutions

F

6 7

3

G

3

1

A

3

1

1

Figure 7.1 Dominated and non-dominated solutions with ranking

Evolutionary Systems 245

space, some individuals may be found (such as the individuals denoted by E, A, G and F in

Figure 7.1) falling on an outer edge and close to the axes or origin and having one objective

better than the other. For clarity, these individuals are joined by a dotted line in Figure 7.1. All

the individuals lying on this curve form a set called the non-dominated solution set or Pareto-
optimal set. The curve formed by joining these solutions is called the Pareto-optimal front.

Individuals A, E, F and G are called non-dominated because no other individuals provide

better performance in the objective space. On the other hand, individuals falling away from

edges, such as B, C and D, are called dominated solutions since many individuals provide

better performance than these in terms of both objectives. The dominated and non-dominated

solutions are shown in Figure 7.1. For example, individual A dominates individual B, similarly

B dominates C and C dominates D in the objective space in terms of both objectives. In the pro-
cess, each individual is ranked according to their degree of dominance. An individual’s ranking

equals the number of individuals better than it in terms of both objectives plus one. Individuals

on the Pareto-optimal front (denoted by a small circle) are non-dominated and have a ranking

of one. Individuals inside the Pareto-optimal front (denoted by a small triangle) have higher

ranking than one. The numbers shown in Figure 7.1 correspond to their ranking. The main

goal of an ideal multi-objective optimization is to find as many Pareto-optimal solutions as

possible. Therefore, the objective of EAs would be to provide a diverse population of solutions.

Owing to the advantages of population-based EAs over the various difficulties in find-
ing multiple Pareto-optimal solutions using classical multi-objective optimization techniques,

currently researchers are exploiting EAs extensively for multi-objective optimization. A brief

discussion on the difficulties of classical multi-objective optimization methods can be found

in Deb (2008). The first application of EAs in multi-objective optimization was reported by

Schaffer (1985). He proposed a vector-evaluated GA (also known as VEGA). Since then,

research in MOEAs was dispersed up until the mid-1990s. Inspired by Goldberg’s (1989)

suggestion, different versions of MOEA were reported, such as the Niched Pareto genetic algo-
rithm (NPGA) proposed by Horn et al. (1993, 1994). Fonseca and Fleming (1993) introduced

a multi-objective GA (also known as MOGA) and the non-dominated sorting GA (NSGA) was

developed by Srinivas and Deb (1994). Multi-objective evolutionary algorithms have proved

to be very powerful tools for many complex problems and have become increasingly popular

in a wide variety of application domains.

The basic principle of developing an EA-based algorithm is to use Pareto-based fitness

to identify non-dominated individuals from the current population. Thus, an MOEA should

guide the search towards a Pareto-optimal front and maintain diversity of known Pareto-optimal

solutions. A generic algorithm of an MOEA would consist of the meta-level procedures shown

in Figure 7.2.

The genetic diversity of a population can be lost due to the stochastic selection pressure.

Fitness sharing based on the niching method can overcome this. The basic idea of fitness sharing

is that all individuals within the same region (called a niche) share their fitness. Therefore,

individuals in over-populated regions will experience a greater fitness decrease than isolated

individuals. A new fitness function based on a ranking process has been suggested by Goldberg

and Richardson (1987). A non-dominated sorting-based fitness-sharing technique was used in

MOGA. Here, share counts are computed based on an individual’s distance in the objective

domain, but only between individuals with the same rank. Details of this method can be found

in Fonseca and Fleming (1998a,b). The stochastic universal sampling method is used to select

the best individuals. However, mating restrictions are employed in order to protect genetic

drifts and premature convergence.

Kết quả (Việt) 1:

