In Examples 6 and 7 we look at two

In Examples 6 and 7 we look at two relations that are not equivalence relations.
EXAMPLE 6 Show that the “divides” relation is the set of positive integers in not an equivalence relation.
Solution: By Examples 9 and 15 in Section 9.1, we know that the “divides” relation is reflex
ive and transitive. However, by Example 12 in Section 9.1, we know that this relation is not
symmetric (for instance, 2 | 4 but 4| 2). We conclude that the “divides” relation on the set of
positive integers is not an equivalence relation. ▲
EXAMPLE 7 Let R be the relation on the set of real numbers such that xRy if and only if x and y are real
numbers that differ by less than 1, that is |x − y| < 1. Show that R is not an equivalence relation.
Solution: R is reflexive because |x − x| = 0 < 1 whenever x ∈ R. R is symmetric, for if xRy,
where x and y are real numbers, then |x − y| < 1, which tells us that |y − x| = |x − y| < 1, so
that yRx. However, R is not an equivalence relation because it is not transitive. Take x = 2.8,
y = 1.9, and z = 1.1, so that |x − y| = |2.8 − 1.9| = 0.9 < 1, |y − z| = |1.9 − 1.1| =
0.8 < 1, but |x − z| = |2.8 − 1.1| = 1.7 > 1. That is, 2.8 R 1.9, 1.9 R 1.1, but 2.8 R 1.1. ▲
Equivalence Classes
Let A be the set of all students in your school who graduated from high school. Consider the
relation R on A that consists of all pairs (x, y), where x and y graduated from the same high
school. Given a student x, we can form the set of all students equivalent to x with respect to R.
This set consists of all students who graduated from the same high school as x did. This subset
of A is called an equivalence class of the relation.
DEFINITION 3 Let R be an equivalence relation on a set A. The set of all elements that are related to an
element a of A is called the equivalence class of a. The equivalence class of a with respect
to R is denoted by [a]R. When only one relation is under consideration, we can delete the
subscript R and write [a] for this equivalence class.
In other words, if R is an equivalence relation on a set A, the equivalence class of the
element a is
[a]R = {s | (a, s) ∈ R}.
If b ∈ [a]R, then b is called a representative of this equivalence class. Any element of a class
can be used as a representative of this class. That is, there is nothing special about the particular
element chosen as the representative of the class.
EXAMPLE 8 What is the equivalence class of an integer for the equivalence relation of Example 1?
Solution: Because an integer is equivalent to itself and its negative in this equivalence relation,
it follows that [a] = {−a, a}. This set contains two distinct integers unless a = 0. For instance,
[7] = {−7, 7}, [−5] = {−5, 5}, and [0] = {0}. ▲
EXAMPLE 9 What are the equivalence classes of 0 and 1 for congruence modulo 4?
Solution: The equivalence class of 0 contains all integers a such that a ≡ 0 (mod 4). The integers
in this class are those divisible by 4. Hence, the equivalence class of 0 for this relation is
[0] = {. . . , −8, −4, 0, 4, 8, . . . }.

Kết quả (Việt) 1:

Trong ví dụ 6 và 7, chúng tôi xem xét hai quan hệ mà không phải là quan hệ tương đương.Ví dụ 6 Hiển thị các mối quan hệ "phân chia" là tập hợp của các số nguyên dương trong không phải là một mối quan hệ tương đương.Giải pháp: Ví dụ 9 và 15 trong phần 9.1, chúng ta biết rằng mối quan hệ "phân chia" phản xạIve và ngoại. Tuy nhiên, ví dụ 12 trong phần 9.1, chúng ta biết rằng mối quan hệ này không phải làđối xứng (ví dụ, 2 | 4 nhưng 4 | 2). Chúng tôi kết luận rằng mối quan hệ "phân chia" trên các thiết lập củasố nguyên dương không phải là một mối quan hệ tương đương. ▲Ví dụ 7 cho R có mối quan hệ trên tập hợp số thực như vậy mà xRy nếu và chỉ nếu x và y là có thậtsố điện thoại khác nhau bởi ít hơn 1, nghĩa là | x − y | < 1. Hiển thị rằng R không phải là một mối quan hệ tương đương.Giải pháp: R là suy nghi vì | x − x | = 0 < 1 bất cứ khi nào x ∈ R. R là đối xứng, vì nếu xRy,nơi x và y là các số thực, sau đó | x − y | < 1, mà cho chúng ta biết rằng | y − x | = | x − y | < 1, vì vậyđó yRx. Tuy nhiên, R không phải là một mối quan hệ tương đương vì nó không phải là từ lóng. Có x = 2,8,y = 1,9, và z = 1.1, do đó | x − y | = | 2.8 − 1.9 | = 0,9 < 1, | y − z | = | 1,9 − 1.1 | =0.8 < 1, nhưng | x − z | = | 2.8 − 1.1 | = 1,7 > 1. Đó là, 2.8 R 1.9, 1,9 R 1.1, nhưng 2.8 R 1.1. ▲Lớp tương đươngCho A là tập của tất cả các học sinh trong trường học của bạn đã tốt nghiệp từ trường trung học. Xem xét cáccác mối quan hệ R trên một đó bao gồm tất cả các cặp (x, y), nơi x và y tốt nghiệp từ cùng một caotrường học. Cho một sinh viên x, chúng ta có thể hình thành các thiết lập của tất cả sinh viên tương đương với x đối với R.Thiết lập này bao gồm tất cả những sinh viên tốt nghiệp từ các trường trung học tương tự như x. Tập con nàya được gọi là một lớp tương đương của các mối quan hệ.Định nghĩa cho R 3 có một mối quan hệ tương đương trên một tập hợp A. Các thiết lập của tất cả các yếu tố có liên quan đến mộtphần một của A được gọi là các lớp học tương đương của một. Các lớp học tương đương của một với sự tôn trọngr ký hiệu bằng R. [a] Khi chỉ có một mối quan hệ đang được xem xét, chúng tôi có thể xóa cácchỉ số R và viết [a] cho lớp tương đương này.Nói cách khác, nếu R là một mối quan hệ tương đương trên một bộ A, các lớp tương đương cácyếu tố một là[a] R = {s | (a, s) ∈ R}.Nếu b ∈ [a] R, sau đó b được gọi là một đại diện của lớp tương đương này. Các nguyên tố của một lớp họccó thể được sử dụng như là một đại diện của lớp học này. Đó là, không có gì là đặc biệt về cụ thểphần tử được chọn là đại diện của lớp.Ví dụ 8 lớp tương đương của một số nguyên cho mối quan hệ tương đương của ví dụ 1 là gì?Giải pháp: Vì một số nguyên là tương đương với chính nó, và các tiêu cực của nó trong mối quan hệ tương đương này,nó sau đó [a] = {−a, một}. Thiết lập này có chứa hai số nguyên khác biệt trừ khi một = 0. Ví dụ,[7] = {−7, 7}, [−5] = {−5, 5}, và [0] = {0}. ▲Ví dụ 9 lớp tương đương số 0 và 1 cho congruence modulo 4 là gì?Giải pháp: Các lớp học tương đương 0 có chứa tất cả số nguyên một như vậy mà một ≡ 0 (mod 4). Các số nguyêntrong lớp này là những số chia hết cho 4. Do đó, các lớp học tương đương của 0 cho mối quan hệ này là[0] = {. . . , −8, −4, 0, 4, 8, . . . }.

