2. Methodology for Evaluating Perfo

2. Methodology for Evaluating Performance

Our goal is to study the performance of each of the aforementioned models across a variety of datasets that have been considered in the literature on asset allocation. The datasets considered are summarized in Table 2 and described in Appendix A.
Our analysis relies on a “rolling-sample” approach. Specifically, given a T - month-long dataset of asset returns, we choose an estimation window of length
M = 60 or M = 120 months.15 In each month t , starting from t = M + 1, we
use the data in the previous M months to estimate the parameters needed to
implement a particular strategy. These estimated parameters are then used to determine the relative portfolio weights in the portfolio of only-risky assets.
We then use these weights to compute the return in month t + 1. This process
is continued by adding the return for the next period in the dataset and dropping
the earliest return, until the end of the dataset is reached. The outcome of this rolling-window approach is a series of T - M monthly out-of-sample returns
generated by each of the portfolio strategies listed in Table 1, for each of the empirical datasets in Table 2.

14 Garlappi, Uppal, and Wang (2007) consider an investor who is averse not just to risk but also to uncertainty, in the sense of Knight (1921). They show that if returns on the N assets are estimated jointly, then the “robust” portfolio is equivalent to a weighted average of the mean-variance portfolio and the minimum-variance portfolio, where the weights depend on the amount of parameter uncertainty and the investor’s aversion to uncertainty. By construction, therefore, the performance of such a portfolio lies between the performances of the sample-based mean-variance portfolio and the minimum-variance portfolio. Because we report the performance for these two extreme portfolios, we do not report separately the performance of robust portfolio strategies.
15 The insights from the results for the case of M = 60 are not very different from those for the case of M = 120, and hence, in the interest of conserving space, are reported only in the separate appendix.


Given the time series of monthly out-of-sample returns generated by each strategy and in each dataset, we compute three quantities. One, we measure the out-of-sample Sharpe ratio of strategy k, defined as the sample mean of out-of-sample excess returns (over the risk-free asset), µˆ k , divided by their sample standard deviation, sˆ k :



To test whether the Sharpe ratios of two strategies are statistically distin- guishable, we also compute the p-value of the difference, using the approach suggested by Jobson and Korkie (1981) after making the correction pointed out in Memmel (2003).16
In order to assess the effect of estimation error on performance, we also compute the in-sample Sharpe ratio for each strategy. This is computed by using the entire time series of excess returns; that is, with the estimation
window M = T . Formally, the in-sample Sharpe ratio of strategy k is


in which µˆ IS and ˆ IS are the in-sample mean and variance estimates, and wˆ k
k k
is the portfolio obtained with these estimates.
Two, we calculate the certainty-equivalent (CEQ) return, defined as the risk- free rate that an investor is willing to accept rather than adopting a particular risky portfolio strategy. Formally, we compute the CEQ return of strategy k as


in which µˆ k and sˆ 2 are the mean and variance of out-of-sample excess returns for strategy k, and ? is the risk aversion.17 The results we report are for the case
of ? = 1; results for other values of ? are discussed in the separate appendix
with robustness checks. To test whether the CEQ returns from two strategies
are statistically different, we also compute the p-value of the difference, relying on the asymptotic properties of functional forms of the estimators for means and variance.18


16 Specifically, given two portfolios i and n, with µˆ i , µˆ n , sˆ i , sˆ n , sˆ i,n as their estimated means, variances, and covariances over a sample of size T - M , the test of the hypothesis H0 : µˆ i /sˆ i - µˆ n /sˆ n = 0 is obtained via the
test statistic zˆJK , which is asymptotically distributed as a standard normal:





Note that this statistic holds asymptotically under the assumption that returns are distributed independently and identically (IID) over time with a normal distribution. This assumption is typically violated in the data. We
address this in Section 5, where we simulate a dataset with T = 24,000 monthly returns that are IID normal.

