The Karnopp ModelThe main disadvant

The Karnopp Model

The main disadvantage when using a model such as H5I, for simulations or con-trol purposes, is the problem of detecting when the velocity is zero. A remedy for this is found in the model presented by Karnopp in J34 K. It was developed to overcome the problems with zero velocity detection and to avoid switching between different state equations for sticking and sliding. The model defines a zero velocity interval, tvt DV. For velocities within this interval the internal state of the system Hthe velocityI may change and be non-zero but the output of the block is maintained at zero by a dead-zone. Depending on if tvt DV or not, the friction force is either a saturated version of the external force or an arbitrary static function of velocity. The interval DV can be quite coarse and still promote so called stick-slip behavior.



The drawback with the model is that it is so strongly coupled with the rest of the system. The external force is an input to the model and this force is not always explicitly given. The model therefore has to be tailored for each configura-tion. Variations of the Karnopp model are widely used since they allow efficient simulations. The zero velocity interval does, however, not agree with real friction.

The friction models presented so far have considered friction only for steady velocities. No attention is paid to the behavior of friction as the velocity is varied.

Armstrong's Model

To account for some of the observed dynamic friction phenomena a classical model can be modified as proposed by Armstrong in J3K. This model introduces temporal dependencies for stiction and Stribeck effect, but does not handle pre-sliding displacement. This is instead done by describing the sticking behavior by a separate equation. Some mechanism must then govern the switching between the model for sticking and the model for sliding. The friction is described by

FHxI s 0 x H7I
when sticking and by
FHv tI FCFS Hg  tdI1 HvHt − t lI/vS I2 sgnHvI Fvv H8I
1
when sliding, where
FS Hg  tdI FSa HFS` − FSa td I H9I
td g



1997-11-28 16:52 9

FSa is the Stribeck friction at the end of the previous sliding period and td the dwell time, i.e., the time since becoming stuck. The sliding friction H8 I is equivalent to a static model where the momentary value of the velocity in the Stribeck friction has been replaced by a delayed version and where it has a time dependent coefficient. The model requires seven parameters.

Since the model consists of two separate models, one for sticking and one for sliding, a logical statement—probably requiring an eighth parameter—determines the switching. Furthermore, the model states have to be initialized appropriately every time a switch occurs.





4. Dynamic models


Lately there has been a significant interest in dynamic friction models. This has been driven by intellectual curiosity, demands for precision servos and advances in hardware that makes it possible to implement friction compensators. In this section we will present several dynamic models.

The Dahl Model

The Dahl model introduced in J18K was developed for the purpose of simulating control systems with friction. The model is also discussed in J19K and J21K, and has also been used for adaptive friction compensation, see J55K and J23K. Dahl's starting point were several experiments on friction in servo systems with ball bearings. One of his findings was that bearing friction behaved very similar to solid friction. These experiments indicate that there are metal contacts between the surfaces. Dahl developed a comparatively simple model that was used exten-sively to simulate systems with ball bearing friction.

The starting point for Dahl's model is the stress-strain curve in classical solid mechanics, see J46K and J49K, and Figure 6. When subject to stress the friction force increases gradually until rupture occurs. Dahl modeled the stress-strain curve by a differential equation. Let x be the displacement, F the friction force, and Fc the Coulomb friction force. Then Dahl's model has the form

dF F a
s 1 − sgn v
dx Fc
where s is the stiffness coefficient and a is a parameter that determines the shape of the stress-strain curve. The value a 1 is most commonly used. Higher



1997-11-28 16:52 10

F

Fc

x˙  0 x˙  0

x
slopeσ 0

−Fc
Figure 6 Friction force as a function of displacement for Dahl's model.
values will give a stress strain curve with a sharper bend. The friction force tFt
will never be larger than Fc if its initial value is such that tFH0It Fc.
Notice that in this model the friction force is only a function of the displace-
ment and the sign of the velocity. This implies that the friction force is only
position dependent. This so called rate independence is an important property
of the model. It makes it possible to use the theory of hysteresis operators J35K.
It is also used in extensions of the model, see J5K.
To obtain a time domain model Dahl observed that
dF dF dx dF F a
v s 1 − sgn v v H10I
dt dx dt dx Fc
The model is a generalization of ordinary Coulomb friction. The Dahl model neither captures the Stribeck effect, which is a rate dependent phenomenon, nor does it capture stiction. These are the main motivations for the recent extensions of the model, see J5, 13K.

