4.2 The method of successive approx

4.2 The method of successive approximations

We have observed that solutions in finite closed form only apply to certain special types of differential equations. This is true for the integral equations also. If an equation does not belong to one of these categories, in which case analytical solu- tions are not possible to obtain, we need to use approximate methods. The phase plane method, with graphical depiction of Chapter 4 of Applied Numerical Analysis by Rahman [8], gives a good general idea of the nature of the solution, but it cannot be relied upon for numerical values.
In this chapter, we shall consider three approximate methods: the first one is the Picard’s method to obtain successive algebraic approximations. (E. T. Picard, Pro- fessor at the University of Paris, one of the most distinguished mathematicians of his time. He is well known for his researches on the Theory of Functions, and his Traite d’ analysis is a standard textbook). By putting numbers in these, we generally get excellent numerical results. Unfortunately, the method can only be applied to a limited class of equations, in which the successive integrations be easily performed.
The second method is the Adomian decomposition method. Adomian [1] recently developed the so-called Adomian decomposition or simply the decomposi- tion method. The method was well introduced and well presented by Adomian in his recent books (Refs. [2], [3] and [4]). The method proved to be reliable and effective for a wider class of linear and nonlinear equations. This method provides the solu- tion in a series form. The method was applied to ordinary and partial differential equations, and was rarely used for integral equations. The concept of convergence of the solution obtained by this method was addressed by Adomian in two books [1,3] and extensively by Cherruault et al (Ref. [5]) and Cherruault and Adomian [6] for nonlinear problems. With much confidence, however, the decomposition method can be successfully applied towards linear and nonlinear integral equations.
The third method, which is extreme numerical and of much more general appli- cations, is due to Runge. (C. Runge, Professor at the University of Gottingen, was an authority on graphical method.) With proper precautions it gives good results in most cases, although occasionally it may involve a very large amount of arithmetical calculation. We shall treat several examples by these methods to enable their merits to be compared.

Kết quả (Việt) 1:

4.2 phương pháp xấp xỉ kếChúng tôi đã quan sát thấy rằng các giải pháp hữu hạn dưới hình thức đóng cửa chỉ áp dụng cho một số loại đặc biệt của differential equations. Điều này cũng đúng cho phương trình tích phân. Nếu một phương trình không thuộc một trong các loại, trong trường hợp phân tích solu-tions là không thể có được, chúng ta cần phải sử dụng phương pháp xấp xỉ. Phương pháp giai đoạn máy bay, với đồ họa mô tả của chương 4 của áp dụng phân tích số của Rahman [8], cho một ý tưởng tốt chung bản chất của các giải pháp, nhưng nó không thể được tin cậy cho các giá trị số.Trong chương này, chúng tôi sẽ xem xét ba phương pháp gần đúng: một là Picard phương pháp để có được phép xấp xỉ kế tiếp đại số. (E. T. Picard, Pro-fessor tại Đại học Paris, một trong những nhà toán học phân biệt nhất của thời gian của mình. Ông là nổi tiếng nhất của ông nghiên cứu về lý thuyết chức năng, và của ông d Traite' phân tích là một sách giáo khoa chuẩn). Bằng cách đặt các con số ở đây, chúng tôi thường nhận được kết quả số tuyệt vời. Thật không may, các phương pháp chỉ có thể được áp dụng cho một lớp học giới hạn của phương trình, trong đó tích hợp liên tiếp được dễ dàng thực hiện.Phương pháp thứ hai là phương pháp phân tích Adomian. Adomian [1] gần đây phát triển sự phân hủy cái gọi là Adomian hoặc chỉ đơn giản là các phương pháp decomposi-tion. Phương pháp này cũng giới thiệu và cũng trình bày của Adomian trong cuốn sách của ông tại (Refs. [2], [3] và [4]). Các phương pháp được chứng minh là đáng tin cậy và hiệu quả cho một lớp học rộng lớn hơn của các phương trình tuyến tính và phi tuyến. Phương pháp này cung cấp các solu-tion trong một loạt các hình thức. Các phương pháp đã được áp dụng để bình thường và phương trình vi phân riêng phần và hiếm khi được sử dụng cho các phương trình tích phân. Khái niệm về sự hội tụ của các giải pháp thu được bằng phương pháp này đã được gửi bởi Adomian trong hai cuốn sách [1,3] và rộng rãi bởi Cherruault et al (Ref. [5]) và Cherruault và Adomian [6] cho các vấn đề phi tuyến. Với nhiều sự tự tin, Tuy nhiên, phương pháp phân hủy có thể được áp dụng thành công đối với tuyến tính và phi tuyến phương trình tích phân.Phương pháp thứ ba là cùng cực số và nhiều hơn nữa chung öùng-cation, là do Runge. (C. Runge, giáo sư tại Đại học Gottingen, là một thẩm quyền về phương pháp đồ họa). Với các biện pháp phòng ngừa thích hợp nó cho kết quả tốt trong hầu hết trường hợp, mặc dù đôi khi nó có thể bao gồm một số lượng rất lớn các tính toán lớn. Chúng tôi sẽ xử lý một số ví dụ của những phương pháp này để cho phép các thành tích của họ để được so sánh.

