Let T be a tree with max degree ∆.

Let T be a tree with max degree ∆. Prove that T has at least ∆
leaves.
Use induction on the number of vertices, with the max degree equal to
∆. The initial case will be a tree T0 with ∆ + 1 vertices. It has a vertex v
with adjacent vertices w1, . . ., w∆. Since T0 is a tree, the only edges are vwn,
and each wn is a leaf.
Assume the result is true for trees with fewer than N vertices. Let T
be a tree with max degree equal to ∆ and N > ∆ + 1 vertices. Suppose
deg(v) = ∆. Let w be a vertex chosen to maximize d(v, w). Then w is a leaf
which is not adjacent to v. By the induction hypothesis, T − w has at least
∆ leaves, and adding back w does not decrease the number of leaves.

Kết quả (Việt) 1:

Giả sử T là một cây với tối đa mức độ ∆. chứng minh T có ít ∆lá.Sử dụng cảm ứng trên số đỉnh, với mức độ tối đa bằng∆. trường hợp ban đầu sẽ là một cây T0 với ∆ + 1 đỉnh. Đô thị này có một đỉnh vvới đỉnh liền kề w1,..., w∆. Kể từ khi T0 là một cây, cạnh duy nhất là vwn,và mỗi wn là một lá.Giả sử kết quả là đúng đối với cây với ít hơn so với N đỉnh. Hãy để Tđược một cây với tối đa mức độ tương đương với ∆ và N > ∆ + 1 đỉnh. Giả sửdeg(v) = ∆. Hãy để w là một đỉnh được lựa chọn để tối đa hóa d (v, w). Sau đó, w là một láđó không phải là tiếp giáp với v. Bởi giả thuyết cảm ứng, T − w có tối thiểu∆ lá, và thêm lại w không giảm số lượng lá.

Kết quả (Việt) 2:

Cho T là một cây với max Δ độ. Chứng minh rằng có ít nhất T Δ
lá.
Sử dụng cảm ứng trên số đỉnh, với mức độ tối đa bằng với
Δ. Các trường hợp đầu tiên sẽ là một cây T0 với Δ + 1 đỉnh. Nó có một đỉnh v
với đỉnh liền kề w1,. . ., WΔ. Kể từ T0 là một cây, các cạnh chỉ là vwn,
và mỗi wn là một chiếc lá.
Giả sử kết quả là đúng cho cây có ít hơn N đỉnh. Cho T
là một cây với tối đa mức độ tương đương với Δ và N> Δ + 1 đỉnh. Giả sử
deg (v) = Δ. Hãy w là một đỉnh được chọn để tối đa hóa d (v, w). Sau đó w là một chiếc lá
đó là không liền kề với v By giả thuyết cảm ứng, T -. w có ít nhất
Δ lá, và cộng lại w không làm giảm số lượng lá.