For the case a 1 the Dahl model H10I becomes
dF F
s v − tvt
dt Fc
Introducing F s z the model can be written as
dz v s tvt z
dt
− Fc H11I

F s z

The Bristle Model

Haessig and Friedland introduced a friction model in J28K, which attempted to capture the behavior of the microscopical contact points between two surfaces.


1997-11-28 16:52 11

Due to irregularities in the surfaces the number of contact points and their location are random. Each point of contact is thought of as a bond between flexible bristles. As the surfaces move relative to each other the strain in the bond increases and the bristles act as springs giving rise to a friction force. The force is then given by


N
X s 0Hxi − biI H12I
F
i 1

where N is the number of bristles, s 0 the stiffness of the bristles, xi the relative position of the bristles, and bi the location where the bond was formed. As txi −bit equals d s the bond snaps and a new one is formed at a random location relative to the previous location.

The complexity of the model increases with N. Good results were found with 20–25 bristles, but even a single bristle gave reasonable qualitative behavior. The stiffness of the bristles, s 0, can be made velocity dependent. An interest-ing property of the model is that it captures the random nature of friction. The randomness depends on the number of bristles. The model is inefficient in sim-ulations due to its complexity. Motion in sticking may be oscillatory since there is no damping of the bristles in the model.



The Reset Integrator Model

Haessig and Friedland also proposed the reset integrator model in the same article J28K. This model can be viewed as an attempt to make the bristle model computationally feasible. Instead of snapping a bristle the bond is kept constant by shutting off the increase of the strain at the point of rupture. The model utilizes an extra state to determine the strain in the bond, which is modeled by

dt > if Hv 0 and z z0I or Hv 0 and z −z0I
dz 80
>
: otherwise

< H14I
aHzI >0 otherwise
:
If tzt z0 the model describes sticking where the friction force is a function of z. As the deflection reaches its maximum value z0, the variable z remains constant and the friction force drops since aHzI becomes zero. The friction force when slipping is an arbitrary function of the velocity given by s 0HvI. The reset integrator model is far more efficient to simulate than the bristle model, but it is discontinuous in z, and detection of tzt z0 is necessary.



The Models by Bliman and Sorine

Bliman and Sorine have developed a family of dynamic models in a series of papers J6, 7, 8K. It is based on the experimental investigations by Rabinowicz,

see J44K.

Bliman and Sorine stress rate independence. The magnitude of the friction depends only on sgn v and the space variable s defined by
Z t

s tvHt Itdt 
0

In the Bliman-Sorine models, friction is then a function of the path only. It does not depend on how fast the system moves along the path. This makes it possible to use the elegant theory of hysteresis operators developed in J35, 54K. The models are expressed as linear systems in the space variable s.

dxs Axs B vs
ds H15I F C xs

The variable vs sgnHvI is required to obtain the correct sign. Bliman and Sorine have models of different complexity. The first order model is given by

A −1/e f  B f1/e f and C 1 H16I

This model can be written as
dt ds dt tvt ds f1/e f v − tvt f1
dF dF ds dF F






1997-11-28 16:52 13

which is identical to the Dahl model H10I with FC f1, s f1/e f and a 1. The first order model does not give stiction, nor does it give a friction peak at a specific break-away distance as observed by Rabinowicz. This can, however, be achieved by a second order model with


A −1/Hh e f I 0 ! ,
0 −1/e f H17I
B f1/Hh e f I ! and CH 1 1 I ,

− f2/e f

where f1 − f2 corresponds to kinetic friction reached exponentially as s 3 `, see J8K. The model H17I can be viewed as a parallel connection of a fast and a slow Dahl model. The fast model has higher steady state friction than the slow model. The

Kết quả (Việt) 1:

