Edmonds and Karp proved in their pa

Edmonds and Karp proved in their paper [Edm72] that the number of aug-menting paths needed by the shortest-augmenting-path algorithm never exceeds nm/2, where n and m are the number of vertices and edges, respectively. Since the time required to find a shortest augmenting path by breadth-first search is in O(n + m) = O(m) for networks represented by their adjacency lists, the time efficiency of the shortest-augmenting-path algorithm is in O(nm2).

More efficient algorithms for the maximum-flow problem are known (see the monograph [Ahu93], as well as appropriate chapters in such books as [Cor09] and [Kle06]). Some of them implement the augmenting-path idea in a more efficient manner. Others are based on the concept of preflows. A preflow is a flow that satisfies the capacity constraints but not the flow-conservation requirement. Any vertex is allowed to have more flow entering the vertex than leaving it. A preflow-push algorithm moves the excess flow toward the sink until the flow-conservation requirement is reestablished for all intermediate vertices of the network. Faster al-gorithms of this kind have worst-case efficiency close to O(nm). Note that preflow-push algorithms fall outside the iterative-improvement paradigm because they do not generate a sequence of improving solutions that satisfy all the constraints of the problem.

To conclude this section, it is worth pointing out that although the initial interest in studying network flows was caused by transportation applications, this model has also proved to be useful for many other areas. We discuss one of them in the next section.

Kết quả (Việt) 1:

Edmonds và Karp đã chứng minh trong giấy của họ [Edm72] số tháng tám-menting đường dẫn cần thiết bởi các thuật toán augmenting-đường đi ngắn nhất không bao giờ vượt quá nm/2, nơi n và m là số lượng các đỉnh và các cạnh, tương ứng. Vì thời gian cần thiết để tìm một con đường thông ngắn nhất bằng cách tìm kiếm theo chiều rộng trong O (n + m) = O(m) cho mạng đại diện bởi danh sách kề của họ, thời gian hiệu quả của các thuật toán augmenting-đường đi ngắn nhất là trong O(nm2).Các thuật toán hiệu quả hơn cho các vấn đề tối đa-dòng chảy được biết đến (xem chuyên khảo [Ahu93], cũng như thích hợp chương trong cuốn sách như vậy là [Cor09] và [Kle06]). Một số người trong số họ thực hiện ý tưởng con đường augmenting một cách hiệu quả hơn. Những người khác được dựa trên các khái niệm về preflows. Preflow một là một dòng chảy mà đáp ứng những hạn chế năng lực nhưng không yêu cầu bảo tồn dòng chảy. Đỉnh nào được cho phép để có thêm dòng chảy vào đỉnh hơn để lại nó. Một thuật toán thúc đẩy preflow di chuyển dòng dư thừa đối với bồn rửa chén cho đến khi các yêu cầu bảo tồn dòng chảy tái lập cho tất cả trung gian đỉnh của mạng. Al-gorithms nhanh hơn của loại có hiệu quả tồi tệ nhất gần với O(nm). Lưu ý rằng preflow-đẩy thuật toán nằm ngoài các mô hình cải thiện lặp đi lặp lại bởi vì họ không tạo ra một chuỗi các cải thiện giải pháp đáp ứng tất cả các khó khăn của vấn đề.Để kết thúc phần này, nó là giá trị chỉ ra rằng mặc dù sự quan tâm ban đầu trong nghiên cứu mạng chảy được gây ra bởi giao thông vận tải ứng dụng, mô hình này có cũng chứng minh là hữu ích cho nhiều lĩnh vực khác. Chúng tôi thảo luận về một trong số họ trong phần tiếp theo.

Kết quả (Việt) 2:

Edmonds và Karp đã chứng minh trong bài báo của họ [Edm72] rằng số lượng các đường dẫn Tháng Tám-menting cần thiết bởi các thuật toán ngắn nhất làm tăng-con đường không bao giờ vượt quá nm / 2, trong đó n và m là số đỉnh và các cạnh tương ứng. Kể từ thời gian cần thiết để tìm một con đường làm tăng ngắn nhất bằng cách tìm kiếm theo chiều rộng là O (n + m) = O (m) cho các mạng đại diện bởi danh sách kề của họ, thời gian hiệu quả của thuật toán ngắn nhất làm tăng-path là trong O (nm2). thuật toán hiệu quả hơn đối với các vấn đề tối đa luồng được biết (xem chuyên khảo [Ahu93], cũng như các chương thích hợp trong cuốn sách như [Cor09] và [Kle06]). Một số trong số họ thực hiện ý tưởng làm tăng đường dẫn một cách hiệu quả hơn. Những người khác được dựa trên khái niệm về preflows. Một preflow là một dòng chảy đó đáp ứng các hạn chế năng lực nhưng không yêu cầu dòng chảy-bảo tồn. Bất kỳ đỉnh được phép có nhiều dòng chảy vào các đỉnh hơn là để nó. Một thuật toán preflow đẩy di chuyển các luồng dư thừa về phía bồn rửa cho đến khi yêu cầu dòng chảy-bảo tồn được tái lập cho tất cả các đỉnh trung gian của mạng. Nhanh hơn al-gorithms của loại hình này có trường hợp xấu nhất hiệu quả gần O (nm). Lưu ý rằng các thuật toán preflow đẩy rơi bên ngoài các mô hình lặp đi lặp lại, cải tiến bởi vì họ không tạo ra một chuỗi các cải thiện các giải pháp đáp ứng tất cả những hạn chế của vấn đề. Để kết thúc phần này, nó là giá trị chỉ ra rằng mặc dù lãi suất ban đầu trong việc nghiên cứu mạng dòng chảy đã được gây ra bởi các ứng dụng giao thông vận tải, mô hình này cũng đã được chứng minh là hữu ích cho nhiều lĩnh vực khác. Chúng tôi thảo luận về một trong số họ trong phần tiếp theo.