4.6.4 Query Answering in the DGIM A

4.6.4 Query Answering in the DGIM Algorithm
Suppose we are asked how many 1’s there are in the last k bits of the window, for some 1 ≤ k ≤ N. Find the bucket b with the earliest timestamp that includes at least some of the k most recent bits. Estimate the number of 1’s to be the sum of the sizes of all the buckets to the right (more recent) than bucket b, plus half the size of b itself.
Example 4.12: Suppose the stream is that of Fig. 4.2, and k = 10. Then the query asks for the number of 1’s in the ten rightmost bits, which happen to be 0110010110. Let the current timestamp (time of the rightmost bit) be t. Then the two buckets with one 1, having timestamps t−1 and t−2 are completely included in the answer. The bucket of size 2, with timestamp t − 4, is also completely included. However, the rightmost bucket of size 4, with timestamp t−8 is only partly included. We know it is the last bucket to contribute to the answer, because the next bucket to its left has timestamp less than t−9 and thus is completely out of the window. On the other hand, we know the buckets to its right are completely inside the range of the query because of the existence of a bucket to their left with timestamp t−9 or greater. Our estimate of the number of 1’s in the last ten positions is thus 6. This number is the two buckets of size 1, the bucket of size 2, and half the bucket of size 4 that is partially within range. Of course the correct answer is 5. 2
Suppose the above estimate of the answer to a query involves a bucket b of size 2j that is partially within the range of the query. Let us consider how far from the correct answer c our estimate could be. There are two cases: the estimate could be larger or smaller than c. Case 1: The estimate is less than c. In the worst case, all the 1’s of b are actually within the range of the query, so the estimate misses half bucket b, or 2j−1 1’s. But in this case, c is at least 2j; in fact it is at least 2j+1 −1, since there is at least one bucket of each of the sizes 2j−1, 2j−2,...,1. We conclude that our estimate is at least 50% of c. Case 2: The estimate is greater than c. In the worst case, only the rightmost bit of bucket b is within range, and there is only one bucket of each of the sizes smaller than b. Then c = 1 + 2j−1 + 2j−2 +···+ 1 = 2j and the estimate we give is 2j−1 + 2j−1 + 2j−2 +···+ 1 = 2j + 2j−1 −1. We see that the estimate is no more than 50% greater than c.

Kết quả (Việt) 1:

4.6.4 truy vấn trả lời trong các thuật toán DGIM
giả sử chúng tôi hỏi bao nhiêu 1 của không có trong các bit k cuối của cửa sổ, với một số 1 ≤ k ≤ N. tìm nhóm b với dấu thời gian sớm nhất mà bao gồm tối thiểu một số bit đặt k. Ước tính số 1 của là tổng của các kích thước của tất cả các nhóm ở bên phải (gần đây) so với nhóm b, cộng với một nửa kích thước của b chính nó.
Ví dụ 4.12: Giả sử dòng là của hình 4,2, và k = 10. Sau đó, các truy vấn yêu cầu số 1 trong các bit bìa phải mười xảy ra để là 0110010110. Giả sử dấu thời gian hiện tại (thời gian của các bit bìa phải) là t. Sau đó xô hai với một 1, có dấu thời gian t−1 và t−2 được hoàn toàn được bao gồm trong câu trả lời. Nhóm kích thước 2, với dấu thời gian t − 4, cũng là hoàn toàn bao gồm. Tuy nhiên, nhóm kích thước 4, với dấu thời gian t−8, bìa phải là chỉ một phần bao gồm. Chúng tôi biết nó là nhóm cuối cùng để đóng góp cho câu trả lời, bởi vì nhóm tiếp theo của nó bên trái có dấu thời gian ít hơn t−9 và do đó là hoàn toàn ra khỏi cửa sổ. Mặt khác chúng tôi biết các xô phải của nó là hoàn toàn bên trong phạm vi của các truy vấn vì sự tồn tại của một nhóm của bên trái với dấu thời gian t−9 hoặc cao hơn. Chúng tôi ước tính số 1 trong các vị trí cuối mười như vậy là 6. Con số này là các thùng hai kích thước 1, nhóm kích thước 2, và một nửa các thùng của kích thước 4 là một phần trong phạm vi. Tất nhiên câu trả lời đúng là 5. 2
Giả sử các ước tính trên của câu trả lời cho một truy vấn liên quan đến một nhóm b của kích thước 2j là một phần trong phạm vi của các truy vấn. Hãy để chúng tôi xem xét như thế nào đến nay từ c câu trả lời chính xác ước tính của chúng tôi có thể. Có hai trường hợp: ước lượng có thể được lớn hơn hoặc nhỏ hơn so với c. trường hợp 1: ước lượng là ít hơn so với c. Trong trường hợp xấu nhất, tất cả các 1 của của b thực sự trong phạm vi của các truy vấn, để ước lượng bỏ lỡ nửa nhóm b, hoặc 2j−1 của 1. Nhưng trong trường hợp này, c là ít 2j; trong thực tế nó là ít 2j 1 −1, kể từ khi có ít nhất một xô của mỗi của kích cỡ 2j−1, 2j−2,..., 1. Chúng tôi kết luận rằng chúng tôi ước tính là tối thiểu 50% c. trường hợp 2: xấp xỉ là lớn hơn c. Trong trường hợp xấu nhất, chỉ là bit bìa phải của nhóm b là trong phạm vi, và đó là chỉ một nhóm của mỗi của các kích thước nhỏ hơn so với b. Sau đó c = 1 2j−1 2j−2 ··· 1 = 2j và ước lượng chúng tôi đưa ra là 2j−1 2j−1 2j−2 ··· 1 = 2j 2j−1 −1. Chúng tôi thấy rằng ước lượng là không quá 50% lớn hơn c.