viatheconstraintequations.Theleft-h

viatheconstraintequations.Theleft-handsideofEquation7.126isnow,however, quitedifferent,inthattheunknownsateachstepTi(t +
t)appearinbothcapacitanceandconductanceterms.Multiplyingby
t andrearrangingEquation7.126, weobtain [C]+[K]
t 2 {T(t +
t)} =[C]−[K]
t 2 {T(t)}+FQ(t +
t)+ FQ(t) 2 +Fg(t +
t)+ Fg(t) 2  (7.127) Equation 7.127 can be solved for the unknown nodal temperatures at time t +
t and the “marching” solution can progress in time until a steady state is reached. The central difference methods is, in general, more accurate than the forward or backward difference method, in that it does not give preference to either temperatures at t or t +
t but, rather, gives equal credence to both. In finite difference methods, the key parameter governing solution accuracy is the selected time step
t. In a fashion similar to the finite element method, in which the smaller the elements are, physically, the better is the solution, the finite difference method converges more rapidly to the true solution as the time step is decreased. These ideas are amplified in Chapter 10, when we examine the dynamic behavior of structures.
7.9 CLOSING REMARKS In Chapter 7, we expand the application of the finite element method into twoand three-dimensional, as well as axisymmetric, problems in heat transfer. While the majority of the chapter focuses on steady-state conditions, we also present the finite difference methods commonly used to examine transient effects. The basis of our approach is the Galerkin finite element method, and this text stays with that procedure, as it is so general in application. As we proceed into applications in fluid mechanics, solid mechanics, and structural dynamics in the following chapters, the Galerkin method is the basis for the development of many of the finite element models.
REFERENCES 1. Huebner, K. H., and E. A. Thornton. The Finite Element Method for Engineers, 2nd ed. New York: John Wiley and Sons, 1982. 2. Incropera, F. P., and D. P. DeWitt. Introduction to Heat Transfer, 3rd ed. New York: John Wiley and Sons, 1996.
PROBLEMS 7.1 For Example 7.1, determine the exact solution by integrating Equation 5.59 and applying the boundary conditions to evaluate the constants of integration. 7.2 Verify the convection-related terms in Equation 7.15 by direct integration. 7.3 For the data given in Example 7.4, use Gaussian quadrature with four integration points (two on r, two on s) to evaluate the terms of the stiffness matrix. Do your results agree with the values given in the example? 7.4 Usingthecomputednodaltemperaturesandheatfluxvaluescalculatedin Example7.5,performacheckcalculationontheheatflowbalance.Thatis, determinewhethertheheatinputisinbalancewiththeheatlossduetoconvection. Howdoesthischeckindicatetheaccuracyofthefiniteelementsolution? 7.5 Consider the circular heat transfer pin shown in Figure P7.5. The base of the pin is held at constant temperature of 100◦C (i.e., boiling water). The tip of the pin and its lateral surfaces undergo convection to a fluid at ambient temperature Ta. The convection coefficients for tip and lateral surfaces are equal. Given kx = 380 W/m-◦C, L = 8 cm, h = 2500 W/m2-◦C, d = 2 cm, Ta = 30◦C. Use a twoelement finite element model with linear interpolation functions (i.e., a two-node element) to determine the nodal temperatures and the heat removal rate from the pin. Assume no internal heat generation.
7.6 Repeat Problem 7.5 using four elements. Is convergence indicated? 7.7 The pin of Figure P7.5 represents a heating unit in a water heater.The base of the pin is held at fixed temperature 30◦C.The pin is surrounded by flowing water at 55◦C. Internal heat generation is to be taken as the constant value Q = 25 W/cm3. All other data are as given in Problem 7.5. Use a two-element model to determine the nodal temperatures and the net heat flow rate from the pin. 7.8 Solve Problem 7.5 under the assumption that the pin has a square cross section 1 cm×1 cm . How do the results compare in terms of heat removal rate? 7.9 The efficiency of the pin shown in Figure P7.5 can be defined in several ways. One way is to assume that the maximum heat transfer occurs when the entire pin is at the same temperature as the base (in Problem 7.5, 100◦C), so that convection is maximized. We then write