Kết quả (Việt) 2:

4.2 Các phương pháp xấp xỉ kế tiếp

Chúng tôi đã quan sát thấy rằng các giải pháp trong hình thức đóng cửa hữu hạn chỉ áp dụng cho một số loại đặc biệt của phương trình vi phân. Điều này đúng cho phương trình tích phân cũng có. Nếu một phương trình không thuộc về một trong các loại này, trong trường hợp phân tích tions solu- là không thể có được, chúng ta cần phải sử dụng các phương pháp gần đúng. Các phương pháp mặt phẳng pha, có mô tả đồ họa của Chương 4 Ứng dụng Numerical Analysis bởi Rahman [8], đưa ra một ý tưởng chung tốt về bản chất của giải pháp, nhưng nó không thể dựa vào các giá trị số.
Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét ba phương pháp gần đúng: đầu tiên là phương pháp của Picard để có được xấp xỉ đại số kế tiếp. (ET Picard, Pro- fessor tại Đại học Paris, một trong những nhà toán học lỗi lạc nhất của thời gian của mình. Ông nổi tiếng với những nghiên cứu của ông về các học thuyết về chức năng, và Traité d'phân tích của ông là một giáo trình chuẩn). Bằng cách đặt các con số trong số này, chúng tôi thường nhận được kết quả số tuyệt vời. Thật không may, phương pháp này chỉ có thể được áp dụng cho một lớp học hạn chế của phương trình, trong đó tích hợp liên tiếp được dễ dàng thực hiện.
Phương pháp thứ hai là phương pháp phân hủy Adomian. Adomian [1] gần đây đã phát triển cái gọi là phân hủy Adomian hoặc chỉ đơn giản là phương pháp phân hủy. Phương pháp này đã được giới thiệu tốt và được trình bày bởi Adomian trong cuốn sách gần đây của ông (Refs. [2], [3] và [4]). Phương pháp này được chứng minh là đáng tin cậy và hiệu quả cho một lớp học rộng lớn hơn của phương trình tuyến tính và phi tuyến. Phương pháp này cung cấp về các giải pháp trong một hình thức loạt. Phương pháp này được áp dụng cho phương trình vi phân thường và một phần, và hiếm khi được sử dụng cho các phương trình tích. Khái niệm về hội tụ của các giải pháp thu được bằng phương pháp này đã được giải quyết bằng Adomian trong hai cuốn sách [1,3] và rộng rãi bởi Cherruault et al (Ref. [5]) và Cherruault và Adomian [6] cho vấn đề phi tuyến. Với sự tự tin hơn nhiều, tuy nhiên, các phương pháp phân hủy có thể được áp dụng thành công theo hướng tuyến tính và phương trình tích phân phi tuyến.
Phương pháp thứ ba, đó là cực đoan số và tổng quát hơn nhiều những ứng dụng, là do Runge. (C. Runge, giáo sư tại Đại học Gottingen, là một cơ quan về phương pháp đồ họa.) Với biện pháp phòng ngừa thích hợp nó sẽ cho kết quả tốt trong hầu hết các trường hợp, mặc dù đôi khi nó có thể liên quan đến một số lượng rất lớn các tính toán số học. Chúng ta phải đối xử với một số ví dụ của các phương pháp này cho phép tích của họ được so sánh.