Special attention has been paid to

Special attention has been paid to planar lattices. A lattice is called planar
if it has a planar diagram.
A first characterization of planar lattices needs some more definitions.
A poset is a chain (also a total ly ordered set or a linearly ordered set) if
each pair of elements of the ground set is comparable. A linear extension of a poset (P, ≤) is a chain (P, ≤ ) defined on the same ground set which respects all comparabilities of the relation ≤. The (order) dimension of a poset (P, ≤) is the least t for which there exists a family {L1, L2 ,... , Lt } of linear extensions of P such that P = L1 ∩ L2 ∩ ••• ∩ Lt . Baker et al. (1971)
gave a characterization in terms of the dimension of a lattice.

Theorem 3.14 (Baker et al. 1971). A lattice is planar if and only if it has order dimension at most two.

In contrast, Kelly and Rival (1975) characterized finite lattices in terms of forbidden configurations, so-called obstructions. They showed that a cer- tain family L of non-planar lattices is a minimal obstruction set for planar
diagrams.

Theorem 3.15 (Kelly and Rival 1975). A finite lattice is planar if and only if it contains no subset isomorphic to a member of the family L.

An necessary and sufficient condition for planar lattices that can be tested efficiently has been given by Platt (1976).

Theorem 3.16 (Platt 1976). A finite lattice is planar if and only if the undirected covering graph plus an additional edge from the maximum to the minimum element is planar.

In addition to planarity, one has studied the criterion to use as few slopes as possible for the drawing of the covering edges. For a while, it was thought that the minimum number of slopes needed to draw a lattice depends only on the maximum number of upper covers (the maximum up-degree) and the maximum number of lower covers (the maximum down-degree) among the elements of the lattice. Of course, for any ordered set, the maximum of the up-degrees and the down-degrees is a lower bound on the number of slopes needed. However, the conjecture that this is the actual number of slopes needed has been disproved for lattices in general (Czyzowicz et al., 1990; Czyzowicz, 1991). In contrast, nice positive results have been found for planar lattices.

Theorem 3.17 (Czyzowicz et al. 1990). Every finite planar lattice with maximum up-degree and down-degree two has a planar, two-slope diagram.

Kết quả (Việt) 1:

Sự chú ý đặc biệt đã được trả tiền để lưới phẳng. Một lưới được gọi là phẳngNếu nó có một sơ đồ phẳng.Một đặc tính chính của hai chiều lưới cần một số definitions thêm.Poset một là một chuỗi (cũng một ly tất cả đã ra lệnh tập hợp hoặc một tập hợp tuyến tính đặt hàng) nếumỗi cặp các yếu tố của bộ mặt đất là tương tự. Một phần mở rộng tuyến tính của một poset (P, ≤) là một defined chuỗi (P, ≤) trên mặt đất cùng một bộ mà tôn trọng tất cả comparabilities ≤ mối quan hệ. Kích thước (lệnh) của một poset (P, ≤) là ít nhất t mà có tồn tại một gia đình {L1, L2,..., Lt} của tiện ích mở rộng tuyến tính của P như vậy đó P = L1 ∩ L2 ∩ • ∩ Lt. Baker et al. (1971)đã cho một đặc tính trong điều khoản của kích thước của một lưới.Định lý 3.14 (Baker et al. 1971). Một lưới là phẳng nếu và chỉ nếu nó có trật tự kích thước tối đa hai.Độ tương phản, Kelly và đối thủ (1975) đặc trưng finite lưới trong điều khoản của configurations bị cấm, cái gọi là vật cản. Họ đã cho thấy rằng một gia đình cer-tain L của lưới phòng không phẳng là một tắc nghẽn tối thiểu đặt cho hai chiềuSơ đồ.Định lý 3,15 (Kelly và đối thủ năm 1975). Một lưới finite là hai chiều, nếu và chỉ nếu nó có chứa không có tập con đẳng cấu với một thành viên của gia đình L.Một điều kiện cần thiết và sufficient cho phẳng lưới có thể là thử nghiệm efficiently đã được đưa ra bởi Platt (1976).Định lý 3,16 (Platt 1976). Một lưới finite là hai chiều, nếu và chỉ nếu đồ thị vô hướng bao gồm cộng với một cạnh thêm từ tối đa cho phần tử tối thiểu là hai chiều.Ngoài planarity, một trong những đã nghiên cứu các tiêu chí để sử dụng dốc càng ít càng tốt cho các bản vẽ của đơn vị nằm trên cạnh. Trong một thời gian, nó được nghĩ rằng số lượng tối thiểu của sườn cần thiết để vẽ một lưới phụ thuộc chỉ vào số trên bìa (tối đa mặc-mức độ), tối đa và số thấp bao gồm (bậc tối đa xuống-) trong số các yếu tố của mạng, tối đa. Tất nhiên, đối với bất kỳ thiết lập trật, tối đa độ lên và xuống-độ là một ràng buộc thấp hơn về số lượng các sườn cần thiết. Tuy nhiên, phỏng đoán rằng đây là một số thực tế của sườn cần thiết đã được bác bỏ cho lưới nói chung (Czyzowicz et al., 1990; Czyzowicz, 1991). Ngược lại, kết quả tích cực tốt đẹp đã được tìm thấy cho lưới phẳng.Định lý 3,17 (Czyzowicz et al. 1990). Mỗi finite phẳng lưới với up-bậc tối đa và độ xuống hai có một sơ đồ hai chiều, hai-dốc.