qmax =
L
 0
hP(Tb − Ta)dx +hA(Tb − Ta)
where Tb represents the base temperature, P is the peripheral dimension, and A is cross-sectional area at the tip. The actual heat transfer is less than qmax, so we
Use this definition to determine the efficiency of the pin of Problem 7.5. 7.10 Figure P7.10 represents one tube of an automotive engine’s radiator. The engine coolant is circulated through the tube at a constant rate determined by the water pump. Cooling is primarily via convection from flowing air around the tube as a result of vehicle motion. Coolant enters the tube at a temperature of 195◦F and the flow rate is 0.3 gallons per minute (specific weight is 68.5 lb/ft3). The physical data are as follow

Kết quả (Việt) 1:

viatheconstraintequations. Theleft-handsideofEquation7.126isnow, Tuy nhiên, quitedifferent, appearinbothcapacitanceandconductanceterms inthattheunknownsateachstepTi (t + t). Multiplyingby t andrearrangingEquation7.126, weobtain [C] + [K] t 2 {T (t + t)} = t − [K] [C] 2 {T(t)} + FQ(t + t) + FQ(t) 2 + Fg(t + t) + Fg(t) 2 (7.127) phương trình 7.127 có thể được giải quyết cho nhiệt độ nút không rõ tại thời điểm t + t và giải pháp "diễu hành" có thể tiến bộ trong thời gian cho đến khi đạt được một trạng thái ổn định. Các phương pháp khác biệt Trung tâm là, nói chung, chính xác hơn so với các phương pháp khác biệt về phía trước hoặc ngược, trong đó nó không đưa ra các ưu đãi hoặc nhiệt độ t hay t + t nhưng, thay vào đó, mang lại cho credence bằng cho cả hai. Trong các phương pháp khác biệt finite, độ chính xác giải pháp quản lý tham số quan trọng là bước thời gian đã chọn t. Trong một thời trang tương tự như phương pháp phần tử finite, trong đó nhỏ hơn các yếu tố, thể chất, thì tốt hơn là các giải pháp, phương pháp khác biệt finite hội tụ nhanh hơn đến giải pháp đúng như các bước thời gian là giảm. Những ý tưởng là amplified trong chương 10, khi chúng ta xem xét hành vi động của cấu trúc.7.9 ĐÓNG phát BIỂU trong chương 7, chúng tôi mở rộng ứng dụng của phương pháp phần tử finite thành twoand ba chiều, cũng như axisymmetric, các vấn đề trong truyền nhiệt. Trong khi phần lớn các chương tập trung vào trạng thái ổn định điều kiện, chúng tôi cũng trình bày finite sự khác biệt phương pháp thường được sử dụng để kiểm tra ảnh hưởng thoáng qua. Cơ sở của phương pháp tiếp cận của chúng tôi là phương pháp phần tử finite Galerkin, và văn bản này vẫn với thủ tục này, vì nó là như vậy nói chung trong ứng dụng. Như chúng tôi tiếp tục vào các ứng dụng fluid cơ khí, rắn cơ học và động lực học kết cấu trong các chương sau đây, phương pháp Galerkin là cơ sở cho sự phát triển của nhiều người trong số các yếu tố finite mô hình.TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Huebner, K. H. và E. A. Thornton. Phương pháp phần tử hữu hạn cho các kỹ sư, 2nd ed. New York: John Wiley and Sons, 1982. 2. Incropera, F. P. và D. P. DeWitt. Giới thiệu về nhiệt chuyển, 3rd ed. New York: John Wiley and Sons, 1996.Các vấn đề VỀ 7.1 ví dụ 7.1, xác định các giải pháp chính xác bằng việc tích hợp các phương trình 5.59 và áp dụng các điều kiện biên để đánh giá các hằng số tích hợp. 7.2 xác nhận các điều khoản liên quan đến sự đối lưu trong phương trình 7.15 bằng trực tiếp tích hợp. 7.3 các dữ liệu được đưa ra trong ví dụ 7.4, sử dụng Gaussian quadrature với bốn điểm hội nhập (hai trên r, hai ngày s) để đánh giá các điều khoản của ma trận độ cứng. Kết quả của bạn đồng ý với các giá trị được đưa ra trong ví dụ? 7.4 Usingthecomputednodaltemperaturesandheatfluxvaluescalculatedin Example7.5, performacheckcalculationontheheatflowbalance. Thatis, determinewhethertheheatinputisinbalancewiththeheatlossduetoconvection. Howdoesthischeckindicatetheaccuracyofthefiniteelementsolution? 