Suppose you throw a ball into the a

Suppose you throw a ball into the air. Do you think it takes longer to reach its maximum height or to fall back to earth from its maximum height? We will solve the problem in this project but, before getting started, think about that situation and make a guess based on your physical intuition.
1. A ball with mass is projected vertically upward from the earth’s surface with a
Positive initial velocity . We assume the forces acting on the ball are the force of
gravity and a retarding force of air resistance with direction opposite to the
direction of motion and with magnitude , where is a positive constant and is the
velocity of the ball at time .
In both the ascent and the descent, the total force acting on the ball is . [During
ascent, is positive and the resistance acts downward; during descent, is negative
and the resistance acts upward.] So, by Newton’s Second Law, the equation of
motion is
Solve this differential equation to show that the velocity is
2. Show that the height of the ball, until it hits the ground, is
3. Let be the time that the ball takes to reach its maximum height. Show that
Find this time for a ball with mass 1 kg and initial velocity 20 m#s. Assume the
air resistance is of the speed.
;4. Let be the time at which the ball falls back to earth. For the particular ball in
Problem 3, estimate by using a graph of the height function . Which is faster,
going up or coming down?
5. In general, it’s not easy to find because it’s impossible to solve the equation
explicitly. We can, however, use an indirect method to determine whether ascent
or descent is faster; we determine whether is positive or negative. Show that
where . Then show that and the function is increasing for . Use this result to
decide whether is positive or negative. What can you conclude? Is ascent or
descent faster?

Kết quả (Việt) 1:

Giả sử bạn ném một quả bóng vào không khí. Bạn có nghĩ rằng phải mất lâu hơn để đạt được chiều cao tối đa của nó hoặc phải quay trở lại trái đất từ chiều cao tối đa của nó? Chúng tôi sẽ giải quyết vấn đề trong dự án này, nhưng trước khi bắt đầu, suy nghĩ về tình hình đó và làm cho một đoán dựa trên vật lý trực giác của bạn.1. một quả bóng với khối lượng chiếu theo chiều dọc trở lên từ bề mặt của trái đất với một Tích cực vận tốc ban đầu. Chúng tôi giả sử các lực lượng hành động vào bóng là lực lượng của lực hấp dẫn và một lực lượng lực của máy sức đề kháng với hướng đối diện để các hướng của chuyển động và với cấp sao biểu kiến, nơi là một hằng số tích cực và là các tốc độ của quả bóng tại thời gian. Trong cả hai đi lên và gốc, các lực lượng tất cả hành động vào bóng là. [Trong đi lên, là tích cực và kháng chiến hoạt động xuống; trong gốc, là tiêu cực và các hành vi sức đề kháng lên trên.] Vì vậy, bởi định luật thứ hai của Newton, phương trình chuyển động Giải quyết các phương trình vi phân này cho thấy rằng vận tốc là2. Hiển thị rằng chiều cao của quả bóng, cho đến khi nó chạm đất, là3. để là thời gian mà bóng cần để đạt được chiều cao tối đa của nó. Thấy rằng Tìm này thời gian cho một quả bóng với khối lượng 1 kg và đầu tiên vận tốc 20phút #s. Assume các sức cản không khí là tốc độ.4. Để là vào thời điểm mà tại đó các quả bóng rơi trở lại trái đất. Cho bóng cụ thể trong Vấn đề 3, ước tính bằng cách sử dụng một đồ thị của chức năng chiều cao. Đó là nhanh hơn, đi lên hoặc xuống?5. nói chung, nó không phải là dễ dàng để tìm thấy bởi vì nó không thể giải quyết phương trình một cách rõ ràng. Chúng tôi có thể, Tuy nhiên, sử dụng một phương pháp gián tiếp để xác định cho dù đi lên hoặc gốc là nhanh hơn; chúng tôi xác định cho dù là tích cực hay tiêu cực. Thấy rằng ở đâu. Sau đó hiển thị đó và các chức năng đang gia tăng cho. Sử dụng kết quả này đến quyết định cho dù là tích cực hay tiêu cực. Bạn có thể kết luận những gì? Là đi lên hoặc gốc nhanh hơn?