vector u nói được chi phối, hoặc tốt hơn so với giải pháp x(2) với hiệu suất vector v, nếuGiữ cả hai điều kiện sau: (i) x(1) giải pháp là không tồi tệ hơn x(2) trong tất cả các mục tiêuvà (ii) giải pháp x(1) là nghiêm ngặt hơn x(2) trong ít nhất một mục tiêu. Khái niệm này có thểTổng quát trong phương trình sau đây:u ≺ v iff [∀i ∈ {1, 2,..., n}, giao diện người dùng ≤ vi] ∩ [∃i ∈ {1, 2,..., n} |ui < vi] (7.14)nơi mà nó giữ rằng u ≺ v ⇔ x(1) ≺ x(2). Cho một tập hữu hạn nhất định của giải pháp, chúng ta cần phải thực hiệncử so sánh để tìm ra giải pháp mà thống trị và đó bị áp đảo. Từnhững so sánh, chúng tôi có thể tìm thấy một tập hợp con của hữu hạn thiết lập của giải pháp như vậy rằng bất cứ hai giải phápmà không làm chiếm ưu thế lẫn nhau, và tất cả các giải pháp khác của bộ hữu hạn, bị áp đảobởi một hoặc nhiều thành viên của nhóm này. Tập con này được gọi là tập hợp phòng không chủ yếu cho cáctập hợp các giải pháp. Một giải pháp được gọi là tối ưu Pareto nếu nó không bị chi phối bởi bất kỳgiải pháp có thể. Điều này được mô tả bởi:x(1) ∈ xPO iff ∃ / x(2) ∈ |x(2) ≺ x(1) (7,15)nơi xPO là tập hợp của Pareto giải pháp tối ưu và là tập hợp của tất cả các giải pháp khả thi.Phía trước Pareto là tập hợp các điểm trong không gian tiêu chuẩn tương ứng phải tối ưu Paretogiải pháp.Trong một MOEA, một dân số lựa chọn ngẫu nhiên được tạo ra trong một phạm vi cụ thể. Mỗicá nhân dân được đánh giá với các chức năng mục tiêu. Hình 7,1 cho thấy nhiềusolutions trading off differently between the objectives for a two-objective minimizationproblem. Any two solutions from the feasible objective space can be compared. For a pair ofsolutions, it can be seen that one solution is better than the other in the first objective but worsein the second objective. The individuals that fall close to either axes or the origin of the two-dimensional objective space are better than those away from the axes or origin. In the objectiveObjective 2111o Non-dominated solutionsDominated solutionsF6 73G31A311Figure 7.1 Dominated and non-dominated solutions with rankingEvolutionary Systems 245space, some individuals may be found (such as the individuals denoted by E, A, G and F inFigure 7.1) falling on an outer edge and close to the axes or origin and having one objectivebetter than the other. For clarity, these individuals are joined by a dotted line in Figure 7.1. Allthe individuals lying on this curve form a set called the non-dominated solution set or Pareto-optimal set. The curve formed by joining these solutions is called the Pareto-optimal front.Individuals A, E, F and G are called non-dominated because no other individuals providebetter performance in the objective space. On the other hand, individuals falling away fromedges, such as B, C and D, are called dominated solutions since many individuals providebetter performance than these in terms of both objectives. The dominated and non-dominatedgiải pháp được thể hiện trong hình 7,1. Ví dụ, A cá nhân chi phối cá nhân B, tương tự như vậyB chi phối C và C chi phối D trong không gian khách quan trong điều khoản của cả hai mục tiêu. Trong pro-Cess, mỗi cá nhân được xếp hạng theo mức độ của sự thống trị. Xếp hạng của một cá nhânbằng số lượng cá nhân tốt hơn so với nó trong điều khoản của cả hai mục tiêu cộng 1. Cá nhântrên mặt trận tối ưu Pareto (biểu hiện bằng một vòng tròn nhỏ) được phòng không chủ yếu và có một thứ hạngcủa một. Cá nhân bên trong mặt tối ưu Pareto (biểu hiện bằng một hình tam giác nhỏ) có cao hơnXếp hạng hơn một. Những con số hiển thị trong hình 7,1 tương ứng với xếp hạng của họ. Chínhmục tiêu của một tối ưu hóa đa mục tiêu lý tưởng là để tìm ra giải pháp tối ưu Pareto như nhiều nhưcó thể. Vì vậy, mục tiêu của EAs sẽ là cung cấp cho một dân số đa dạng của giải pháp.Do những lợi thế của EAs dân dựa trên những khó khăn khác nhau trong tìm-ing nhiều giải pháp tối ưu Pareto sử dụng kỹ thuật tối ưu hóa đa khách quan cổ điển,hiện nay các nhà nghiên cứu đang khai thác EAs rộng rãi cho nhiều mục tiêu tối ưu hóa. Một giới thiệu tóm tắtthảo luận về những khó khăn của phương pháp cổ điển đa mục tiêu tối ưu hóa có thể được tìm thấyở Deb (2008). Ứng dụng đầu tiên của EAs trong tối ưu hóa đa mục tiêu đã được báo cáo bởiSchaffer (1985). Ông đề nghị một véc tơ đánh giá GA (còn được gọi là VEGA). Kể từ đó,Các nghiên cứu trong MOEAs được phân tán cho đến giữa thập niên 1990. Lấy cảm hứng của Goldberg (1989)suggestion, different versions of MOEA were reported, such as the Niched Pareto genetic algo-rithm (NPGA) proposed by Horn et al. (1993, 1994). Fonseca and Fleming (1993) introduceda multi-objective GA (also known as MOGA) and the non-dominated sorting GA (NSGA) wasdeveloped by Srinivas and Deb (1994). Multi-objective evolutionary algorithms have provedto be very powerful tools for many complex problems and have become increasingly popularin a wide variety of application domains.The basic principle of developing an EA-based algorithm is to use Pareto-based fitnessto identify non-dominated individuals from the current population. Thus, an MOEA shouldguide the search towards a Pareto-optimal front and maintain diversity of known Pareto-optimalsolutions. A generic algorithm of an MOEA would consist of the meta-level procedures shownin Figure 7.2.The genetic diversity of a population can be lost due to the stochastic selection pressure.Fitness sharing based on the niching method can overcome this. The basic idea of fitness sharingis that all individuals within the same region (called a niche) share their fitness. Therefore,individuals in over-populated regions will experience a greater fitness decrease than isolatedindividuals. A new fitness function based on a ranking process has been suggested by Goldbergand Richardson (1987). A non-dominated sorting-based fitness-sharing technique was used inMOGA. Here, share counts are computed based on an individual’s distance in the objectivedomain, but only between individuals with the same rank. Details of this method can be foundin Fonseca and Fleming (1998a,b). The stochastic universal sampling method is used to selectthe best individuals. However, mating restrictions are employed in order to protect geneticdrifts and premature convergence.