Kết quả (Việt) 1:

2. phương pháp đánh giá hiệu quả

Mục tiêu của chúng tôi là nghiên cứu hiệu suất của từng mô hình nói trên qua một loạt các bộ dữ liệu đã được xem xét trong các tài liệu về phân bổ tài sản. các bộ dữ liệu được coi là được tóm tắt trong bảng 2 và được mô tả trong phụ lục một.
phân tích của chúng tôi dựa trên một "lăn-mẫu" phương pháp tiếp cận. đặc biệt,đưa ra tại - bộ dữ liệu kéo dài hàng tháng của lợi nhuận tài sản, chúng tôi chọn một cửa sổ ước tính chiều dài
m = 60 m = 120 months.15 trong mỗi tháng t, bắt đầu từ t = m 1, chúng ta
sử dụng dữ liệu trong m trước tháng để ước tính các thông số cần thiết để thực hiện chiến lược
cụ thể. các thông số ước tính này sau đó được sử dụng để xác định trọng lượng danh mục đầu tư tương đối trong danh mục đầu tư tài sản chỉ-rủi ro.
sau đó chúng tôi sử dụng những trọng lượng để tính toán sự trở lại trong tháng t 1. quá trình này được tiếp tục
bằng cách thêm các tính cho giai đoạn tiếp theo trong bộ dữ liệu và thả
sự trở lại sớm nhất, cho đến khi kết thúc bộ dữ liệu được đạt tới. kết quả của phương pháp lăn cửa sổ này là một loạt các t - m hàng tháng out-of-mẫu trở lại
tạo ra bởi mỗi chiến lược danh mục đầu tư được liệt kê trong bảng 1,cho mỗi bộ dữ liệu thực nghiệm ở bảng 2.

14 garlappi, Uppal, và wang (2007) xem xét một nhà đầu tư là không thích không chỉ rủi ro nhưng cũng không chắc chắn, trong ý nghĩa của hiệp sĩ (1921). họ cho thấy rằng nếu lợi nhuận trên tài sản được ước tính n cùng nhau, sau đó danh mục đầu tư "mạnh mẽ" là tương đương với mức trung bình có trọng số của danh mục đầu tư trung bình-phương sai và danh mục đầu tư tối thiểu phương sai,trong đó các trọng phụ thuộc vào số lượng tham số không chắc chắn và lo ngại của nhà đầu tư không chắc chắn. bởi xây dựng, do đó, hiệu suất của một danh mục đầu tư như vậy nằm giữa các màn trình diễn của các danh mục đầu tư trung bình-phương sai mẫu và dựa trên danh mục đầu tư tối thiểu phương sai. bởi vì chúng tôi báo cáo việc thực hiện cho các danh mục đầu tư hai cực đoan,chúng tôi không báo cáo riêng việc thực hiện chiến lược danh mục đầu tư mạnh mẽ.
15 những hiểu biết từ các kết quả cho trường hợp m = 60 không phải là rất khác nhau từ những người cho trường hợp m = 120, và do đó, lợi ích của việc bảo tồn không gian, là báo cáo duy nhất trong phụ lục riêng biệt.


cho chuỗi thời gian lợi nhuận out-of-mẫu hàng tháng tạo ra bởi mỗi chiến lược và trong mỗi bộ dữ liệu,chúng tôi tính ba số lượng. một, chúng tôi đo lường tỷ lệ out-of-mẫu Sharpe của chiến lược k, định nghĩa là trung bình mẫu của lợi nhuận vượt ngoài mẫu (trên tài sản phi rủi ro), μ k, chia độ lệch chuẩn mẫu của họ, s k :



để kiểm tra xem tỷ lệ Sharpe của hai chiến lược là phân biệt các-guishable thống kê, chúng tôi cũng tính p-giá trị của sự khác biệt,sử dụng phương pháp được đề xuất bởi Jobson và korkie (1981) sau khi thực hiện điều chỉnh chỉ ra trong memmel (2003) .16
để đánh giá hiệu quả của lỗi dự toán về hiệu suất, chúng tôi cũng tính toán tỷ lệ Sharpe trong mẫu cho mỗi chiến lược. này được tính bằng cách sử dụng toàn bộ chuỗi thời gian lợi nhuận vượt quá, đó là với dự toán
cửa sổ m = t. chính thức,tỷ lệ Sharpe trong mẫu của chiến lược là k