Kết quả (Việt) 2:

Đặc biệt chú ý đã được trả tiền để Lưới phẳng. Một mạng được gọi là phẳng
nếu nó có một sơ đồ phẳng.
Một đặc tính fi đầu tiên của Lưới phẳng cần một số nitions fi de hơn.
Một poset là một chuỗi (cũng là một tổng ly ra lệnh thiết lập hoặc thiết lập một tuyến tính đặt hàng) nếu
mỗi cặp phần tử của tập mặt đất có thể so sánh. Một phần mở rộng tuyến tính của một poset (P, ≤) là một chuỗi (P, ≤) de fi ned trên các thiết lập một mặt bằng mà tôn trọng tất cả comparabilities của mối quan hệ ≤. Các (order) chiều của một poset (P, ≤) là t nhất mà tồn tại một gia đình {L1, L2, ..., Lt} các phần mở rộng tuyến tính của P sao cho P = L1 ∩ L2 ∩ ••• ∩ Lt. Baker et al. (1971)
đã đưa ra một mô tả đặc điểm về kích thước của một mạng. Định lý 3.14 (Baker et al. 1971). Một mạng là phẳng nếu và chỉ nếu nó có kích thước đặt hàng nhiều nhất là hai. Ngược lại, Kelly và Rival (1975) đặc trưng fi Lưới nite về cấm con chíp PSoC fi, cái gọi là vật cản. Họ cho thấy một gia đình tain L cer- của Lưới không phẳng là một tập tắc tối thiểu cho phẳng sơ đồ. Định lý 3.15 (Kelly và Rival 1975). Một mạng fi nite là phẳng nếu và chỉ nếu nó không chứa tập con đẳng cấu với một thành viên của gia đình L. Một điều kiện ffi cient cần thiết và su cho Lưới phẳng mà có thể được kiểm tra e ffi ciently đã được đưa ra bởi Platt (1976). Định lý 3.16 (Platt 1976) . Một mạng fi nite là phẳng nếu và chỉ nếu đồ thị phủ vô hướng cộng với một cạnh thêm từ tối đa đến các yếu tố tối thiểu là phẳng. Ngoài planarity, ai đã nghiên cứu các tiêu chí dùng càng ít dốc càng tốt cho các bản vẽ của phần bao cạnh. Trong một thời gian, người ta nghĩ rằng số lượng tối thiểu của sườn cần thiết để vẽ một lưới chỉ phụ thuộc vào số lượng tối đa của nắp trên (tối đa lên độ) và số lượng tối đa bao thấp hơn (tối đa xuống độ) trong số các các yếu tố của mạng tinh thể. Tất nhiên, đối với bất kỳ tập có thứ tự, tối đa của up-độ và xuống độ thấp là một sự ràng buộc về số lượng dốc cần thiết. Tuy nhiên, những phỏng đoán rằng đây là số lượng thực tế của sườn cần thiết đã được bác bỏ cho Lưới nói chung (Czyzowicz et al, 1990;. Czyzowicz, 1991). Ngược lại, kết quả tích cực đẹp đã được tìm thấy cho Lưới phẳng. Định lý 3.17 (Czyzowicz et al. 1990). Mỗi fi nite phẳng mạng với tối đa lên độ và giảm độ hai có một sơ đồ phẳng, hai dốc.