Kết quả (Việt) 2:

vector u được cho là chi phối, hoặc tốt hơn (2) giải pháp x với vector hiệu suất v, nếu cả hai điều kiện sau đây giữ: (i) các giải pháp x (1) là không tồi tệ hơn x (2) trong tất cả các mục tiêu và (ii) các giải pháp x (1) là đúng hơn x (2) trong ít nhất một mục tiêu. Khái niệm này có thể được khái quát trong các phương trình sau: u ≺ v iff [∀i ∈ {1, 2, ..., n}, ui ≤ vi] ∩ [∃i ∈ {1, 2, ..., n} | ui <vi] (7.14) mà nó cho rằng u ≺ v ⇔ x (1) ≺ x (2). Đối với một tập hợp hữu hạn được đưa ra các giải pháp, chúng ta cần phải thực hiện các so sánh cặp để tìm ra các giải pháp chi phối và được thống trị. Từ những so sánh này, chúng ta có thể tìm thấy một tập hợp con của tập hợp hữu hạn của các giải pháp như vậy mà bất kỳ hai giải pháp mà không chiếm ưu thế cho nhau, và tất cả các giải pháp khác của các tập hữu hạn, bị chi phối bởi một hoặc nhiều thành viên của nhóm này. Tập hợp này được gọi là tập không bị chi phối cho các tập hợp các giải pháp. Một giải pháp được cho là tối ưu Pareto-nếu nó không bị chi phối bởi bất kỳ giải pháp khác có thể có. Điều này được mô tả bởi: x (1) ∈ XPO iff ∃ / x (2) ∈ | x (2) ≺ x (1) (7.15), nơi XPO là tập hợp của Pareto giải pháp tối ưu và là tập hợp của tất cả các giải pháp khả thi. Mặt trước Pareto là tập hợp các điểm trong không gian tiêu chuẩn tương ứng với Pareto tối ưu giải pháp. Trong một MOEA, dân cư lựa chọn ngẫu nhiên được tạo ra trong một phạm vi cụ thể. Mỗi cá nhân của dân số được đánh giá với chức năng khách quan. Hình 7.1 cho thấy nhiều giải pháp kinh doanh tắt khác nhau giữa các mục tiêu cho một giảm thiểu hai quan vấn đề. Bất kỳ hai giải pháp từ các không gian Mục tiêu khả thi có thể được so sánh. Đối với một cặp của các giải pháp, có thể thấy rằng một trong những giải pháp là tốt hơn so với các khác trong mục tiêu đầu tiên nhưng tệ hơn trong mục tiêu thứ hai. Các cá nhân mà rơi gần một trong hai trục hoặc nguồn gốc của hai không gian quan chiều là tốt hơn so với những người xa các trục hoặc nguồn gốc. Trong mục tiêu Mục tiêu 2 1 1 1 o các giải pháp phi thống trị chi phối giải pháp F 6 7 3 G 3 1 A 3 1 1 Hình 7.1 Thống trị và giải pháp không chiếm ưu thế với bảng xếp hạng Hệ thống tiến hóa 245 không gian, một số cá nhân có thể được tìm thấy (như cá nhân được biểu thị bằng E, A, G và F trong Hình 7.1) rơi vào một cạnh bên ngoài và gần các trục hoặc nguồn gốc và có một mục tiêu tốt hơn so với khác. Để rõ ràng, những cá nhân được tham gia bởi một đường chấm chấm trong hình 7.1. Tất cả các cá nhân nằm trên đường cong này tạo thành một bộ gọi là bộ giải pháp không bị chi phối hoặc Pareto- tối ưu các thiết lập. Các đường cong được hình thành bằng cách tham gia các giải pháp này được gọi là mặt trước Pareto tối ưu. Cá nhân A, E, F và G được gọi là không bị chi phối bởi vì không có cá nhân khác cung cấp hiệu suất tốt hơn trong không gian khách quan. Mặt khác, cá nhân thuộc xa cạnh, như B, C và D, được gọi là các giải pháp chi phối từ nhiều cá nhân cung cấp hiệu suất tốt hơn so với những cả về mục tiêu. Các chi phối và không chi phối các giải pháp được thể hiện trong hình 7.1. Ví dụ, cá nhân A chiếm ưu thế cá nhân B, tương tự như B thống trị C và C D chiếm ưu thế trong không gian khách quan cả về mục