trong đó μ là và đang trong-mẫu có nghĩa và đúng dự toán, và w k

kk là danh mục đầu tư thu được với những ước tính này.
hai, chúng ta tính chắc chắn tương đương (CEQ) trở về, được định nghĩa là tỷ lệ rủi ro mà nhà đầu tư sẵn sàng chấp nhận hơn là việc áp dụng một chiến lược đầu tư rủi ro cụ thể. chính thức,chúng tôi tính toán sự trở lại CEQ của chiến lược k như


trong đó μ k và s 2 là giá trị trung bình và phương sai của lợi nhuận vượt ngoài mẫu cho chiến lược k, và? là nguy cơ aversion.17 kết quả chúng tôi báo cáo là đối với trường hợp của
? = 1, kết quả cho các giá trị khác của? được thảo luận trong phụ lục riêng biệt
với kiểm tra mạnh mẽ. để kiểm tra xem lợi nhuận CEQ từ hai chiến lược
khác nhau về mặt thống kê,chúng tôi cũng tính p-giá trị của sự khác biệt, dựa trên các tính chất tiệm cận của các hình thức chức năng của người dự toán cho các phương tiện và variance.18


16 đặc biệt, được đưa ra hai danh mục đầu tư i và n, với μ i, μ n, s i , s n, s, n như là phương tiện của họ ước tính, phương sai, và hiệp phương sai trên một mẫu kích thước t - m, các thử nghiệm của h0 giả thuyết:μ i / s i - μ n / s n = 0 thu được thông qua các bài kiểm tra thống kê
Zjk, được phân phối tiệm như một tiêu chuẩn bình thường:





lưu ý rằng số liệu thống kê này giữ tiệm theo giả định rằng lợi nhuận được phân phối độc lập và hệt (iid) theo thời gian với một phân bố bình thường. giả định này thường vi phạm trong dữ liệu. chúng tôi
quyết vấn đề này trong phần 5,nơi mà chúng tôi mô phỏng một bộ dữ liệu với t = 24.000 lợi nhuận hàng tháng mà là iid bình thường.

Kết quả (Việt) 2:

2. Phương pháp để đánh giá hiệu suất

mục tiêu của chúng tôi là để nghiên cứu hiệu suất của mỗi người trong số các mô hình nói trên trên một số datasets đó đã được xem xét trong các tài liệu trên phân bổ tài sản. Datasets coi là tóm tắt trong bảng 2 và được mô tả trong phụ lục A.
phân tích của chúng tôi dựa vào một cách tiếp cận "cán-mẫu". Cụ thể, đưa ra một T - số liệu kéo dài một tháng của tài sản trở về, chúng tôi chọn một cửa sổ dự toán chiều dài
M = 60 hoặc M = 120 months.15 trong mỗi tháng, bắt đầu từ t = M 1, chúng tôi
sử dụng dữ liệu trong vài tháng M trước để ước tính các thông số cần thiết để
thực hiện một chiến lược cụ thể. Những ước tính tham số sau đó được sử dụng để xác định trọng lượng danh mục đầu tư tương đối trong danh mục đầu tư tài sản rủi chỉ-ro.
Sau đó chúng tôi sử dụng các trọng lượng để tính toán sự trở lại trong tháng 1. Quá trình này
tiếp tục bằng cách thêm sự trở lại cho giai đoạn tiếp theo trong các bộ dữ liệu và thả
sự trở lại sớm nhất, cho đến khi kết thúc của số liệu được đạt tới. Kết quả của cách tiếp cận cán cửa sổ này là một loạt các T - M hàng tháng out-of-mẫu trở về
được tạo ra bởi mỗi người trong số các chiến lược danh mục đầu tư được liệt kê trong bảng 1, cho mỗi datasets thực nghiệm trong bảng 2.