Các mô hình KarnoppNhững bất lợi chính khi sử dụng một mô hình như H5I, cho mô phỏng hoặc mục đích côn-trol, là vấn đề phát hiện khi tốc độ là zero. Một biện pháp khắc phục cho việc này được tìm thấy trong mô hình trình bày bởi Karnopp ở J34 K. Nó được phát triển để khắc phục các vấn đề với không phát hiện vận tốc và để tránh chuyển đổi giữa các trạng thái khác nhau phương trình cho gắn bó và trượt. Các mô hình xác định một số không vận tốc khoảng thời gian, tvt DV. Cho vận tốc trong khoảng thời gian này nhà nước nội bộ của hệ thống Hthe velocityI có thể thay đổi và được không, nhưng sản lượng của khối được duy trì tại zero của một khu vực chết. Tùy thuộc vào nếu tvt DV hay không, lực ma sát là một phiên bản bão hòa của lực lượng bên ngoài hoặc một chức năng tĩnh tùy ý của vận tốc. Khoảng thời gian DV có thể khá thô và vẫn còn thúc đẩy như vậy gọi là hành vi thanh trượt.Hạn chế với các mô hình là nó mạnh mẽ như vậy kết hợp với phần còn lại của hệ thống. Lực lượng bên ngoài là một đầu vào cho các mô hình và lực lượng này không phải là luôn luôn một cách rõ ràng được đưa ra. Các mô hình vì vậy đã được thiết kế cho mỗi configura-tion. Các biến thể của mô hình Karnopp được sử dụng rộng rãi kể từ khi họ cho phép hiệu quả mô phỏng. Khoảng thời gian vận tốc không, Tuy nhiên, không đồng ý với thực sự ma sát.Các mô hình ma sát trình bày cho đến nay đã xem xét ma sát chỉ cho ổn định vận tốc. Không có sự chú ý trả cho hành vi của ma sát vận tốc đa dạng.Armstrong của mô hìnhĐể giải thích cho một số các hiện tượng ma sát động quan sát thấy một mô hình cổ điển có thể được cải tiến thành được đề xuất bởi Armstrong tại J3K. Mô hình này giới thiệu các phụ thuộc thời gian cho stiction và Stribeck có hiệu lực, nhưng không xử lý trọng lượng rẽ nước trước trượt. Điều này thay vào đó được thực hiện bằng cách mô tả hành vi gắn bó bởi một phương trình riêng biệt. Một số cơ chế phải sau đó chi phối việc chuyển đổi giữa các mô hình cho gắn bó và các mô hình cho trượt. Ma sát được mô tả bởi FHxI s 0 x H7IKhi gắn bó và bởi FHv tI FCFS Hg  tdI1 HvHt − t lI/vS I2 sgnHvI Fvv H8I 1 khi trượt, nơi FS Hg  tdI FSa HFS' − FSa td tôi H9I TD g 1997-11-28 16:52 9 FSa là ma sát Stribeck phía trước trượt thời gian và td thời gian dừng lại ở, tức là, thời gian từ trở nên khó khăn. Ma sát trượt H8 tôi là tương đương với một mô hình tĩnh nơi giá trị tạm thời của vận tốc trong ma sát Stribeck đã được thay thế bởi một phiên bản bị trì hoãn và nơi nó có một hệ số phụ thuộc vào thời gian. Các mô hình yêu cầu tham số bảy.Kể từ khi các mô hình bao gồm hai tách các mô hình, một cho gắn bó và một cho trượt, một tuyên bố hợp lý-có thể yêu cầu một tham số thứ tám — xác định các chuyển đổi. Hơn nữa, các mô hình kỳ phải được khởi tạo một cách thích hợp mỗi khi một chuyển đổi xảy ra.4. năng động mô hìnhGần đây đã có một lợi ích đáng kể trong các mô hình ma sát động. Điều này đã được thúc đẩy bởi sự tò mò trí tuệ, nhu cầu cho độ chính xác servo và tiến bộ trong phần cứng mà làm cho nó có thể thực hiện ma sát compensators. Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số mô hình động.Các mô hình DahlCác mô hình Dahl giới thiệu ở J18K đã được phát triển với mục đích mô phỏng hệ thống điều khiển lực ma sát. Các mô hình cũng được thảo luận tại J19K và J21K, và cũng đã được sử dụng cho thích nghi ma sát bồi thường, hãy xem J55K và J23K. Dahl's bắt đầu điểm đã là một số thí nghiệm trên ma sát trong hệ thống điện với vòng bi. Một trong những phát hiện của ông là rằng mang ma sát cư xử rất giống với rắn ma sát. Các thí nghiệm cho thấy rằng không có tiếp xúc kim loại giữa các bề mặt. Dahl phát triển một mô hình tương đối đơn giản là exten-sively được sử dụng để mô phỏng các hệ thống với bi ma sát.Điểm khởi đầu cho mô hình của Dahl là đường cong stress căng thẳng trong cơ học cổ điển rắn, xem J46K và J49K, và con số 6. Khi bị căng thẳng lực ma sát làm tăng dần dần cho đến khi vỡ xảy ra. Dahl mô hình đường cong stress căng thẳng bởi một phương trình vi phân. Cho x là trọng lượng rẽ nước, F lực ma sát và Fc lực ma sát Coulomb. Sau đó mô hình Dahl's có dạngdF F một s 1 − sgn vDX Fc s là hệ số độ cứng và một là một tham số xác định hình dạng của đường cong stress căng thẳng. Giá trị 1 một phổ biến nhất được sử dụng. Cao 1997-11-28 16:52 10 FFC x˙  0 x˙  0 xslopeσ 0 −FC Hình 6 ma sát buộc như là một chức năng của trọng lượng rẽ nước cho mô hình của Dahl.giá trị sẽ cung cấp cho một đường cong căng thẳng căng thẳng với một uốn cong sắc nét hơn. Màn hình tFt lực ma sátsẽ không bao giờ lớn hơn Fc nếu giá trị ban đầu của nó là như vậy đó Fc tFH0It.Nhận thấy rằng trong mô hình này lực ma sát là chỉ là một chức năng của displace-ment và các dấu hiệu của vận tốc. Điều này ngụ ý rằng lực ma sát là chỉphụ thuộc vào vị trí. Này độc lập tỷ lệ như vậy gọi là là một tài sản quan trọngcủa mô hình. Nó làm cho nó có thể sử dụng lý thuyết của nhà khai thác hysteresis J35K.Nó cũng được sử dụng trong Tiện ích mở rộng của mô hình, xem J5K. Để có được một mô hình miền thời gian Dahl quan sát thấy rằng dF dF dx dF F một v s 1 − sgn v v H10I DT dx dt dx Fc Các mô hình là một tổng quát của ma sát Coulomb bình thường. Mô hình Dahl không chụp ảnh hưởng Stribeck, là một hiện tượng phụ thuộc tỷ lệ, và cũng không có nó nắm bắt stiction. Đây là những động lực chính cho các phần mở rộng tại của mô hình, xem J5, 13K.Đối với trường hợp một 1 mô hình Dahl H10I trở thành dF F s v − tvt DT Fc Giới thiệu về F s z các mô hình có thể được viết dưới dạng DZ v s tvt z DT − Fc H11I F s zCác mô hình BristleHaessig và Friedland giới thiệu một mô hình ma sát ở J28K, đã cố gắng để nắm bắt hành vi của các điểm liên lạc microscopical giữa hai bề mặt. 1997-11-28 16:52 11 Do bất thường trong các bề mặt số lượng các điểm liên lạc và vị trí của họ là ngẫu nhiên. Mỗi điểm liên lạc là nghĩ đến như là một mối quan hệ giữa lông linh hoạt. Khi các bề mặt di chuyển tương đối với nhau sự căng thẳng trong tăng lên trái phiếu và lông các hoạt động như springs dẫn đến một lực ma sát. Sau đó, lực lượng được cho bởiN X s 0Hxi − biI H12IF tôi 1nếu N là số lông, s 0 độ cứng của lông, xi thân nhân vị trí của lông, và bi vị trí nơi mà các trái phiếu được thành lập. Như txi −bit bằng d s các trái phiếu snaps và một mới một được hình thành tại một vị trí ngẫu nhiên tương đối so với vị trí trước đó.Sự phức tạp của mô hình tăng với N. tốt kết quả đã được tìm thấy với 20-25 lông, nhưng ngay cả một bristle duy nhất