Associated with the problem are J i

Associated with the problem are J inequality and K equality constraints. The terms gj(x) and Hk(x) are called constraint functions. The inequality constraints are treated as ‘greater-than-equal-to’ types, although a ‘less-than-equal-to’ type inequality constraint is also taken care of in the above formulation. In the latter case, the constraint must be converted into a (greater-than-equal-to’ type constraint by multiplying the constraint function by —1 (Deb, 1995). A solution x that does not satisfy all of the (J + K) constraints and all of the 2N variable bounds stated above is called an infeasible solution. On the other hand, if any solution x satisfies all constraints and variable bounds, it is known as a feasible solution. Therefore, we realize that in the presence of constraints, the entire decision variable space V need not be feasible. The set of all feasible solutions is called the feasible region, or S. In this present book, sometimes we will refer to the feasible region as simply the search space.
There are M objective functions f(x) = (fi (x), f2(x),..., fM.(x))T considered in the above formulation. Each objective function can be either minimized or maximized. The duality principle (Deb, 1995; Rao, 1984; Rekiaitis et al., 1983), in the context of optimization, suggests that we can convert a maximization problem into a minimization one by multiplying the objective function by — 1. The duality principle has made the task of handling mixed type of objectives much easier. Many optimization algorithms are developed to solve only one type of optimization problems, such as e.g. minimization problems. When an objective is required to be maximized by using such an algorithm, the duality principle can be used to transform the original objective for maximization into an objective for minimization.
Although there is a subtle difference in the way that a criterion function and an objective function is defined (Chankong et al., 1985), in a broad sense we treat them here as identical. One of the striking differences between single-objective and multi¬objective optimization is that in multi-objective optimization the objective functions constitute a multi-dimensional space, in addition to the usual decision variable space. This additional space is called the objective space, 2. For each solution x in the decision variable space, there exists a point in the objective space, denoted by f(x) = z — (z.-), 22,... ,ZM)T- The mapping takes place between an n-dimensional solution vector and an M-dimensional objective vector. Figure 5 illustrates these two spaces and a mapping between them.
Multi-objective optimization is sometimes referred to as vector optimization, because a vector of objectives, instead of a single objective, is optimized.

Kết quả (Việt) 1:

Liên kết với vấn đề là bất đẳng thức J và K bình đẳng hạn chế. Các điều khoản gj(x) và Hk(x) được gọi là hạn chế chức năng. Các khó khăn bất đẳng thức được coi là 'lớn hơn-hơn-bằng-để' loại, mặc dù một 'ít-hơn-bằng-để' kiểu bất đẳng thức hạn chế cũng ai quan tâm trong việc xây dựng trên. Trong trường hợp thứ hai, các hạn chế phải được chuyển đổi thành một (lớn hơn-hơn-bằng-để ' loại hạn chế bằng cách nhân chức năng hạn chế bởi-1 (Deb, 1995). Một giải pháp x mà không đáp ứng tất cả (J + K) hạn chế và tất cả các giới hạn biến 2N đã nói ở trên được gọi là một giải pháp infeasible. Mặt khác, nếu bất kỳ giải pháp x thỏa mãn tất cả các khó khăn và giới hạn biến, nó được biết đến như là một giải pháp khả thi. Vì vậy, chúng tôi nhận ra rằng sự hiện diện của những hạn chế, biến quyết định toàn bộ không gian V cần không được khả thi. Các thiết lập của tất cả các giải pháp khả thi được gọi là vùng khả thi, hoặc S. Trong cuốn sách này hiện tại, đôi khi chúng tôi sẽ đề cập đến vùng khả thi là chỉ đơn giản là không gian tìm kiếm.Có M khách quan chức năng f (x) = (fi (x), f2(x),..., fM. () x)) T xem xét trong các bên trên xây dựng. Mỗi hàm mục tiêu có thể được giảm thiểu tối đa hoặc tối đa. Nguyên tắc duality (Deb, 1995; Rao, năm 1984; Rekiaitis et al., 1983), trong bối cảnh của tối ưu hóa, cho thấy rằng chúng tôi có thể chuyển đổi một vấn đề tối đa hóa thành một giảm thiểu một bằng cách nhân hàm mục tiêu bởi-1. Nguyên lý nhị nguyên đã thực hiện nhiệm vụ xử lý hỗn hợp các loại mục tiêu dễ dàng hơn nhiều. Nhiều tối ưu hóa thuật toán được phát triển để giải quyết chỉ có một loại của các vấn đề tối ưu hóa, chẳng hạn như ví dụ như giảm thiểu vấn đề. Khi một mục tiêu là cần thiết để được tối đa bằng cách sử dụng một thuật toán, nguyên tắc duality có thể được sử dụng để biến đổi mục tiêu ban đầu để tối đa hóa thành một mục tiêu cho giảm thiểu.Mặc dù có một sự khác biệt tinh tế trong cách một chức năng tiêu chuẩn và một hàm mục tiêu là định nghĩa (Chankong et al., 1985), trong một cảm giác rộng chúng tôi đối xử với họ ở đây như là giống hệt nhau. Một trong biệt đơn-mục tiêu và multi¬objective tối ưu hóa, nổi bật là trong nhiều mục tiêu tối ưu hóa chức năng mục tiêu chiếm một không gian đa chiều, ngoài không gian biến bình thường quyết định. Không gian bổ sung này được gọi là không gian khách quan, 2. Giải pháp mỗi x trong các quyết định biến không gian, có tồn tại một điểm trong không gian khách quan, ký hiệu bằng f (x) = z-(z.-), 22,..., ZM) T-ánh xạ diễn ra giữa một vectơ n chiều giải pháp và một véc tơ khách quan M-chiều. Hình 5 minh hoạ những hai không gian và một ánh xạ giữa chúng.Tối ưu hóa đa mục tiêu đôi khi được gọi là vector tối ưu hóa, bởi vì một vector mục tiêu, thay vì một mục tiêu duy nhất, được tối ưu hóa.