7,5 xem xét mã pin chuyển giao nhiệt thông tư Hiển thị ở hình P7.5. Các cơ sở của pin được tổ chức tại liên tục nhiệt độ 100◦C (tức là, nước sôi). Tip của mã pin và bề mặt bên của nó trải qua sự đối lưu cho một fluid ở nhiệt độ môi trường xung quanh Ta. Coefficients đối lưu cho tip và bề mặt bên là bình đẳng. Cho kx = 380 W/m-◦C, L = 8 cm, h = 2500 W/m2-◦C, d = 2 cm, Ta = 30◦C. Sử dụng một twoelement finite mô hình phần tử với các chức năng phép nội suy tuyến tính (ví dụ, là một yếu tố hai nút) để xác định các nút nhiệt độ và tốc độ cắt bỏ nhiệt từ pin. Giả sử không có thế hệ nhiệt bên trong.7,6 lặp lại vấn đề 7,5 sử dụng bốn yếu tố. Hội tụ chỉ định? 7.7 chốt con số P7.5 đại diện cho một đơn vị sưởi ấm trong nước nóng. Các cơ sở của pin được tổ chức ở nhiệt độ fixed 30◦C.The pin được bao quanh bởi nước flowing tại 55◦C. Thế hệ nội nhiệt là để được thực hiện như là giá trị hằng số Q = 25 W/cm3. Tất cả các dữ liệu khác là như là được đưa ra trong vấn đề 7.5. Sử dụng một mô hình hai-yếu tố để xác định nhiệt độ nút và tỷ lệ flow net nhiệt từ pin. 7.8 giải quyết vấn đề 7,5 theo giả định rằng pin có một tiết diện vuông 1 cm x 1 cm. Kết quả so sánh về mặt tốc độ cắt bỏ nhiệt như thế nào? 7.9 efficiency pin hiển thị ở hình P7.5 có thể là defined trong một số cách. Một cách là để thừa nhận truyền tối đa nhiệt xảy ra khi pin toàn bộ là ở nhiệt độ tương tự như cơ sở (trong vấn đề 7.5, 100◦C), do đó sự đối lưu tối đa. Sau đó chúng ta viếtqmax =L0hP(Tb − Ta) dx + hA(Tb − Ta)nơi Tb đại diện cho nhiệt độ cơ sở, P kích thước thiết bị ngoại vi, và A là diện tích mặt cắt ở mũi. Việc chuyển giao nhiệt độ thực tế là ít hơn qmax, vì vậy chúng tôiSử dụng này definition để xác định efficiency pin của vấn đề 7.5. 7.10 hình P7.10 đại diện cho một ống tản nhiệt động cơ ô tô. Nước làm mát động cơ được lưu thông thông qua các ống với tốc độ không đổi được xác định bằng máy bơm nước. Làm mát là chủ yếu thông qua sự đối lưu từ flowing không khí xung quanh ống là kết quả của chuyển động của xe. Nước làm mát vào ống ở nhiệt độ 195◦F và mức flow là cách 0.3 gallon / phút (specific trọng lượng là 68.5 lb/ft3). Các dữ liệu vật lý là như sau

Kết quả (Việt) 2:

viatheconstraintequations.Theleft-handsideofEquation7.126isnow, tuy nhiên, quitedifferent, inthattheunknownsateachstepTi (t +? t) appearinbothcapacitanceandconductanceterms.Multiplyingby? t andrearrangingEquation7.126, weobtain? [C] + [K]? t 2? {T (t +? t)} = [C] - [K] t 2 {T (t)} + fQ (t + t) + fQ (t) 2 + Fg (t + t) + Fg (t) 2??? ? (7,127) Equation 7,127 có thể được giải quyết cho nhiệt độ tiết điểm không rõ tại thời điểm t +? T và "diễu hành" giải pháp có thể tiến triển trong thời gian cho đến khi một trạng thái ổn định đạt được. Các phương pháp sai số trung tâm là, nói chung, chính xác hơn các phương pháp trước hoặc sau sự khác biệt, trong đó nó không ưu tiên hoặc là nhiệt độ tại t hoặc t +? T nhưng, đúng hơn, cho niềm tin bằng cả hai. Trong các phương pháp khác biệt hữu hạn, tính chính xác giải pháp tham số quản quan trọng là thời gian đã chọn t bước?. Trong một thời trang tương tự như phương pháp phần tử hữu hạn, trong đó nhỏ hơn các yếu tố này, thể chất, tốt hơn là các giải pháp, các fi phương pháp sai phân hữu hạn hội tụ nhanh hơn với các giải pháp đúng như các bước thời gian được giảm. Những ý tưởng này là ampli ed fi trong Chương 10, khi chúng ta nghiên cứu hành vi động của cấu trúc.
LUẬN 7.9 KẾT THÚC Trong Chương 7, chúng tôi mở rộng ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn thành twoand vấn đề ba chiều cũng như axisymmetric, trong truyền nhiệt. Trong khi phần lớn các chương tập trung vào điều kiện trạng thái ổn định, chúng tôi cũng trình bày các phương pháp khác biệt hữu hạn thường được sử dụng để kiểm tra hiệu ứng thoáng qua. Các cơ sở của cách tiếp cận của chúng tôi là Galerkin fi nite phương pháp phần tử, và văn bản này ở lại với thủ tục đó, vì nó quá chung chung trong ứng dụng. Như chúng ta tiếp tục tiến vào ứng dụng trong cơ học fl uid, cơ khí vững chắc, và động lực học cơ cấu trong các chương tiếp theo, phương pháp Galerkin là cơ sở cho sự phát triển của rất nhiều các mô hình phần tử hữu hạn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Huebner, KH, và EA Thornton. Hữu hạn Phương pháp phần tử cho kỹ sư, 2nd ed. New York: John Wiley and Sons, 1982. 2. Incropera, FP, và DP DeWitt. Giới thiệu về truyền nhiệt, 3rd ed. New York: John Wiley and Sons, 1996.
