Prove that for any flow in a networ

Prove that for any flow in a network and any cut in it, the value of the flow is equal to the flow across the cut (see equality (10.12)). Explain the relationship between this property and equality (10.9).

a. Express the maximum-flow problem for the network in Figure 10.4 as a linear programming problem.

Solve this linear programming problem by the simplex method.

As an alternative to the shortest-augmenting-path algorithm, Edmonds and Karp [Edm72] suggested the maximum-capacity-augmenting-path algorithm, in which a flow is augmented along the path that increases the flow by the largest amount. Implement both these algorithms in the language of your choice and perform an empirical investigation of their relative efficiency.

Write a report on a more advanced maximum-flow algorithm such as

(i) Dinitz’s algorithm, (ii) Karzanov’s algorithm, (iii) Malhotra-Kamar-Maheshwari algorithm, or (iv) Goldberg-Tarjan algorithm.

Dining problem Several families go out to dinner together. To increase their social interaction, they would like to sit at tables so that no two members of the same family are at the same table. Show how to find a seating arrangement that meets this objective (or prove that no such arrangement exists) by using a maximum-flow problem. Assume that the dinner contingent has p families and that the ith family has ai members. Also assume that q tables are available and the j th table has a seating capacity of bj . [Ahu93]

Kết quả (Việt) 1:

Chứng minh rằng đối với bất kỳ dòng chảy trong một mạng lưới và bất kỳ cắt trong nó, giá trị của dòng chảy là tương đương với dòng chảy qua việc cắt giảm (xem bình đẳng (10,12)). Giải thích mối quan hệ giữa này bất động sản và bình đẳng (10.9). a. nhận vấn đề dòng chảy tối đa cho mạng trong hình 10.4 là một vấn đề lập trình tuyến tính. Giải quyết vấn đề lập trình tuyến tính này bằng phương pháp simplex. Như là một thay thế cho các thuật toán augmenting-đường đi ngắn nhất, Edmonds và Karp [Edm72] đề xuất các thuật toán tối đa-năng lực-augmenting-đường, trong đó, một dòng chảy tăng cường dọc theo con đường mà làm tăng dòng chảy bởi số lượng lớn nhất. Thực hiện các thuật toán này bằng ngôn ngữ của sự lựa chọn của bạn và thực hiện một cuộc điều tra thực nghiệm của hiệu quả tương đối của họ. Viết một báo cáo về một thuật toán tiên tiến hơn của dòng chảy tối đa chẳng hạn như(i) Dinitz của thuật toán, (ii) Karzanov của thuật toán, (iii) Malhotra-phòng-lúc thuật toán, hoặc thuật toán (iv) Goldberg-Tarjan. Ăn uống vấn đề nhiều gia đình đi ra ngoài ăn tối với nhau. Để tăng của tương tác xã hội, họ sẽ muốn ngồi ở bàn do đó không có hai thành viên của cùng một gia đình là tại cùng một bảng. Hiển thị làm thế nào để tìm thấy một sự sắp xếp chỗ ngồi đáp ứng mục tiêu này (hoặc chứng minh rằng không có sự sắp xếp như vậy tồn tại) bằng cách sử dụng một vấn đề dòng chảy tối đa. Giả sử rằng đội ngũ bữa ăn tối có p gia đình và gia đình ith có ai thành viên. Cũng cho rằng q bảng có sẵn và bàn thứ j có sức chứa của bj. [Ahu93]

Kết quả (Việt) 2:

Chứng minh rằng với bất kỳ dòng chảy trong một mạng và bất kỳ cắt ở trong đó, giá trị của các dòng chảy bằng với dòng chảy qua cắt (xem bình đẳng (10.12)). Giải thích mối quan hệ giữa sở hữu này và bình đẳng (10,9). A. Thể hiện các vấn đề tối đa-lưu lượng cho mạng lưới trong hình 10.4 là một vấn đề lập trình tuyến tính. Giải quyết vấn đề này lập trình tuyến tính theo phương pháp simplex. Là một thay thế cho thuật toán ngắn nhất làm tăng-path, Edmonds và Karp [Edm72] đề nghị các maximum- thuật toán năng lực làm tăng-path, trong đó một dòng chảy được tăng cường dọc theo con đường đó làm tăng lưu lượng với mức lớn nhất. Thực hiện cả hai thuật toán trong ngôn ngữ của sự lựa chọn của bạn và thực hiện một cuộc điều tra thực nghiệm về hiệu quả tương đối của chúng. Viết báo cáo về một thuật toán tối đa luồng cao cấp hơn như (i) Thuật toán Dinitz của, (ii) thuật toán Karzanov của, (iii) Malhotra- Kamar-Maheshwari thuật toán, hoặc (iv) Goldberg-Tarjan thuật toán. vấn đề ăn Một số gia đình đi ăn tối cùng nhau. Để tăng sự tương tác xã hội của họ, họ muốn ngồi vào bàn để không có hai thành viên của cùng một gia đình đang ở cùng một bảng. Thấy làm thế nào để tìm thấy một sắp xếp chỗ ngồi đáp ứng mục tiêu này (hoặc chứng minh rằng không có sự sắp xếp như vậy tồn tại) bằng cách sử dụng một vấn đề tối đa luồng. Giả sử rằng đội ngũ ăn tối có p gia đình và gia đình thứ i có các thành viên ai. Cũng giả định rằng các bảng q có sẵn và thứ j bảng có sức chứa bj. [Ahu93]