cho hành vi chất lượng hợp lý. Độ cứng của lông, s 0, có thể được thực hiện vận tốc phụ thuộc. Một tài sản quan tâm-ing của mô hình là nó bắt bản chất ngẫu nhiên của ma sát. Ngẫu nhiên phụ thuộc vào số lượng lông. Các mô hình là không hiệu quả trong sim-ulations do phức tạp của nó. Chuyển động trong dính có thể oscillatory vì không có dao lông trong mô hình.Các mô hình tích hợp thiết lập lạiHaessig và Friedland cũng đề xuất các mô hình tích hợp thiết lập lại trong cùng một bài báo J28K. Mô hình này có thể được xem như một nỗ lực để làm cho các mô hình bristle computationally khả thi. Thay vì chụp một bristle các trái phiếu được giữ liên tục bởi tắt sự gia tăng của sự căng thẳng tại điểm vỡ. Các mô hình sử dụng một nhà nước phụ để xác định sự căng thẳng vào trái phiếu, mô hình bởiDT > nếu Hv 0 và z z0I hoặc Hv 0 và z −z0IDZ 80 > : nếu không Lực ma sát được cho bởiDZF H1 aHzIIs 0HvIz s 1 dt H13Itrong đó s 1dz/dt là một thuật ngữ damping là hoạt động chỉ khi gắn bó. Hệ số damping có thể được chọn để cung cấp cho một mong muốn dao tương đối của các kết quả 1997-11-28 16:52 12 mùa xuân khối lượng Van điều tiết hệ thống. Stiction là đạt được bằng aHzI chức năng, được đưa ra bởi8A nếu tzt z0 > < H14IaHzI > 0 nếu không : Nếu tzt z0 các mô hình mô tả gắn bó nơi ma sát quân là một chức năng của z. Khi đạt đến độ lệch z0 tối đa giá trị của nó, z biến vẫn không đổi và lực ma sát xuống từ aHzI trở thành số không. Lực ma sát khi trượt là một chức năng tùy ý của vận tốc được đưa ra bởi s 0HvI. Các mô hình tích hợp thiết lập lại là hiệu quả hơn để mô phỏng so với mô hình bristle, nhưng nó là không liên tục trong z, và phát hiện tzt z0 là cần thiết.Các mô hình bởi Bliman và SorineBliman và Sorine đã phát triển một gia đình của các mô hình động trong một loạt các giấy tờ J6, 7, 8K. Nó dựa trên các nghiên cứu thực nghiệm của Rabinowicz,see J44K.Bliman and Sorine stress rate independence. The magnitude of the friction depends only on sgn v and the space variable s defined byZ ts tvHt Itdt 0In the Bliman-Sorine models, friction is then a function of the path only. It does not depend on how fast the system moves along the path. This makes it possible to use the elegant theory of hysteresis operators developed in J35, 54K. The models are expressed as linear systems in the space variable s.dxs Axs B vsds H15I F C xsThe variable vs sgnHvI is required to obtain the correct sign. Bliman and Sorine have models of different complexity. The first order model is given byA −1/e f  B f1/e f and C 1 H16IThis model can be written asdt ds dt tvt ds f1/e f v − tvt f1dF dF ds dF F 1997-11-28 16:52 13 which is identical to the Dahl model H10I with FC f1, s f1/e f and a 1. The first order model does not give stiction, nor does it give a friction peak at a specific break-away distance as observed by Rabinowicz. This can, however, be achieved by a second order model withA −1/Hh e f I 0 ! , 0 −1/e f H17IB f1/Hh e f I ! and CH 1 1 I , − f2/e fwhere f1 − f2 corresponds to kinetic friction reached exponentially as s 3 `, see J8K. The model H17I can be viewed as a parallel connection of a fast and a slow Dahl model. The fast model has higher steady state friction than the slow model. The