14 Garlappi, Uppal và Wang (2007) xem xét một nhà đầu tư những người không thích không chỉ để rủi ro mà còn cho sự không chắc chắn, trong ý nghĩa của Hiệp sĩ (1921). Họ thấy rằng nếu trở về tài sản N ước tính chung, sau đó danh mục đầu tư "mạnh mẽ" là tương đương với một trung bình trọng số của danh mục đầu tư có nghĩa là phương sai và danh mục đầu tư tối thiểu phương sai, nơi các trọng lượng phụ thuộc vào số lượng tham số không chắc chắn và của nhà đầu tư bất mãn với sự không chắc chắn. Bởi xây dựng, do đó, hiệu suất của danh mục đầu tư một nằm giữa các buổi biểu diễn của dựa trên mẫu phương sai có nghĩa là hàng và danh mục đầu tư tối thiểu phương sai. Bởi vì chúng tôi báo cáo hiệu suất cho các danh mục cực hai, chúng tôi không báo cáo một cách riêng biệt hiệu suất của danh mục đầu tư mạnh mẽ chiến lược.
15 những hiểu biết từ các kết quả cho các trường hợp M = 60 không rất khác nhau từ những người cho các trường hợp M = 120, và do đó, vì lợi ích của bảo tồn space, được báo cáo chỉ trong phụ lục riêng biệt.


cho dòng thời gian hàng tháng trả về out-of-mẫu được tạo ra bởi mỗi chiến lược và trong mỗi bộ dữ liệu, chúng tôi tính toán số lượng ba. Một, chúng tôi đo tỷ lệ Sharpe out của mẫu chiến lược k, định nghĩa là có nghĩa là mẫu của out-of-mẫu vượt quá trả về (trên tài sản rủi ro), µˆ k, chia của họ độ lệch chuẩn mẫu, sˆ k:



để thử nghiệm cho dù các tỷ lệ Sharpe của hai chiến lược về mặt thống kê là distin-guishable, chúng tôi cũng tính toán giá trị p của sự khác biệt, sử dụng phương pháp tiếp cận sau khi thực hiện sửa chữa chỉ ra trong Memmel (2003) được đề xuất bởi Jobson và Korkie (1981). 16
để đánh giá hiệu quả của dự toán lỗi về hiệu suất, chúng tôi cũng tính toán tỷ lệ Sharpe trong mẫu cho mỗi chiến lược. Điều này được tính bằng cách sử dụng dòng toàn bộ thời gian của lợi nhuận dư thừa; có nghĩa là, với ước lượng
cửa sổ M = T. Chính thức, tỷ lệ Sharpe trong mẫu của chiến lược k là


trong đó µˆ IS và liên là có nghĩa là trong mẫu và phương sai số ước lượng và wˆ k
k k
là danh mục đầu tư thu được với các ước tính.
hai, chúng tôi tính toán sự trở lại (CEQ) tương đương sự chắc chắn, định nghĩa là nguy cơ - miễn phí mức mà một nhà đầu tư sẵn sàng chấp nhận chứ không phải là việc áp dụng một chiến lược cụ thể các danh mục đầu tư mạo hiểm. Chính thức, chúng tôi tính toán sự trở lại CEQ của chiến lược k như


trong đó µˆ k và sˆ 2 là trung bình và phương sai của out-of-mẫu vượt quá trả về cho chiến lược k, và? là nguy cơ aversion.17 kết quả chúng tôi báo cáo cho các trường hợp
của? = 1; kết quả cho các giá trị khác của? được thảo luận trong phụ lục riêng biệt
với độ chắc chắn sẽ kiểm tra. Để kiểm tra xem CEQ trả về từ hai chiến lược
ý nghĩa thống kê khác nhau, chúng tôi cũng tính toán giá trị p của sự khác biệt, phụ thuộc vào các đặc tính tiệm cận của các hình thức chức năng của estimators cho phương tiện và variance.18


16 cụ thể, cho hai danh mục tôi và n, với µˆ tôi, µˆ n, sˆ tôi, sˆ n, sˆ i, n là ước tính phương tiện, chênh lệch và covariances trong một mẫu kích thước T - M, thử nghiệm giả thuyết H0 của họ : µˆ tôi /sˆ tôi - µˆ n /sˆ n = 0 thu được thông qua các
kiểm tra số liệu thống kê zˆJK, tiệm cận được phân phối như một tiêu chuẩn thông thường:





lưu ý rằng thống kê này giữ tiệm cận theo giả định rằng lợi nhuận được phân phối một cách độc lập và giống nhau (IID) theo thời gian với một phân phối bình thường. Giả định này thường là vi phạm trong dữ liệu. Chúng tôi
địa chỉ này trong phần 5, nơi mà chúng tôi mô phỏng một bộ dữ liệu với T = 24.000 trả lại hàng tháng là IID bình thường.