4.6.6 Reducing the ErrorInstead of

4.6.6 Reducing the Error
Instead of allowing either one or two of each size bucket, suppose we allow either r−1 or r of each of the exponentially growing sizes 1,2,4,..., for some integer r > 2. In order to represent any possible number of 1’s, we must relax this condition for the buckets of size 1 and buckets of the largest size present; there may be any number, from 1 to r, of buckets of these sizes. The rule for combining buckets is essentially the same as in Section 4.6.5. If we get r + 1 buckets of size 2j, combine the leftmost two into a bucket of size 2j+1. That may, in turn, cause there to be r + 1 buckets of size 2j+1, and if so we continue combining buckets of larger sizes. The argument used in Section 4.6.4 can also be used here. However, because there are more buckets of smaller sizes, we can get a stronger bound on the error. We saw there that the largest relative error occurs when only one 1 from the leftmost bucket b is within the query range, and we therefore overestimate the true count. Suppose bucket b is of size 2j. Then the true count is at least
154 CHAPTER 4. MINING DATA STREAMS
Bucket Sizes and Ripple-Carry Adders
There is a pattern to the distribution of bucket sizes as we execute the basic algorithm of Section 4.6.5. Think of two buckets of size 2j as a ”1” in position j and one bucket of size 2j as a ”0” in that position. Then as 1’s arrive in the stream, the bucket sizes after each 1 form consecutive binary integers. The occasional long sequences of bucket combinations are analogous to the occasional long rippling of carries as we go from an integer like 101111 to 110000.

The overestimate is 2j−1 −1.
Thus, the fractional error is
No matter what j is, this fraction is upper bounded by 1/(r − 1). Thus, by picking r sufficiently large, we can limit the error to any desired ǫ > 0.

Kết quả (Việt) 1:

4.6.6 giảm lỗi
thay vì cho phép hoặc một hoặc hai của mỗi nhóm kích thước, giả sử chúng tôi cho phép r−1 hoặc r của mỗi của các kích thước ngày càng tăng theo cấp số nhân 1,2,4,..., cho một số số nguyên r > 2. Để đại diện cho bất kỳ có thể có số 1, chúng tôi phải thư giãn điều kiện này cho các nhóm kích thước 1 và Xô của kích thước lớn nhất hiện nay; để xem nếu có bất kỳ số nào, từ 1 đến r, Nhóm của các kích thước. Quy tắc cho các kết hợp xô về cơ bản là giống như trong phần 4.6.5. Nếu chúng tôi nhận được r 1 Xô kích thước 2j, kết hợp cả hai tận cùng bên trái vào một xô kích thước 2j 1. Mà có thể, lần lượt, nguyên nhân có được r 1 Xô của kích thước 2j 1, và nếu như vậy, chúng tôi tiếp tục kết hợp nhóm của kích thước lớn hơn. Các đối số được sử dụng trong phần 4.6.4 cũng có thể được sử dụng ở đây. Tuy nhiên, bởi vì có rất nhiều nhóm kích thước nhỏ hơn, chúng tôi có thể nhận được một ràng buộc mạnh mẽ hơn trên lỗi. Chúng tôi đã thấy có lỗi tương đối lớn nhất xảy ra khi chỉ có một 1 từ tận cùng bên trái Xô b là trong phạm vi truy vấn, và do đó chúng tôi đánh giá cao tính đúng. Giả sử nhóm b là của kích thước 2j. Sau đó thực sự đếm là ít
154 chương 4. Khai thác dữ liệu dòng
Xô kích thước và thực hiện gợn Adders
Đó là một mô hình để phân phối kích thước thùng như chúng tôi thực hiện các thuật toán cơ bản của phần 4.6.5. Hãy suy nghĩ của hai nhóm kích thước 2j là một "1" ở vị trí j và một xô của kích thước 2j là một "0" ở vị trí đó. Sau đó là của 1 đến trong dòng, tạo thành các nhóm kích thước sau khi mỗi 1 liên tiếp nhị phân số hàng nguyên. Các chuỗi dài thường xuyên của nhóm kết hợp là tương tự như để thỉnh thoảng lâu rippling của mang khi chúng tôi đi từ một số nguyên như 101111 để 110000.

overestimate là 2j−1 −1.
Vì vậy, lỗi phân đoạn là
không có vấn đề gì j là, phần này là trên bị chặn bởi 1 /(r − 1). Vì vậy, bằng cách chọn r sufficiently lớn, chúng tôi có thể giới hạn lỗi để bất kỳ mong muốn ǫ > 0.