Kết quả (Việt) 2:

Các Karnopp mẫu Nhược điểm chính khi sử dụng một mô hình như H5I, cho mô phỏng hoặc các mục đích con-trol, là vấn đề của phát hiện khi vận tốc bằng không. Một biện pháp khắc phục cho điều này được tìm thấy trong các mô hình được trình bày bởi Karnopp trong J34 K. Nó được phát triển để khắc phục các vấn đề với vận tốc không được phát hiện và tránh chuyển đổi giữa các phương trình trạng thái khác nhau để gắn bó và trượt. Mô hình này xác định một khoảng thời gian không vận tốc, tvt DV. Đối với vận tốc trong khoảng thời gian này các nước nội bộ của hệ thống Hthe velocityI có thể thay đổi và khác không nhưng đầu ra của khối được duy trì ở mức zero bởi một vùng đất chết. Tùy thuộc vào nếu tvt DV hay không, lực ma sát hoặc là một phiên bản bão hòa của các lực lượng bên ngoài hoặc một chức năng tĩnh tùy ý của vận tốc. Khoảng DV có thể được khá thô và vẫn thúc đẩy cái gọi là hành vi dính chống trượt. Nhược điểm của mô hình này là nó như vậy là mạnh mẽ kết hợp với phần còn lại của hệ thống. Các lực lượng bên ngoài là một đầu vào cho các mô hình và lực lượng này không phải luôn luôn đưa ra một cách rõ ràng. Do đó mô hình này phải được thiết kế riêng cho từng configura-tion. Các biến thể của mô hình Karnopp được sử dụng rộng rãi kể từ khi họ cho phép mô phỏng hiệu quả. Khoảng thời gian vận tốc bằng không hiện, tuy nhiên, không đồng ý với ma sát thực tế. Các mô hình ma sát được trình bày ma sát cho đến nay đã được coi là chỉ đối với vận tốc ổn định. Không chú trọng đến hành vi của ma sát khi vận tốc được thay đổi. Mô hình của Armstrong Để giải thích cho một số ma sát động quan sát thấy hiện tượng một mô hình cổ điển có thể được sửa đổi theo đề xuất của Armstrong trong J3K. Mô hình này giới thiệu phụ thuộc thời gian cho stiction và hiệu lực Stribeck, nhưng không xử lý chuyển tiền trượt. Điều này được thực hiện bằng cách thay vì mô tả các hành vi gắn bó bởi một phương trình riêng biệt. Sau đó một số cơ chế phải phối việc chuyển đổi giữa các mô hình cho dính và các mô hình cho trượt. Ma sát được mô tả bởi FHxI s 0 x H7I khi gắn bó và FHv Ti FCFS Hg  tdI1 HvHt - t li / VS I2 sgnHvI Fvv H8I 1 khi trượt, nơi FS Hg  TDI FSa HFS` - FSa td tôi H9I td g 1997/11/28 16:52 9 FSa là ma sát Stribeck vào cuối của thời kỳ trượt trước và td thời gian dừng, tức là thời gian từ khi trở thành bị mắc kẹt. Ma sát trượt H8 tôi là tương đương với một mô hình tĩnh ở nơi các giá trị tạm thời, tốc độ truyền theo ma sát Stribeck đã được thay thế bởi một phiên bản chậm và nơi nó có hệ số phụ thuộc vào thời gian. Mô hình này đòi hỏi các thông số bảy. Kể từ khi mô hình bao gồm hai mô hình riêng biệt, một cho dính và một cho trượt, một tuyên bố, có lẽ hợp lý đòi hỏi một thứ tám tham số xác định chuyển đổi. Hơn nữa, các quốc gia mô hình phải được khởi tạo một cách thích hợp mỗi khi một chuyển đổi xảy ra. 4. Mô hình động Gần đây đã có một sự quan tâm đáng kể trong các mô hình ma sát động. Điều này đã được thúc đẩy bởi sự tò mò trí tuệ, nhu cầu servo chính xác và tiến bộ trong phần cứng mà làm cho nó có thể thực hiện bù ma sát. Trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu một số mô hình năng động. Các Dahl Mô hình Mô hình Dahl giới thiệu trong J18K đã được phát triển với mục đích mô phỏng hệ thống điều khiển với ma sát. Mô hình này cũng được thảo luận trong J19K và J21K, và cũng đã được sử dụng để bồi thường ma sát thích nghi, xem J55K và J23K. Điểm khởi đầu của Dahl là một số thí nghiệm về ma sát trong các hệ thống servo với vòng bi. Một trong những phát hiện của ông là mang ma sát cư xử rất giống với ma sát rắn. Những thí nghiệm này chỉ ra rằng có những tiếp xúc kim loại giữa các bề mặt. Dahl đã phát triển một mô hình tương đối đơn giản mà đã được sử