tiêu. Trong trình cess, mỗi cá nhân được xếp theo mức độ của họ về sự thống trị. Thứ hạng của một cá nhân bằng số lượng cá thể tốt hơn so với nó cả về mục tiêu cộng với một. Cá nhân trên mặt trước Pareto tối ưu (biểu thị bằng một vòng tròn nhỏ) là không chiếm ưu thế và có một thứ hạng của một. Cá nhân trong mặt trước Pareto tối ưu (biểu thị bằng một hình tam giác nhỏ) có cao hơn thứ hạng hơn một. Các con số hiển thị trong hình 7.1 tương ứng với thứ hạng của họ. Các chính mục tiêu của một tối ưu hóa đa mục tiêu lý tưởng là phải tìm nhiều giải pháp tối ưu Pareto-như có thể. Do đó, mục tiêu của địa bàn sẽ được cung cấp một dân số đa dạng của các giải pháp. Do những lợi thế của địa bàn dân cư dựa trên những khó khăn khác nhau trong find- ing nhiều Pareto tối ưu giải pháp sử dụng kỹ thuật tối ưu đa mục tiêu cổ điển, hiện nay các nhà nghiên cứu đang khai thác địa bàn rộng rãi để tối ưu hóa đa mục tiêu. Một tóm tắt cuộc thảo luận về những khó khăn của phương pháp tối ưu hóa đa mục tiêu cổ điển có thể được tìm thấy trong Deb (2008). Ứng dụng đầu tiên của EA trong tối ưu hóa đa mục tiêu đã được báo cáo bởi Schaffer (1985). Ông đề nghị một vector-đánh giá GA (còn được gọi là VEGA). Kể từ đó, nghiên cứu trong MOEAs đã được phân tán cho đến giữa những năm 1990. Lấy cảm hứng từ (1989) Goldberg của đề nghị, các phiên bản khác nhau của MOEA đã được báo cáo, chẳng hạn như các Niched Pareto algo- di truyền rithm (NPGA) bởi Horn et al. (1993, 1994). Fonseca và Fleming (1993) đã giới thiệu một đa mục tiêu GA (còn được gọi là Moga) và không bị chi phối phân loại GA (NSGA) được phát triển bởi Srinivas và Deb (1994). Thuật toán tiến hóa đa mục tiêu đã được chứng minh là công cụ rất mạnh mẽ đối với nhiều vấn đề phức tạp và ngày càng trở nên phổ biến trong một loạt các lĩnh vực ứng dụng. Các nguyên tắc cơ bản của việc phát triển một thuật toán EA dựa trên là sử dụng Pareto dựa trên tập thể dục để xác định không cá nhân chi phối từ dân số hiện nay. Như vậy, một MOEA nên hướng dẫn tìm kiếm theo hướng một mặt trận Pareto tối ưu và duy trì sự đa dạng của Pareto tối ưu được biết đến giải pháp. Một thuật toán chung của một MOEA sẽ bao gồm các thủ tục meta-mức thể hiện trong hình 7.2. Sự đa dạng di truyền của một quần thể có thể bị mất do áp lực lựa chọn ngẫu nhiên. Fitness chia sẻ dựa trên các phương pháp niching thể khắc phục điều này. Ý tưởng cơ bản của việc chia sẻ tập thể dục là tất cả các cá nhân trong cùng một vùng (gọi là một niche) chia sẻ tập thể dục của họ. Do đó, cá nhân trong quá đông dân vùng sẽ được trải nghiệm một giảm thể dục lớn hơn cô lập cá nhân. Một chức năng tập thể dục mới dựa trên một quy trình xếp hạng đã được đề xuất bởi Goldberg và Richardson (1987). Một kỹ thuật thể dục chia sẻ không giới thống trị phân loại dựa trên đã được sử dụng trong Moga. Ở đây, phần đếm được tính dựa trên khoảng cách của một cá nhân trong các mục tiêu tên miền, nhưng chỉ giữa các cá nhân với cùng một cấp bậc. Chi tiết về phương pháp này có thể được tìm thấy trong Fonseca và Fleming (1998a, b). Các phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên phổ quát được sử dụng để chọn những cá nhân tốt nhất. Tuy nhiên, hạn chế giao phối được áp dụng để bảo vệ di truyền trôi và hội tụ sớm.