VẤN ĐỀ 7.1 Ví dụ 7.1, xác định các giải pháp chính xác bằng cách tích hợp phương trình 5.59 và áp dụng các điều kiện biên để đánh giá hằng số của hội nhập. 7.2 Xác minh về đối lưu liên quan đến trong phương trình 7.15 bởi tích hợp trực tiếp. 7.3 Đối với các dữ liệu được đưa ra trong ví dụ 7.4, sử dụng cầu phương Gauss có bốn điểm hội nhập (hai trên r, hai trên s) để đánh giá các điều khoản của các ma trận độ cứng. Do kết quả của bạn đồng ý với các giá trị được đưa ra trong ví dụ? 7.4 Usingthecomputednodaltemperaturesandheat fl uxvaluescalculatedin Example7.5, performacheckcalculationontheheat fl owbalance.Thatis, determinewhethertheheatinputisinbalancewiththeheatlossduetoconvection. Howdoesthischeckindicatetheaccuracyofthe fi niteelementsolution? 7.5 Xem xét các pin truyền nhiệt tròn thể hiện trong hình P7.5. Các cơ sở của pin được giữ ở nhiệt độ không đổi của 100◦C (tức là, nước sôi). Những mẹo của pin và bề mặt bên của nó trải qua đối lưu đến một uid fl ở nhiệt độ môi trường xung quanh Ta. Các hệ fi đối lưu coef cho mũi và ngang bề mặt đều bình đẳng. Với kx = 380 W / m-◦C, L = 8 cm, h = 2.500 W / m2-◦C, d = 2 cm, Ta = 30◦C. Sử dụng một mô hình phần tử hữu hạn twoelement fi với chức năng nội suy tuyến tính (ví dụ, một yếu tố hai nút) để xác định nhiệt độ tiết điểm và tỷ lệ loại bỏ nhiệt từ pin. Giả sử không có phát sinh nhiệt bên.
7,6 Lặp lại vấn đề 7.5 sử dụng bốn yếu tố. Được hội tụ chỉ định? 7,7 Các pin của Hình P7.5 đại diện cho một đơn vị sưởi ấm trong một cơ sở heater.The nước của pin được giữ ở nhiệt độ cổ định 30◦C.The pin được bao quanh bởi fl do nước ở 55◦C. Sinh nhiệt bên trong sẽ được thực hiện như là hằng số giá trị Q = 25 W / cm3. Tất cả các dữ liệu khác như được đưa ra trong vấn đề 7.5. Sử dụng một mô hình hai yếu tố để xác định nhiệt độ tiết điểm và tỷ lệ ow fl nhiệt ròng từ pin. 7.8 Giải quyết các vấn đề 7,5 theo giả định rằng pin có tiết diện vuông 1 cm x 1 cm. Làm thế nào để kết quả so sánh về tốc độ loại bỏ nhiệt? 7.9 Các fi ciency ef của pin hiện trong hình P7.5 có thể de fi định nghĩa theo nhiều cách. Một cách là giả định rằng việc chuyển giao nhiệt tối đa xảy ra khi toàn bộ pin ở nhiệt độ tương tự như các cơ sở (trong vấn đề 7.5, 100◦C), do đối lưu được tối đa hóa. Sau đó chúng tôi viết
Qmax =
L
? 0
HP (Tb - Ta) dx + hA (Tb - Ta)
nơi Tb đại diện cho nhiệt độ cơ sở, P là kích thước ngoại vi, và A là diện tích mặt cắt ngang ở mũi. Các truyền nhiệt thực tế ít hơn so với Qmax, vì vậy chúng tôi
sử dụng định nghĩa fi de này để xác định tính hiệu fi ef của pin của Problem 7.5. 7.10 Hình P7.10 đại diện cho một ống tản nhiệt động cơ ô tô của. Việc làm mát động cơ được lưu thông qua các ống với một tốc độ không đổi xác định bởi máy bơm nước. Làm lạnh chủ yếu là thông qua đối lưu từ fl do không khí xung quanh ống như là kết quả của chuyển động của xe. Nước làm mát vào ống ở nhiệt độ 195◦F và tỷ lệ ow fl là 0,3 lít mỗi phút (cụ thể fi c cân là 68,5 lb / ft3). Các dữ liệu vật lý như sau