dụng exten-sively để mô phỏng hệ thống với bóng ma sát mang. Điểm khởi đầu cho mô hình của Dahl là đường cong ứng suất biến dạng trong cơ rắn cổ điển, xem J46K và J49K, và hình 6. Khi bị căng thẳng lực ma sát tăng dần cho đến khi vỡ xảy ra. Dahl mô hình đường cong ứng suất biến dạng bởi một phương trình vi phân. Cho x là sự dịch chuyển, F lực ma sát, và Fc lực ma sát Coulomb. Sau đó, mô hình của Dahl có dạng dF F một s 1 - v sgn dx Fc đó s là hệ số độ cứng và là một tham số để xác định hình dạng của đường cong ứng suất biến dạng. Giá trị 1 được sử dụng nhất. Cao hơn 1997/11/28 16:52 10 F Fc x  0 x  0 x slopeσ 0 -Fc hình lực lượng 6 ma sát là một chức năng của chuyển cho mô hình của Dahl. Giá trị này sẽ cung cấp cho một đường cong căng thẳng với một uốn cong sắc nét hơn. Lực ma sát TFT sẽ không bao giờ được lớn hơn Fc nếu giá trị ban đầu của nó là như vậy mà tFH0It Fc. Chú ý rằng trong mô hình này, lực ma sát là chỉ có một chức năng của displace- triển và dấu của vận tốc. Điều này ngụ ý rằng lực ma sát là chỉ vị trí phụ thuộc. Như vậy gọi là độc lập tỷ lệ này là một tài sản quan trọng của mô hình. . Nó làm cho nó có thể sử dụng các lý thuyết của các nhà khai thác trễ J35K Nó cũng được sử dụng trong phần mở rộng của mô hình, xem J5K. Để có được một mô hình miền thời gian Dahl quan sát thấy rằng dF dF dx dF F một vs 1 - sgn vv H10I dt dx dt dx Fc Mô hình này là một sự tổng quát của Coulomb bình thường ma sát. Các mô hình Dahl không nắm bắt được những hiệu ứng Stribeck, mà là một hiện tượng phụ thuộc tốc độ, cũng không nắm bắt stiction. Đây là những động lực chính cho sự mở rộng gần đây của các mô hình, xem J5, 13K. Đối với trường hợp 1 mô hình Dahl H10I trở dF F sv - tvt dt Fc Giới thiệu F sz các mô hình có thể được viết như dz vs tvt z dt - Fc H11I F sz Các Bristle mẫu Haessig và Friedland giới thiệu một mô hình ma sát trong J28K đó nỗ lực để nắm bắt được hành vi của các điểm tiếp xúc giữa hai bề mặt kính hiển vi. 1997/11/28 16:52 11 Do bất thường trong các bề mặt số lượng các điểm tiếp xúc và vị trí của họ là ngẫu nhiên. Mỗi điểm tiếp xúc được coi như là một liên kết giữa lông linh hoạt. Khi bề mặt chuyển động tương đối với nhau trong sự căng thẳng tăng trái phiếu và lông động như suối để sinh lực ma sát. Sau đó lực lượng được cho bởi N X s 0Hxi - Bii H12I F i 1 trong đó N là số lượng lông, s 0 độ cứng của lông, xi vị trí tương đối của các lông bàn chải, và bi vị trí nơi mà các trái phiếu đã được hình thành. Như TXI -bit bằng ds các snaps trái phiếu và một cái mới được hình thành một cách ngẫu nhiên tương đối so với vị trí trước đó. Sự phức tạp của mô hình tăng với N. kết quả tốt đã được tìm thấy với 20-25 lông, nhưng ngay cả một lông duy nhất cho hành vi định tính hợp lý. Độ cứng của lông, s 0, có thể được thực hiện vận tốc phụ thuộc. Một tính chất của mô hình quan tâm-ing là nó bắt bản chất ngẫu nhiên của ma sát. Sự ngẫu nhiên phụ thuộc vào số lượng lông. Mô hình này là không hiệu quả trong sim-ulations do tính phức tạp của nó. Chuyển động trong mặt dính có thể dao động từ không có giảm xóc của các lông bàn chải trong mô hình. Các Thiết lập lại Integrator mẫu Haessig và Friedland cũng đề xuất các mô hình tích hợp thiết lập lại trong bài viết J28K cùng. Mô hình này có thể được xem như một nỗ lực để làm cho các mô hình tính toán khả thi lông. Thay vì chụp một lông các trái phiếu được giữ ổn định bằng cách đóng cửa tắt sự gia tăng của sự căng thẳng tại các điểm vỡ. Mô hình này sử dụng một nhà nước bổ sung để xác định chủng trong trái phiếu, được mô hình hóa bằng dt> nếu Hv 0 và z z0I hoặc Hv 0 và z -z0I dz 80>: nếu không





















































































