Kết quả (Việt) 2:

Liên kết với các vấn đề bất bình đẳng là J và hạn chế bình đẳng K. Các điều khoản gj (x) và Hk (x) được gọi là chức năng hạn chế. Những hạn chế bất bình đẳng đang được coi là loại "lớn hơn bằng-to ', mặc dù một chăm sóc' ít hơn, bình đẳng để 'loại bất bình đẳng chế được cũng lấy của việc xây dựng ở trên. Trong trường hợp sau, các ràng buộc phải được chuyển đổi thành một ('loại constraint-to lớn hơn bằng bằng cách nhân các chức năng hạn chế bởi -1 (Deb, 1995). Một giải pháp x mà không đáp ứng tất cả các (J + K) khó khăn và tất cả các giới hạn biến 2N đã nêu ở trên được gọi là một giải pháp khả thi. Mặt khác, nếu có giải pháp x thỏa mãn tất cả các ràng buộc và giới hạn biến, nó được biết đến như là một giải pháp khả thi. Vì vậy, chúng tôi nhận ra rằng sự có mặt những hạn chế, toàn bộ quyết định không gian biến V không cần phải có tính khả thi. Các thiết lập của tất cả các giải pháp khả thi được gọi là khu vực có tính khả thi, hoặc S. Trong cuốn sách này hiện nay, đôi khi chúng ta sẽ đề cập đến các khu vực có tính khả thi khi chỉ đơn giản là không gian tìm kiếm.
Có M hàm mục tiêu f (x) = (fi (x), f2 (x), ..., FM. (x)) T xem xét trong việc xây dựng ở trên. Mỗi hàm mục tiêu có thể được, hoặc thu nhỏ hoặc phóng. Các nguyên tắc nhị nguyên ( . Deb, 1995; Rao, 1984; Rekiaitis et al, 1983), trong bối cảnh tối ưu hóa, cho thấy chúng ta có thể chuyển đổi một vấn đề tối đa hóa thành một giảm thiểu bằng cách nhân một hàm mục tiêu bằng - 1. Nguyên tắc tính hai mặt đã thực hiện các nhiệm vụ xử lý các loại hỗn hợp của các mục tiêu dễ dàng hơn nhiều. Nhiều thuật toán tối ưu hóa được phát triển để giải quyết chỉ có một loại của các vấn đề tối ưu hóa, chẳng hạn như vấn đề ví dụ như giảm thiểu. Khi một mục tiêu được yêu cầu để được tối đa bằng cách sử dụng một thuật toán như vậy, nguyên tắc nhị nguyên có thể được sử dụng để chuyển đổi mục tiêu ban đầu để tối đa hoá thành một mục tiêu cho giảm thiểu.
Mặc dù có sự khác biệt tinh tế trong cách mà một hàm chuẩn và một hàm mục tiêu được định nghĩa (Chankong et al 1985.,), theo nghĩa rộng, chúng tôi đối xử với họ đây là giống hệt nhau. Một trong những khác biệt nổi bật giữa tối ưu hóa đơn khách quan và multi¬objective là trong tối ưu hóa đa mục tiêu các chức năng khách quan tạo thành một không gian đa chiều, ngoài không gian biến quyết định bình thường. Thêm không gian này được gọi là không gian quan, 2. Đối với mỗi giải pháp x trong không gian biến quyết định, có tồn tại một điểm trong không gian khách quan, ký hiệu là f (x) = z - (z.-), 22 tuổi, ... , ZM) T- Ánh xạ diễn ra giữa một giải pháp vector n chiều và một vector mục tiêu M-chiều. Hình 5 minh họa hai không gian này và một ánh xạ giữa chúng.
Tối ưu hóa đa mục tiêu đôi khi được gọi là tối ưu hóa vector, vì một vector của các mục tiêu, thay vì một mục tiêu duy nhất, được tối ưu hóa.