Kết quả (Việt) 2:

Trong ví dụ 6 và 7, chúng tôi nhìn vào hai quan hệ mà không phải tương đương quan hệ.
Ví dụ 6 Hiện rằng "chia rẽ" quan hệ là tập hợp các số nguyên dương không phải là một quan hệ tương đương.
Giải pháp: Bằng ví dụ 9 và 15 tại mục 9.1, chúng tôi biết rằng "chia rẽ" quan hệ là phản xạ
ive và bắc cầu. Tuy nhiên, bằng Ví dụ 12 trong mục 9.1, chúng ta biết rằng mối quan hệ này là không
đối xứng (ví dụ, 2 | 4 nhưng 4 |? 2). Chúng tôi kết luận rằng "chia rẽ" quan hệ trên tập các
số nguyên dương không phải là một quan hệ tương đương. ▲
DỤ 7 Hãy R là quan hệ trên tập các số thực mà XRY khi và chỉ khi x và y là có thật
số đó khác nhau bởi ít hơn 1, đó là | x - y | . <1. Chứng tỏ rằng R không phải là một quan hệ tương đương
Giải pháp: R là phản xạ vì | x - x | = 0 <1 khi x ∈ R. R là đối xứng, vì nếu XRY,
trong đó x và y là các số thực, sau đó | x - y | <1, cho chúng ta biết rằng | y - x | = | X - y | <1, vậy
mà yRx. Tuy nhiên, R không phải là một quan hệ tương đương, vì nó không phải là transitive. Hãy x = 2,8,
y = 1,9, và z = 1.1, do đó | x - y | = | 2,8-1,9 | = 0,9 <1, | y - z | = | 1,9-1,1 | =
0,8 <1, nhưng | x - z | = | 2,8-1,1 | = 1,7> 1. Đó là, 2.8 R 1.9, 1.9 R 1.1, nhưng 2.8? R 1.1. ▲
Lớp học tương đương
Cho A là tập hợp của tất cả học sinh trong trường của bạn đã tốt nghiệp trung học. Hãy xem xét các
mối quan hệ R trên A mà bao gồm tất cả các cặp (x, y), trong đó x và y tốt nghiệp cao cùng
trường. Với một sinh viên x, chúng ta có thể hình thành các thiết lập của tất cả các sinh viên tương đương với x đối với R. với
bộ này bao gồm tất cả các sinh viên tốt nghiệp từ các trường trung học giống như x đã làm. Tập hợp con này
của A được gọi là một lớp tương đương của các mối quan hệ.
ĐỊNH NGHĨA 3 Để cho R là một quan hệ tương đương trên tập A. Tập hợp tất cả các yếu tố có liên quan đến một
yếu tố một của A được gọi là lớp tương đương của một. Các lớp tương đương của một sự tôn trọng với
R được ký hiệu là [a] R. Khi chỉ có một mối quan hệ đang được xem xét, chúng tôi có thể xóa các
subscript R và viết [a] cho lớp tương đương này.
Nói cách khác, nếu R là quan hệ tương đương trên tập A, các lớp tương đương của các
yếu tố một là
[một] R = {s | (a, s) ∈ R}.
Nếu b ∈ [a] R, sau đó b được gọi là một đại diện của lớp tương đương này. Bất kỳ yếu tố của một lớp
có thể được sử dụng như là một đại diện của lớp này. Đó là, không có gì đặc biệt về đặc biệt là
yếu tố được lựa chọn là đại diện của các lớp học.
Ví dụ 8 các lớp tương đương của một số nguyên cho các quan hệ tương đương của Ví dụ 1 là gì?
Giải pháp: Bởi vì một số nguyên tương đương với bản thân và tiêu cực của nó trong quan hệ tương đương này,
nó sau đó [a] = {-a, a}. Bộ này có chứa hai số nguyên phân biệt trừ khi a = 0. Ví dụ,
[7] = {-7, 7}, [-5] = {-5, 5}, và [0] = {0}. ▲
DỤ 9 các lớp tương đương của 0 và 1 là gì cho tương đẳng modulo 4?
Giải pháp: Các lớp tương đương của 0 chứa tất cả các số nguyên a sao cho một ≡ 0 (mod 4). Các số nguyên
trong lớp này là những chia hết cho 4. Do đó, các lớp tương đương của 0 cho mối quan hệ này là
[0] = {. . . , -8, -4, 0, 4, 8,. . . }.