Lực ma sát được cho bởi dz F H1 aHzIIs 0HvIz s 1 dt H13I nơi s 1dz / dt là một hạn giảm xóc mà chỉ được kích hoạt khi gắn bó. Hệ số giảm xóc có thể được lựa chọn để cung cấp cho một giảm xóc tương đối mong muốn của kết quả các 1997/11/28 16:52 12 hệ thống lò xo có khối lượng-van điều tiết. Stiction đạt được bằng các chức năng aHzI, được đưa ra bởi 8a nếu tzt z0> <H14I aHzI> 0 nếu ngược lại: Nếu tzt z0 các mô hình mô tả gắn bó nơi mà lực ma sát là một chức năng của z. Khi đạt đến độ võng z0 giá trị tối đa của nó, biến z vẫn không đổi và lực ma sát giảm từ aHzI trở thành số không. Lực ma sát khi trượt là một chức năng tùy ý của vận tốc được đưa ra bởi s 0HvI. Mô hình tích hợp thiết lập lại là hiệu quả hơn nhiều để mô phỏng so với mô hình lông cứng, nhưng nó là không liên tục trong z, và phát hiện các tzt z0 là cần thiết. Các mô hình của Bliman và Sorine Bliman và Sorine đã phát triển một gia đình của các mô hình năng động trong một loạt các giấy tờ J6, 7, 8K. Nó được dựa trên điều tra thực nghiệm bởi Rabinowicz, thấy J44K. Bliman và độc lập tốc độ căng thẳng Sorine. Độ lớn của lực ma sát chỉ phụ thuộc vào sgn v và không gian của biến được định nghĩa bởi Z t s tvHt Itdt  0 Trong các mô hình Bliman-Sorine, ma sát là một chức năng sau đó chỉ đường dẫn. Nó không phụ thuộc vào tốc độ hệ thống di chuyển dọc theo con đường. Điều này làm cho nó có thể sử dụng các lý thuyết thanh lịch của nhà khai thác hiện tượng trễ trong phát triển J35, 54K. Các mô hình được thể hiện như các hệ thống tuyến tính trong không gian biến s. Dxs AXS B vs ds H15I FC XS Biến vs sgnHvI là cần thiết để có được những dấu hiệu chính xác. Bliman và Sorine có các mô hình phức tạp khác nhau. Mô hình thứ tự đầu tiên được đưa ra bởi A -1 / ef  B f1 / ef và C 1 H16I Mô hình này có thể được viết như dt ds dt tvt ds f1 / EFV - f1 tvt dF dF ds dF F 1997/11/28 16 : 52 13 là giống hệt với mô hình Dahl H10I với FC f1, s f1 / ef và một 1. Các mô hình tự đầu tiên không cho stiction, cũng không cung cấp cho một đỉnh cao ma sát ở khoảng cách break-đi cụ thể theo quan sát của Rabinowicz . Điều này có thể, tuy nhiên, được thực hiện bằng một mô hình bậc hai với A -1 / Hh ef I 0! , 0 -1 / ef H17I B f1 / Hh ef tôi! và CH 1 1 Tôi, - f2 / ef nơi f1 - f2 tương ứng với ma sát động đạt theo cấp số nhân như s 3 `, xem J8K. Các mô hình H17I có thể được xem như là một kết nối song song của một nhanh chóng và một mô hình Dahl chậm. Các mô hình nhanh chóng có ma sát trạng thái ổn định cao hơn so với mô hình chậm. Các